2020九年级数学下册 第二章 二次函数

2020九年级数学下册 第二章 二次函数

课时作业(十)‎ ‎[第二章　2　第2课时　二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质]‎ 一、选择题 ‎1．2017·余杭区期中已知二次函数y＝ax2的图象经过点(－2，6)，则下列点中不在该函数图象上的是(　　)‎ A．(2，6) B．(1，1.5)‎ C．(－1，1.5) D．(2，8)‎ ‎2．2018·虹口区一模抛物线y＝2x2－4的顶点在(　　)‎ A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．若在同一直角坐标系中，作函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝－2x2＋1的图象，则它们(　　)‎ A．都关于y轴对称 B．开口方向相同 C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到 ‎4．2017·北京房山区期末已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝－2x2＋m(m是常数)的图象上的两个点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是(　　)‎ A．y1＞y2‎ B．y1＝y2‎ C．y1＜y2‎ D．y1，y2的大小关系不能确定 ‎5．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是(　　)‎ A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2‎ C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3‎ ‎6．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图K－10－1‎ 8‎ 所示为示意图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是(　　)‎ 图K－10－1‎ A．‎3.5 m B．‎‎4 m C．‎4.5 m D．‎‎4.6 m ‎7．2017·东莞一模在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝bx2＋a的图象可能是(　　)‎ 图K－10－2‎ 二、填空题 ‎8．抛物线y＝－x2＋3的对称轴是________，顶点坐标是________，它与抛物线y＝－x2的形状________．‎ ‎9．若点A(2，m)在抛物线y＝－x2上，则点A关于y轴对称的点的坐标是________．‎ ‎10．如图K－10－3所示，四个函数图象对应的关系式分别是：①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2.则a，b，c，d的大小关系是____________．(用“＞”连接) 图K－10－3‎ ‎11．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图K－10－4所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－x2.当水面离桥拱顶的高度OD为‎2 m时，水面的宽度AB为________m.‎ ‎　　　　‎ 图K－10－4‎ ‎12．如图K－10－5，过x轴上一点A作平行于y轴的直线与抛物线y＝x2及y＝x2分别交于B，C 8‎ 两点，若正方形BCDE的一边DE与y轴重合，则正方形BCDE的面积为________．‎ 图K－10－5‎ 8‎ 三、解答题 ‎13．已知点P(1，－‎2a)在二次函数y＝ax2＋6的图象上，并且点P关于x轴的对称点在反比例函数y＝的图象上．‎ ‎(1)求此二次函数和反比例函数的表达式；‎ ‎(2)点(－1，4)是否同时在(1)中的两个函数的图象上？‎ ‎14．已知抛物线y＝ax2＋n(an>0)与抛物线y＝－2x2的形状相同，且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3.‎ ‎(1)求a，n的值；‎ ‎(2)在(1)的情况下，指出抛物线y＝ax2＋n的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎15．如图K－10－6，一辆宽为‎2米的货车要通过跨度为‎8米，拱高为‎4米的单行抛物线隧道(从正中通过)，抛物线满足表达式y＝－x2＋4.为保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有‎0.5米的距离，求货车的限高应是多少．‎ 图K－10－6‎ 8‎ ‎16．如图K－10－7，直线AB经过点B(0，6)，且与抛物线y＝ax2＋2在第一象限内相交于点P，又知tan∠ABO＝，△AOP的面积为6.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否将抛物线y＝ax2＋2上下平移，使得平移后的抛物线经过点A？ 图K－10－7‎ 数形结合思想如图K－10－8，抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上 ‎(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标．‎ ‎(2)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图K－10－8‎ 8‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] D　把(－2，6)代入y＝ax2中，得‎4a＝6，则a＝，所以这个二次函数的表达式为y＝x2.A.当x＝2时，y＝×22＝6，所以点(2，6)在该函数的图象上；B.当x＝1时，y＝×12＝1.5，所以点(1，1.5)在该函数的图象上；C.当x＝－1时，y＝×(－1)2＝1.5，所以点(－1，1.5)在该函数的图象上；D.当x＝2时，y＝×22＝6，所以点(2，8)不在该函数的图象上．故选D.‎ ‎2．[解析] B　根据题意知，抛物线y＝2x2－4的对称轴为直线x＝0，故它的顶点在y轴上．故选B.‎ ‎3．[答案] A ‎4．[解析] C　∵A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝－2x2＋m(m是常数)的图象上的两个点，∴y1＝－2x12＋m，y2＝－2x22＋m.∵x1＜x2＜0，∴x12＞x22，∴y1＜y2.故选C.(也可以利用二次函数的增减性得出y1＜y2)‎ ‎5．[答案] C ‎6．[解析] B　将y＝3.05代入y＝－x2＋3.5，得3.05＝－x2＋3.5，解得x＝－1.5(舍去)或x＝1.5，∴若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是2.5＋1.5＝4(m)，故选B.‎ ‎7．[解析] C　A项，由抛物线可知，图象与y轴交于负半轴，∴a＜0，由直线可知，图象过第一、二、三象限，∴a＞0，故此选项不符合题意；‎ B项，由抛物线可知，图象与y轴交于正半轴，∴a＞0，开口向下，∴b<0，由直线可知，图象过第一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，故此选项不符合题意；‎ C项，由抛物线可知，图象与y轴交于负半轴，∴a＜0，开口向上，∴b>0，由直线可知，图象过第一、二、四象限，∴a＜0，b>0，故此选项符合题意；‎ D项，由直线可知，图象与y轴交于负半轴，∴b＜0，由抛物线可知，开口向上，∴b＞0，故此选项不符合题意．‎ 故选C.‎ ‎8．[答案] y轴　(0，3)　相同 ‎[解析] 抛物线y＝ax2＋c的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，它与抛物线y＝ax2的形状相同，可由抛物线y＝ax2经过平移得到．‎ ‎9．[答案] (－2，－2)‎ ‎[解析] ∵点A(2，m)在抛物线y＝－x2上，∴m＝－×22＝－2，∴点A的坐标是(2，－2)，它关于y轴对称的点的坐标是(－2，－2)．‎ ‎10．[答案] a＞b＞c＞d ‎[解析] 因为直线x＝1与四条抛物线的交点坐标从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以a＞b＞c＞d.‎ ‎11．[答案] 10 ‎[解析] 根据题意，当y＝－2时，有－2＝－x2，解得x＝±5 ，‎ 8‎ ‎∴A(－5 ，－2)，B(5 ，－2)，‎ ‎∴此时水面的宽度AB＝2×5 ＝10 (m)．‎ ‎12．[答案] 　‎ ‎[解析] 设点A的坐标为(a，0)，由题意可得，点B的坐标为(a，a2)，点C的坐标为(a，a2)，∴a＝a2－a2，解得a1＝0(舍去)，a2＝，∴正方形BCDE的面积是×＝，‎ 故答案为.‎ ‎13．[解析] (1)将点P(1，－‎2a)的坐标代入二次函数y＝ax2＋6，组成方程即可求出a的值，从而求出点P关于x轴的对称点的坐标，代入反比例函数表达式即可求出k的值，从而得到函数表达式；‎ ‎(2)将(－1，4)分别代入两个函数的表达式，若同时成立，则表示该点同时在(1)中的两个函数的图象上．‎ 解：(1)∵点P(1，－2a)在二次函数y＝ax2＋6的图象上，∴－2a＝a＋6，解得a＝－2，∴点P的坐标为(1，4)，所求二次函数的表达式为y＝－2x2＋6.点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－4)，∴k＝－4，∴所求反比例函数的表达式为y＝－.‎ ‎(2)点(－1，4)既在二次函数y＝－2x2＋6的图象上，也在反比例函数y＝－的图象上．‎ ‎14．[解析] 抛物线y＝ax2＋n与y＝－2x2的形状相同，则a＝±2.因为图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3，即|n|＝3，所以n＝±3.‎ 解：(1)由题意，得a＝±2，n＝±3.‎ ‎∵an>0，∴或 ‎(2)当a＝2，n＝3时，抛物线y＝2x2＋3开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)；当a＝－2，n＝－3时，抛物线y＝－2x2－3开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，－3)．‎ ‎15．解：当x＝1时，y＝－×12＋4＝.‎ 又因为车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，‎ 所以限高为－0.5＝3.25(米)．‎ 即货车的限高应是3.25米．‎ ‎16．解：(1)∵直线AB经过点B(0，6)，‎ 且tan∠ABO＝，‎ ‎∴OB＝6，＝，∴OA＝4，∴A(4，0)．‎ 设点P的坐标为(m，n)，‎ ‎∵△AOP的面积为6，‎ ‎∴×4×n＝6，∴n＝3.‎ 过点P作PC⊥OA于点C，∴PC∥OB，‎ 8‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴AC＝2，∴点P的横坐标为m＝4－2＝2，‎ ‎∴点P的坐标为(2，3)．‎ ‎∵点P在抛物线y＝ax2＋2上，‎ ‎∴3＝4a＋2，解得a＝.‎ ‎(2)设平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋2＋k，‎ 把A(4，0)代入y＝x2＋2＋k，得4＋2＋k＝0，解得k＝－6，‎ ‎∴将抛物线y＝ax2＋2向下平移6个单位长度，可使平移后的抛物线经过点A.‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)抛物线y＝－x2＋2的对称轴为直线x＝0，顶点C的坐标为(0，2)．‎ ‎(2)对于抛物线y＝－x2＋2，当y＝0时，x＝±2，∴A(2，0)，B(－2，0)，‎ 则△OAC是等腰直角三角形．‎ 假设抛物线上存在一点M，使△MAC≌△OAC，‎ ‎∵AC为公共边，OA＝OC，‎ ‎∴点M与点O关于直线AC对称，‎ 则四边形OAMC是正方形，‎ ‎∴点M的坐标为(2，2)．‎ 当x＝2时，y＝－×22＋2＝0≠2，‎ ‎∴点M(2，2)不在抛物线上，‎ 即抛物线上不存在点M，使△MAC≌△OAC.‎ 8‎