数学文·江西省金溪一中、南丰一中、广昌一中等联考2017届高三上学期期中数学试卷（文科）+Word版含解析

数学文·江西省金溪一中、南丰一中、广昌一中等联考2017届高三上学期期中数学试卷（文科）+Word版含解析

‎2016-2017学年江西省金溪一中、南丰一中、广昌一中等联考高三（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则 M∩N=（　　）‎ A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}‎ ‎2．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分均为65分，已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，在下列四个命题中，为p的逆否命题的是（　　）‎ A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分 C．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分 D．若A，B，C至少有1人及格，则 及格分不高70于分 ‎3．设f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函数f（x）为偶函数，则g（x）的解析式可以为（　　）‎ A．x3 B．cosx C．1+x D．xex ‎4．若cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°，则cos2x=（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（　　）‎ A．7.5 B．7 C．6 D．5‎ ‎6．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且＜1，若a3+a5=20，a3a5=64，则S4=（　　）‎ A．63或126 B．252 C．120 D．63‎ ‎7．若sinx+cosx=，则tan（x+）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则•的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（　　）‎ A．（0，4） B． C． D．（0，1），（4，+∞）‎ ‎10．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=﹣对称，且∀x1，x2∈R，且x1≠x2，f（x1）f（x2）≤4恒成立，则下列结论正确的是（　　）‎ A．‎ B．不等式f（x1）f（x2）≤4取到等号时|x1﹣x2|的最小值为2π C．函数f（x）的图象一个对称中心为 ‎ D．函数f（x）在区间上单调递增 ‎11．若数列{an}满足﹣=1，且a1=5，则数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为（　　）‎ A．42 B．40 C．30 D．20‎ ‎12．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：‎ p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；‎ p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；‎ p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，‎ 那么，这三个命题中所有的真命题是（　　）‎ A．p1，p2，p3 B．p2，p3 C．p1，p2 D．p1‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．等比数列{42n+1}的公比为　　．‎ ‎14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）=　　．‎ ‎15．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a2+b2﹣c2=ab，且acsinB=2sinC，则•=　　．‎ ‎16．若函数f（x）=k﹣有三个零点，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知m≠0，向量=（m，3m），向量=（m+1，6），集合A={x|（x﹣m2）（x+m﹣2）=0}．‎ ‎（1）判断“∥”是“||=”的什么条件 ‎（2）设命题p：若⊥，则m=﹣19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m=1，判断p∨q，p∧q，￢q的真假，并说明理由．‎ ‎18．在等差数列{an}中，a12+a3=4，且a5+a6+a7=18．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a1，a2，a4成等比数列，求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．‎ ‎（1）求f（50）的值；‎ ‎（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？‎ ‎20．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，cosB=，∠ADB=．‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）求△ADE的面积．‎ ‎21．已知函数f（x）=（x+a）ex（x＞﹣3），其中a∈R．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l的方程；‎ ‎（2）讨论函数y=f（x）的单调性．‎ ‎22．记max{m，n}表示m，n中的最大值．如max{3， }=．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax2+x}．‎ ‎（1）求函数f（x）在[，2]上的值域；‎ ‎（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省金溪一中、南丰一中、广昌一中等联考高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则 M∩N=（　　）‎ A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．‎ ‎【解答】解：∵集合M={x∈N|x＜6}={0，1，2，3，4，5}，‎ N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}={x|2＜x＜9}，‎ ‎∴M∩N={3，4，5}．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分均为65分，已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，在下列四个命题中，为p的逆否命题的是（　　）‎ A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分 C．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分 D．若A，B，C至少有1人及格，则 及格分不高70于分 ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据原命题与它的逆否命题之间的关系，写出命题p的逆否命题即可．‎ ‎【解答】解：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，‎ 命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，‎ p的逆否命题的是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．设f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函数f（x）为偶函数，则g（x）的解析式可以为（　　）‎ A．x3 B．cosx C．1+x D．xex ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据偶函数与偶函数的和为偶函数，只要g（x）为偶函数即可．‎ ‎【解答】解：由题意，只要g（x）为偶函数即可，由选项可知，只有选项B的函数为偶函数；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．若cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°，则cos2x=（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简已知条件，利用二倍角公式求解即可．‎ ‎【解答】解：cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°=sin63°cos18°﹣cos63°sin18°=sin45°=．‎ cos2x=2cos2x﹣1=2×=0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（　　）‎ A．7.5 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．‎ ‎【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，‎ ‎∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，‎ ‎∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且＜1，若a3+a5=20，a3a5=64，则S4=（　　）‎ A．63或126 B．252 C．120 D．63‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据a3+a5=20，a3a5=64构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后求得答案．‎ ‎【解答】解：∵＜1，‎ ‎∴0＜q＜1，‎ ‎∵a3a5=64，a3+a5=20，‎ ‎∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，‎ ‎∵an＞0，0＜q＜1，‎ ‎∴a3＞a5，‎ ‎∴a3=16，a5=4，‎ ‎∴q=，‎ ‎∴a1=64，a2=32，a3=16，a4=8，‎ ‎∴S4=a1+a2+a3+a4=64+32+16+8=120，‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．若sinx+cosx=，则tan（x+）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用诱导公式化简所求的表达式，然后求解即可．‎ ‎【解答】解： sinx+cosx=，‎ 可得sin（x+）=．‎ tan（x+）=tan（x+）==±=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则•的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意可得 =0，计算•=•（﹣）=．△AOB中，利用余弦定理可得AB=，再利用面积法求得OD=，从而求得•= 的值．‎ ‎【解答】解：如图：点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，‎ 过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，∴=0，‎ 则•=•（﹣）=﹣••=﹣‎ ‎===．‎ ‎△AOB中，利用余弦定理可得AB2=OA2+OB2﹣2OA•OB•cos120°=1+4+2=7，∴AB=．‎ ‎∵S△AOB==OA•OB•sin120°，可得•OD=，‎ ‎∴OD=，∴•==，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（　　）‎ A．（0，4） B． C． D．（0，1），（4，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】结合函数图象求出f′（x）﹣f（x）＜0成立的x的范围即可．‎ ‎【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，‎ 而g′（x）=，‎ 故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=﹣对称，且∀x1，x2∈R，且x1≠x2，f（x1）f（x2）≤4恒成立，则下列结论正确的是（　　）‎ A．‎ B．不等式f（x1）f（x2）≤4取到等号时|x1﹣x2|的最小值为2π C．函数f（x）的图象一个对称中心为 ‎ D．函数f（x）在区间上单调递增 ‎【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用函数的对称轴，判断A的正误；‎ 利用函数的最值，判断B的正误；‎ 通过函数的周期以及对称性判断C的正误；‎ 利用对称轴以及周期判断D的正误；‎ ‎【解答】解：对于A，函数f（x）=asinx﹣bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=﹣对称，‎ 可得，显然A不正确．‎ 对于B，∀x1，x2∈R，且x1≠x2，f（x1）f（x2）≤4恒成立，说明函数最大值为2，不等式f（x1）f（x2）≤4取到等号时|x1﹣x2|的最小值为2π，满足题意．‎ 对于C，函数f（x）=asinx﹣bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=﹣对称，周期为2π，函数f（x）的图象一个对称中心为，不是，所以C不正确；‎ 对于D，函数f（x）=asinx﹣bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=﹣对称，x=﹣函数取得最小值，x=，函数取得最大值，函数f（x）在区间上单调递增是不正确的．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．若数列{an}满足﹣=1，且a1=5，则数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为（　　）‎ A．42 B．40 C．30 D．20‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由﹣=1，数列{}是以=1为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列通项公式=n，求得an=2n2+3n，由通项公式分别求得每10项，有4项能被5整除，即可得到数列{an}的前100项中，能被5整除的项数．‎ ‎【解答】解：由数列{an}满足﹣=1，即﹣=1，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，‎ ‎∴=n，‎ ‎∴an=2n2+3n，‎ 由题意可知：‎ 项 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 个位数 ‎5‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎∴每10中有4项能被5整除，‎ ‎∴数列{an}的前100项中，能被5整除的项数40，‎ 故答案选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：‎ p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；‎ p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；‎ p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，‎ 那么，这三个命题中所有的真命题是（　　）‎ A．p1，p2，p3 B．p2，p3 C．p1，p2 D．p1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】给出f（x）f（﹣x）的表达式，结合基本不等式，可判断p1，在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象，数形结合，可判断p2，p3‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，‎ ‎∴f（x）f（﹣x）=（2x﹣5）（2﹣x﹣5）=26﹣5（2x+2﹣x）≤26﹣10=16，‎ 故p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16，为真命题；‎ 在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象如下图所示：‎ 由图可得：p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集，为真命题；‎ p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，为真命题；‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．等比数列{42n+1}的公比为　16　．‎ ‎【考点】等比数列．‎ ‎【分析】利用公比的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：等比数列{42n+1}的公比q==16，‎ 故答案为：16．‎ ‎　‎ ‎14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）=　4　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】先分别求出f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，由此能求出f（3）+f（4）．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ ‎∴f（3）=f（9）=1+log69，‎ f（4）=1+log64，‎ ‎∴f（3）+f（4）=2+log69+log64‎ ‎=2+log636‎ ‎=2+2‎ ‎=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a2+b2﹣c2=ab，且acsinB=2sinC，则•=　3　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据余弦定理和正弦定理将条件进行化简，结合向量数量积的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵a2+b2﹣c2=ab，‎ ‎∴由余弦定理得cosC==，‎ 则C=，‎ ‎∵acsinB=2sinC，‎ ‎∴由正弦定理得ac•b=2c，‎ 即ab=2，‎ 则•=||•||cosC=abcosC=2×=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=k﹣有三个零点，则实数k的取值范围是　（﹣2，0）∪（0，2）　．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由f（x）=k﹣=0得k=，‎ 设g（x）=，‎ 若函数f（x）=k﹣有三个零点，‎ 等价为y=k，和g（x）有三个交点，‎ g（x）==x3﹣3x，（x≠0），‎ 函数的导数g′（x）=3x2﹣3=3（x2﹣1），‎ 由g′（x）＞0得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，‎ 由g′（x）＜0得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，‎ 即当x=1时，函数取得极小值，g（1）=﹣2，‎ 当x=﹣1时，函数取得极大值，g（﹣1）=2，‎ 要使y=k，和g（x）有三个交点，‎ 则0＜k＜2或﹣2＜k＜0，‎ 即实数k的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2），‎ 故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知m≠0，向量=（m，3m），向量=（m+1，6），集合A={x|（x﹣m2）（x+m﹣2）=0}．‎ ‎（1）判断“∥”是“||=”的什么条件 ‎（2）设命题p：若⊥，则m=﹣19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m=1，判断p∨q，p∧q，￢q的真假，并说明理由．‎ ‎【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）由，则6m=3m（m+1解出m即可判断出结论．‎ ‎（2）若，则m（m+1）+18m=0，解出m，即可判断出p真假．由（x﹣m2）（x+m﹣2）=0得x=m2，或x=2﹣m，若集合A的子集个数为2，则集合A中只有1个元素，‎ 则m2=2﹣m，解得m，即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：（1）若，则6m=3m（m+1），∴m=1（m=0舍去），此时，，‎ 若，则m=±1，故“”是“”的充分不必要条件．‎ ‎（2）若，则m（m+1）+18m=0，∴m=﹣19（m=0舍去），∴p为真命题．‎ 由（x﹣m2）（x+m﹣2）=0得x=m2，或x=2﹣m，若集合A的子集个数为2，则集合A中只有1个元素，‎ 则m2=2﹣m，解得m=1或﹣2，∴q为假命题．‎ ‎∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，￢q为真命题．‎ ‎　‎ ‎18．在等差数列{an}中，a12+a3=4，且a5+a6+a7=18．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a1，a2，a4成等比数列，求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a12+a3=4，且a5+a6+a7=18．可得a12+a1+2d=4，a5+a6+a7=3a6═3（a1+5d）=18．联立解出即可得出．‎ ‎（2）由a1，a2，a4成等比数列，可得=a1•a4．可得an=n．可得： ==．利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a12+a3=4，且a5+a6+a7=18．‎ ‎∴a12+a1+2d=4，a5+a6+a7=3a6═3（a1+5d）=18．‎ 联立解得a1=d=1或a1=﹣，d=．‎ ‎∴an=1+（n﹣1）=n，或an=﹣+（n﹣1）=．‎ ‎（2）∵a1，a2，a4成等比数列，∴=a1•a4．‎ ‎∴an=n．‎ ‎∴==．‎ ‎∴数列{}的前n项和Sn=+…+==．‎ ‎　‎ ‎19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．‎ ‎（1）求f（50）的值；‎ ‎（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．‎ ‎（2），依题意得，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，‎ ‎∴万元．‎ ‎（2），依题意得，‎ 故．‎ 令，则，‎ 当，即x=128时，f（x）max=282万元．‎ 所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，cosB=，∠ADB=．‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）求△ADE的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BAD，利用正弦定理即可求得AD的值． ‎ ‎（2）由（1）可求AC=2AE=3，由余弦定理可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABD中，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理，知．‎ ‎（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，‎ 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2﹣2AD•CDcos∠ADC，即，‎ ‎∴DC2﹣2DC﹣5=0，解得（负值舍去）．‎ ‎∴，‎ 从而．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（x+a）ex（x＞﹣3），其中a∈R．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l的方程；‎ ‎（2）讨论函数y=f（x）的单调性．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，结合切线的斜率求出a的值，从而求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可．‎ ‎【解答】解：（1）f'（x）=（x+a+1）ex，‎ ‎∵f'（0）=a+1=|2a﹣2|，∴a=3或，‎ 当a=3时，f（x）=（x+3）ex，f（0）=3，‎ ‎∴l的方程为：y=4x+3，‎ 当时，，‎ ‎∴l的方程为：．‎ ‎（2）令f'（x）=（x+a+1）ex=0得x=﹣a﹣1，‎ 当﹣a﹣1≤﹣3即a≥2时，f'（x）=（x+a+1）ex＞0，f（x）在（﹣3，+∞）递增，‎ 当﹣a﹣1＞﹣3即a＜2时，令f'（x）＞0得x＞﹣a﹣1，f（x）递增，‎ 令f'（x）=0得﹣3＜x﹣a﹣1，f（x）递减，‎ 综上所述，当a＜2时，f（x）的增区间为（﹣a﹣1，+∞），减区间为（﹣3，﹣a﹣1），‎ 当a≥2时，f（x）在（﹣3，+∞）上递增．‎ ‎　‎ ‎22．记max{m，n}表示m，n中的最大值．如max{3， }=．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax2+x}．‎ ‎（1）求函数f（x）在[，2]上的值域；‎ ‎（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数的值域．‎ ‎【分析】（1）设F（x）=x2﹣1﹣lnx，对其求导，及最小值，从而得到f（x）的解析式，进一步求值域即可．‎ ‎（2）分别对a≤0和a＞0两种情况进行讨论，得到g（x）的解析式，进一步构造h（x），通过求导得到最值，得到满足条件的a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意设F（x）=x2﹣1﹣2lnx，则F'（x）=2x﹣=，‎ 所以x＞1时，F（x）递增，0＜x＜1时F（x）递减，‎ 所以F（x）min=F（1）=0，所以F（x）≥0即x2﹣1＞2lnx，‎ 所以f（x）=x2﹣1，其在[，2]上的最大值为x=2时函数值3，x=取最小值为，‎ 所以函数f（x）在[，2]上的值域[﹣，3]；‎ ‎（2）①当a≤0时，因为x∈（1，+∞），所以x+lnx﹣（ax2+x）=lnx﹣ax2＞0，‎ 所以x+lnx＞ax2+x，所以g（x）=x+lnx，当g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，‎ 则lnx﹣x＜4a对x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣x，则h'（x）=，‎ 令h'（x）＞0得1＜x＜2，h（x）递增，令h'（x）＜0得x＞2，h（x）递减，‎ 所以h（x）max=h（2）=ln2﹣1，所以a＞，又a≤0，所以a∈（，0]．‎ ‎②当a＞0时，由①知x+lnx＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，‎ 若g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，则ax2+x＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，‎ 即2ax2﹣x﹣8a＜0对x∈（1，+∞）恒成立，显然不成立，‎ 即a＞0时，不满足g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立；‎ 综上，存在实数a使得g（x）＜x+4a，‎ 对x∈（1，+∞）恒成立，a的取值范围是（，0]．‎ ‎　‎ ‎2016年11月18日