2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练39　数学归纳法

2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练39　数学归纳法

课时分层训练(三十九)　数学归纳法 ‎(对应学生用书第242页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ C　[∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；‎ n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；‎ n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．‎ ‎∴n的第一个取值应是3.]‎ ‎2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)‎ A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 B　[本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]‎ ‎3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　) 【导学号：97190218】‎ A．　　 B． C． D． C　[由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.]‎ ‎4．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式＜k＋1成立，当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1.‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)‎ A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 D　[当n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．]‎ ‎5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)‎ A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋1‎ C　[1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．]‎ 二、填空题 ‎6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．‎ ‎(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2　[当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，‎ 左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，‎ 故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]‎ ‎7．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4，猜想an＝________.‎ 　[a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＋1＝.‎ 由此猜想an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列，∴an＝.]‎ ‎8．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________．‎ f(n＋1)＝f(n)＋n－1　[f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.]‎ 三、解答题 ‎9．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2). ‎ ‎【导学号：97190219】‎ ‎[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．‎ ‎(2)假设n＝k时命题成立，即 ‎1＋＋＋…＋<2－.‎ 当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－ ‎＝2－命题成立．‎ 由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．‎ ‎10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；‎ ‎(2)证明(1)中的猜想．‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；‎ 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；‎ 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；‎ 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，‎ ‎∴a4＝.‎ 由此猜想an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)证明　①当n＝1时，a1＝1，结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，‎ 即ak＝，‎ 那么n＝k＋1时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，‎ ‎∴2ak＋1＝2＋ak.‎ ‎∴ak＋1＝＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎11．(2017·昆明诊断)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出一般结论(　　)‎ A．f(2n)＞ B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．以上都不对 C　[∵f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，∴当n≥1时，有f(2n ‎)≥.]‎ ‎12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________；当n>4时，f(n)＝__________(用n表示)．‎ ‎5　(n＋1)(n－2)(n≥3)　[f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，‎ f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)‎ ‎＝2＋3＋4＋…＋(n－1)‎ ‎＝(n＋1)(n－2)(n≥3)．]‎ ‎13．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：{xn}是递减数列的充要条件是c＜0；‎ ‎(2)若0＜c≤，证明数列{xn}是递增数列. 【导学号：97190220】‎ ‎[证明]　(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，‎ ‎∴数列{xn}是递减数列．‎ 必要性：若{xn}是递减数列，则x2＜x1，且x1＝0.‎ 又x2＝－x＋x1＋c＝c，∴c＜0.‎ 故{xn}是递减数列的充要条件是c＜0.‎ ‎(2)若0＜c≤，要证{xn}是递增数列．‎ 即xn＋1－xn＝－x＋c＞0，‎ 即证xn＜对任意n≥1成立．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当0＜c≤时，xn＜对任意n≥1成立．‎ ‎①当n＝1时，x1＝0＜≤，结论成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即xk＜.‎ ‎∵函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)＜f()＝，‎ ‎∴当n＝k＋1时，xk＋1＜成立．‎ 由①，②知，xn＜对任意n≥1，n∈N*成立．‎ 因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是递增数列．‎