数学文卷·2018届四川省成都市龙泉二中高三4月月考（2018

数学文卷·2018届四川省成都市龙泉二中高三4月月考（2018

成都龙泉第二中学2018届高三下期4月月考试题 数 学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知是实数集，集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知i为虚数单位，复数z满足，则z = ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若数列的通项公式是，则 A． B． C． D．‎ ‎4.已知，，，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5.已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax＋2y＋2a＝0，其中实数a∈[－1，5]．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. B. C. D. ‎6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为 A． B． C． D．‎ ‎7．在正方体中，为线段的中点，若三棱锥的外接球的体积为，则正方体的棱长为 A． B． C． D．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，输出的x的值为 A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎9.设，则“”是“”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎10．若满足约束条件，则目标函数的最小值为 ‎ A．3 B．0 C．－3 D．－5‎ ‎11．函数(，是常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数的图象 A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎12．双曲线的左右焦点分别为，，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知圆与抛物线的准线相切，则____．‎ ‎14．在矩形中，，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为__________．‎ ‎15．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是________. ‎ ‎16．设函数其中．‎ ‎① 若，则_________；‎ ‎② 若函数有两个零点，则的取值范围是_____________．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若（）且，求的面积．‎ ‎18.（本小题满分10分）‎ 某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：‎ 本科 研究生 合计 ‎35岁以下 ‎5‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎35～50岁(含35岁 和50岁)‎ ‎17‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎50岁以上 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1)从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；‎ ‎(2)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.‎ ‎19.（本小题满分10分）‎ 如图所示,直线PA为圆O的切线,切点为A,直径BC丄OP,连结AB交PO于点D.‎ ‎(1)证明:PA=PD;‎ ‎(2)证明:PAAC=ADOC.‎ ‎20.（本小题满分10分）‎ 设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率；‎ ‎(Ⅱ)是圆:的一条直径，若椭圆经过，两点，求 椭圆的方程．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）讨论函数极值点的个数.‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；‎ ‎（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 设函数．‎ ‎(Ⅰ)求证：当时，不等式成立．‎ ‎(Ⅱ)关于的不等式在R上恒成立，求实数的最大值．‎ 成都龙泉第二中学2018届高三下期4月月考试题 数 学（文科）参考答案 ‎1—5 DAABD 6—10 DCCBC 11—12 AC ‎13． 14. 15. 195 16．；（2分） （3分）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎17.【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由得：，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴．·······6分 ‎（2）由（），得，‎ 由正弦定理得，∴．‎ 根据正弦定理可得，解得，‎ ‎∴．····12分 ‎18.解　(1)设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，‎ 由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则P(A)＝＝.‎ 即从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为.‎ ‎(2)设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：‎ ‎(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，‎ 记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D，则D中的结果共有12个，它们是：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1， C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，C)，(B2，C)，(B2，C)，故所求概率为P(D)＝＝.‎ 即从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为.‎ ‎19.证明：(1)直线PA为圆O的切线,切点为A,‎ ‎,BC为圆O的直径,‎ ‎,,,‎ ‎,,.‎ ‎(2)连接,由(1)得 ‎,,‎ ‎,.‎ ‎【解析】本题主要考查弦切角定理、三角形相似、圆的性质,考查了逻辑思维能力.(1)由弦切定理,结合直角三角形的性质证明,即可证明结论;(2)由(1),易得,则结论易得.‎ ‎20.（I）点在线段上，满足 ‎，， ‎ 椭圆的离心率为 ‎(II)解：由（I）知，椭圆的方程为. (1)‎ 依题意，圆心是线段的中点，且.‎ 易知，不与轴垂直，设其直线方程为，‎ 代入(1)得 设则, ‎ 由，得解得.从而.‎ 于是 由，得，解得 故椭圆的方程为.‎ ‎21.解：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证，‎ 记，则 当时，，单调递减；当时，，单调递增 所以，即，原不等式成立.‎ ‎（2）‎ 记 ‎（ⅰ）当时，，在上单调递增，，‎ 所以存在唯一，且当时，；当 ‎①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点 ‎②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点 ‎③若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在 上单调递减：此时有一个极大值点和一个极小值点.‎ ‎（ⅱ）当时，，所以，显然在单调递减；在上 单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点 ‎（ⅲ）当时，‎ 由（1）可知，对任意，从而 而对任意，所以对任意 此时令，得；令，得 所以在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点 ‎ ‎（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号 ‎ 此时令，得；令得 所以在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点 ‎ 综上可得：‎ ‎①当或时，有两个极值点；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎②当时，无极值点；‎ ‎③当时，有一个极值点. ‎ ‎22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．………………2分 当时，直线的方程为，…………3分 代入，可得，∴.‎ ‎∴；……………………5分 ‎（Ⅱ）直线参数方程代入，‎ 得．………………7分 设对应的参数为，‎ ‎∴．…………10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ ‎23.解析：(1)证明：由 2分 得函数的最小值为3，从而，所以成立. 5分 ‎(2) 由绝对值的性质得， 7分 所以最小值为，从而， 8分 解得， 9分 因此的最大值为. 10分 ‎