2014年广西自治区南宁市中考数学试题（含答案）

2014年广西自治区南宁市中考数学试题（含答案）

‎2014年南宁市初中毕业升学数学考试试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分120分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共36分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1. 如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作 ( ) ‎ ‎(A)-3m (B)3 m (C)6 m (D) -6 m 答案：A　由正数负数的概念可得。‎ 考点：正数和负数（初一上学期-有理数）。‎ ‎2. 下列图形中，是轴对称图形的是 ( )‎ ‎[来源:学_科_网]‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：D　D有4条对称轴，也是中心对称图形。‎ 考点：轴对称图形（初二上学期-轴对称图形）。‎ ‎3. 南宁东高铁火车站位于南宁市青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为267000平方米，其中数据267000用科学记数法表示为 ( )‎ ‎（A）26.7×10 （B）2.67×10 （C）2.67×10 （D）0.267×10‎ 答案：C　由科学记数法的表示法可得。‎ 考点：科学计数法（初一上学期-有理数）‎ ‎4. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ( )‎ ‎ （A）＞ （B）≥ （C）＞ （D）≥‎ 答案：D 　由x＋2≥0，可得。‎ 考点：二次根式的双重非负性和不等式（初二上-二次根式，初一下-一元一次不等式）‎ ‎5. 下列运算正确的是 ( )‎ ‎ （A）·= （B）= （C）÷= （D）6-4=2‎ 答案：B　‎ 考点：整式的加减乘除（初一上-整式的加减，初二上-整式的乘除和因式分解）‎ ‎6. 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图1所示，若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为 ( )[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ （A）40cm （B）60cm （C）80cm （D）100cm 答案：A 考点：垂径定理、勾股定理（初三上-圆，初二下-勾股定理）‎ ‎【海壁分析】关键是过圆心O作半径垂直弦AB，并连结OA形成直角三角形 ‎，可得x＝40‎ ‎7. 数据1，2，4，0，5，3，5的中位数和众数分别是 ( ) ‎ ‎ （A）3和2 （B）3和3 （C）0和5 （D）3和5‎ 答案：D 考点：中位数和众数（初一上-统计）‎ ‎8. 如图2所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 ( )‎ ‎ 图2‎ ‎（A）正三角形 （B）正方形 （C）正五边形 （D）正六边形 答案：A 考点：轴对称图形 ‎【海壁分析】这道题非常新颖，让人眼前一亮。其实，在考场里面拿张草稿纸试一试，是最简单的方法。这个题目告诉我们，实践出真知。数学不仅仅需要动脑，也很需要动手。海壁教育向出题人致敬！‎ ‎9. “黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打6折，设购买种子数量为千克，付款金额为元，则与的函数关系的图像大致是 ( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 答案：B 考点：一次函数：函数图像与分段函数（初二下-一次函数）‎ ‎10. 如图3，已知二次函数 =，当<<时, 随的增大 而增大，则实数a的取值范围是 ( )‎ ‎ （A）> （B）<≤ ‎ ‎ （C）>0 （D）<<‎ 答案：B 考点：二次函数：对称轴和增减性（初三下-二次函数）‎ ‎11. 如图4，在ABCD 中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF : BC=1 : 2，连接DF，EC.若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于 ( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 答案：C 考点：平行四边形的性质，勾股定理，三角函数（初二下-四边形，勾股定理，初三下-三角函数）‎ ‎【海壁分析】关键是过点D作△DCF的高，形成直角三角形。再通过平行四边形的性质、勾股定理和三角函数求解。这道题稍有综合性，但不算难。‎ ‎12. 已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A，B两点关于轴对称，设点A的坐标为（，），则+的值是 ( ) ‎ ‎（A）-10 （B）-8 （C）6 （D）4‎ 答案：A 考点：对称点，反比例函数和一次函数的性质，配方法（初二上-对称，初二下-一次函数和反比例函数，初二上-整式的乘除和因式分解）‎ ‎【海壁分析】 此题相较以往的南宁中考压轴题，并不算难。解题的关键在于将A、B点的坐标通过m和n表示出来，代入各自的解析式中，再得到m和n的关系式，然后，对+进行变形以配合刚才得到的关系式。变形的时候运用到了非常常用的配方的技巧。‎ 解答：∵A点的作标为（，)，A，B两点关于y轴对称。∴点B 的坐标为(-，) ‎ ‎∵点A在双曲线上 ∴= ∴= ‎ ‎∵点B在直线上 ∴=--4 ∴+=-4 ‎ ‎∴+===－10‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共84分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13. 比较大小： （填“>”“<”或“=”）.‎ 答案：<‎ 考点：有理数大小的比较（初一上-有理数）‎ ‎14. 如图5，已知直线∥，∠1=120°，则∠的度数是 °.‎ 答案：60° ‎ 考点：平行线的性质；邻补角（初一下-平行于相交）‎ ‎15. 因式分解：= .‎ 答案：‎ 考点：因式分解（初二上-整式的乘除和因式分解）‎ ‎16. 第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁市隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是 .‎ 答案：‎ 考点：概率（初三上-概率）‎ ‎【海壁分析】男男，女男（一），女男（二），三选二，so easy！‎ ‎17. 如图6，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°‎ 的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°‎ 的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于 海里.‎ 答案：‎ 解答：BD设为，因为C位于北偏东30°，所以∠BCD＝30°‎ 在RT△BCD中，BD＝，CD＝，‎ 又∵∠CAD＝30°，在RT△ADC中，AB＝20，AD＝20＋，‎ 又∵△ADC≌△CDB，所以，‎ 即：＝，求出＝10，故CD＝。‎ 考点：三角函数和相似；‎ ‎【海壁分析】这是一道典型的“解直角三角形”‎ 题，在2012年南宁中考出现在解答题中。关键是：作高，设x，利用特殊三角形三边关系用x表示出其它边，再根据三角函数、勾股定理或相似比等数量关系列出方程。这道题的方法非常多样。‎ ‎18. 如图7，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=，以斜边AB上的点 O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F， 与AB 分别交于点 G，H，且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点D，则 CD 的长 为 .‎ 答案：‎ 解答：连结OE，OF。∵AC、BC与圆O相切与点E，F，∴∠OEA=90°，∠OFC=90°‎ 又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB =90°，∠CBA=∠CAB=45°，AB=‎ ‎∵∠CBA=∠CAB=45°，且∠OEA=∠OFC=90°，OE=OF ‎∴△AOE和△BOF都是等腰直角三角形，且△AOE≌△BOF。∴AE=OE，AO=BO ‎∵OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠ACB =90°∴四边形OEFC是正方形。∴OE=EC=AE=‎ ‎∵OE=OF，∴OA=OB=AB=。OH=，BH=‎ ‎∵∠ACB=∠OEA =90°。∴OE∥DC，∴∠OED=∠EDC ‎∵OE=OH，∠OHE=∠OED=∠DHB=∠EDC，∴BD=BH=‎ ‎∴CD=BC+BH=‎ 考点：等腰直角三角形，圆与直线相切，半径相等，三角形相似（初二上-对称，初三上-圆，初三下-相似）‎ ‎【海壁分析】原题可转化为求DB的长度。DB所在的△BDH（BD=BH）（或证明△OEH∽△BDH亦可）是解题的突破口。所以，辅助线OE成为解题的入口。2013年，南宁中考的填空压轴题是等边三角形与内切圆，2014年，又出此题。是否意味着“圆与直角三角形”已经取代“找规律”，成为南宁中考填空压轴首选？‎ 三、（本大题共2小题，每小题满分6分，共12分）‎ ‎19. 计算：‎ 原式＝1－4×+3+= 4‎ 考点：负数的乘方；特殊角的三角函数值；绝对值；实数（初一上-有理数，初二上-二次根式，初三下-三角函数）‎ ‎20. 解方程：‎ 答案：去分母得：‎ ‎　化简得：2＝－2，求得＝－１‎ ‎　经检验：＝－１是原方程的解 ‎∴ 原方程的解是X=－１‎ 考点：分式方程（初二下-分式）‎ ‎【海壁分析】以前较常考的是分式的化简。‎ 四、（本大题共2小题，每小题满分8分，共16分）‎ ‎21. 如图8，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），‎ B（4，2），C（3，4）.‎ ‎ (1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到 的△ABC；‎ ‎ (2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC； ‎ ‎ (3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.‎ 答案：（1）△A1B1C1如图所示； 　　 （2）△A2B2C2如图所示；‎ ‎（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）‎ 考点：平面直角坐标系，图形的变化（平移、对称）（初一下-平面直角坐标系，初二上-对称）‎ ‎【海壁分析】要使△PAB的周长最小，因为AB的长是固定的，一般转化为求“两条直线之和最小值”。这是海壁总结的三种最常见最值问题其中之一。主要方法是作线段某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与线段另一点。‎ ‎22. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试. 某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集整理数据后，绘制了图和图两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：‎ ‎ (1) 这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？‎ ‎ (2) 请补全条形统计图；‎ ‎ (3) 请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；‎ ‎ (4) 根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”的减压方式的人数.‎ ‎ ‎ 答案 (1)8÷16%= 50（名） ‎ ‎(2) 体育活动人数：50-8-10-12-5=15（名）（补全条形统计图如图所示）‎ ‎(3) 360°×（10÷50）=72°‎ ‎(4) 500×（12÷50）=120（名） ‎ 答：500名学生中估计采用“听音乐”的减压方式的学生人数为120名 考点：条形统计图，扇形统计图；抽样统计（初一下-统计）‎ ‎【海壁分析】统计是南宁市中考数学的必考点。2012年统计里还包括概率的内容。‎ 五、（本大题满分8分）‎ ‎23. 如图10，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.‎ ‎ (1) 求证：△ADE≌△CFE；‎ ‎ (2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长. ‎ 图10 ‎ 答案：(1) ∵ AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE 又∵∠AED=∠CEF，DE=FE ‎∴ △ADE≌△CFE（ASA）‎ ‎ (2) ∵ △ADE≌△CFE，∴ AD=CF ‎　∵ AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC ‎∴ △ GBD∽△GCF（AA）‎ ‎∴ ‎ 又因为GB＝2，BC＝4，BD＝1，代入得：CF＝3 = AD ‎∴ AB＝AD+BD = 3+1 = 4‎ 考点：平行线，三角形全等，相似（初一下-相交与平行，初二上-全等三角形，初三下-相似）‎ ‎【海壁分析】简单的几何证明题每年都有，一般会以四边形为基础，利用三角形全等和相似的知识证明和计算。第一小题一般为证明题，第二小题一般为计算题。这类题相对简单，必须拿分。‎ 六、（本大题满分10分）‎ ‎24.“保护好环境，拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆. 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.‎ ‎(1) 求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？‎ ‎(2) 预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次. 若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？‎ 答案：（1）设购买每辆A型公交车万元，购买每辆B型公交车每辆万元，依题意列方程得，‎ ‎，解得 ‎ （2）设购买辆A型公交车，则购买（10-）辆B型公交车，依题意列不等式组得，‎ 解得 ‎ ‎ 有三种方案 （一） 购买A型公交车6辆，B型公交车4辆 ‎ （二） 购买A型公交车7辆，B型公交车3辆[来源:学。科。网]‎ ‎ （三） 购买A型公交车8辆，B型公交车2辆 ‎ 因A型公交车较便宜，故购买A型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案 最少费用为：8100+1502=1100（万元）‎ ‎ 答：（1）购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元 ‎ （2）该公司有3种购车方案，第3种购车方案的总费用最少，最少总费用是1100万元。‎ 考点：二元一次方程组和一元一次不等式组。（初一下-二元一次方程组，初一下-一元一次不等式组）‎ ‎【海壁分析】南宁中考数学每年都会有一道与实际结合的应用题，相较2010年（二元一次方程组和不等式），2011年（反比例函数和不等式），2012年（反比例函数和分式方程），2013年（含图像的一次函数及不等式）。今年的题目更加简单。海壁老师拿给备战期考的初一学生做，都能轻易做出来。 ‎ 七、（本大题满分10分）‎ ‎25. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC.‎ ‎(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；‎ ‎ ‎ ‎(2) 求证：∠ACF=90°；‎ ‎(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图. 若EC=4，∠CEF=15°，求 AE 的长.‎ ‎ ‎ 答案：（1）BE=FH。理由如下：‎ ‎ ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90，‎ ‎∵FHBC ∴∠FHE=90 又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF=90° 且∠BAE+∠AEB=90°‎ ‎∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ‎∴ △ABE≌△EHF（SAS）‎ ‎∴BE=FH ‎(2)∵△ABE≌△EHF ‎∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=CH ‎ ‎∴CH=FH ‎∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°‎ ‎∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°‎ ‎∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°‎ ‎（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形 ‎ △AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上。设该中点为O。连结EO，得∠AOE=90°‎ 过E作EN⊥AC于点N RT△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=‎ RT△ENA中，EN = ‎ 又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°‎ ‎∴AE=‎ RT△AFE中，AE== EF，∴AF=8‎ ‎ AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°‎ ‎ ‎ AE=2π·4·（90°÷360°）=2π 考点：正方形；等腰直角三角形；三角形全等；三角形的外接圆；等弧对等角，三角函数；弧长的计算。（初二上-全等三角形，轴对称，初二下-四边形，勾股定理；初三上-圆；初三下-三角函数）‎ ‎【海壁分析】这道题前两小问考到了一个非常常见的几何模型“倒挂的直角”（在2012年压轴题中也出现过），在海壁的课堂中，给参加中考的学生讲过不下5次，这个模型经常用于全等和相似的证明。在这里，用到了三角形全等中。‎ 第三小问有一定的难度和综合性，关键是找出弧AE所对应的圆的半径和圆心角。结合第一、二小题的结论（在难题中，第一二小题的结论或次生结论往往是第三小题最重要的条件），所对应的圆是等腰直角△AEF的外接圆。圆心角不难找出，关键就是如何让EC=4与圆的半径结合起来，在这里，我们做了EN这条辅助线。（海壁教育认为，几何的难点无外乎两点：1、做辅助线，2、设x列方程）‎ 八、（本大题满分10分）‎ ‎26. 在平面直角坐标系中, 抛物线+与直线交于A, B两点，点A在点B的左侧.‎ ‎ (1) 如图，当时，直接写出A，B两点的坐标；‎ ‎(2) 在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；‎ ‎(3) 如图，抛物线+ 与轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）.在直线上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由.‎ 答案：（1）A(-1,0) ，B(2,3)‎ ‎【解答，无需写】当k=1时，列，解可得 ‎（2）平移直线AB得到直线L，当L与抛物线只有一个交点时，△ABP面积最大【如图12-1（1）】‎ 设直线L解析式为： ，‎ 根据，得 判别式△，解得，‎ 代入原方程中，得；解得，， [来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴P（,）‎ 易求，AB交轴于M（0，1），直线L交轴于G（0，）‎ 过M作MN⊥直线L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45°‎ ‎∵∠AMN=90，∴∠NMO=45°‎ 在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=，【如图12-1（2）】‎ ‎∴ MN=，MN即为△ABP的高 由两点间距离公式，求得：AB=‎ 故△ABP最大面积 ‎ ‎（3）设在直线上存在唯一一点Q使得∠OQC=90°‎ ‎ 则点Q为以OC的中点E为圆心，OC为直径形成的圆E与直线 ‎ 相切时的切点【如图12-2（1）】‎ 由解析式可知：C（,0），OC=，则圆E的半径：OE=CE==QE 设直线与、轴交于H点和F点，与，‎ 则F（0,1），∴OF=1 则H（,0）， ∴OH = ‎ ‎∴ EH=‎ ‎∵AB为切线 ∴EQ⊥AB，∠EQH=90°‎ 在△FOH和△EQH中 ‎ ‎ ‎ ‎∴△FOH∽△EQH ‎ ∴ ∴ 1：=：QH，∴QH =‎ ‎ ‎ 在RT△EQH中，EH=，QH =，QE =，根据勾股定理得， [来源:学_科_网]‎ ‎ +=‎ 求得 考点：一次函数、二次函数、简单的二元二次方程组、一元二次方程根的判别式、平面直角坐标系中的平行与垂直，直角三角形，圆（相切、圆心角）（初一下-平面直角坐标系，初二下-勾股定理，一次函数，初三上-一元二次方程，圆，初三下-二次函、相似三角形）‎ ‎【海壁分析】延续了南宁市一贯的出题风格，本次考试的压轴题选择了二次函数综合题。‎ 第一小题考查了二次函数与一次函数的交点（以前一般是求解析式），并不难，数学等级在B以上的都应该拿分，而且这个分比拿选择、填空最后一题的分要容易的多，看到很多同学不做，我们感到十分可惜。‎ 第二小题也没有出乎我们的预料，命题者选择了三种最值问题中的第二种，重点考察是否了解通过平行线求最值的思路。在海壁的课堂上，这种题型我们做过专题的分析，我相信参加中考的海壁同学都能拿分。其实，求出P点以后，用点线距公式来解更加简单。‎ 最后一小题，据我们了解，得分的不多，跪的多，第一难在理解，“是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”，这句话让很多人彻底凌乱，很少人能联想到圆的切点。第二，这个题和其他的“存在问题”又有不同，一般的存在问题是通过设点的坐标来表示线段的长度，而这道题却是用已经存在的参数k来表示线段的长度，这又是一点区别，第三，答案的得数是一个无理数，含有根号，这样就会让计算难度增大极多。综上，海壁教育认为，第三小问在南宁能答对的人不会超过千分之一。海壁预测，2015年，整套试卷的题目难度会降低，最后一题重点复习“动点问题”。‎