陕西省西安市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

陕西省西安市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

市一中2019-2020学年度第二学期线上教学测试 高一数学试题 命题人：任维维 审题人：白恒星 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1.以下说法错误的是（　 ）‎ A. 零向量与任一非零向量平行 B. 零向量与单位向量的模不相等 C. 平行向量方向相同 D. 平行向量一定是共线向量 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】数学规定：零向量与任一非零向量平行，故A说法正确；‎ 零向量的模为零，单位向量的模为1，故B说法正确；‎ 平行向量的方向相同或相反，故C说法不正确；‎ 平行向量也叫共线向量，故D说法正确.‎ 故选：C．‎ 考点：本题主要考查向量的基础知识．‎ 点评：简单题，确定说法错误的选项，应将各选项逐一考察．‎ ‎2.如果且，则角的终边可能位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数在各个象限的符号，即可判定，得到答案．‎ ‎【详解】由，则角为位于第三、四象限，又由，则角为位于第二、四象限，‎ 所以角为位于第四象限，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数在各个象限的符号的应用，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎3.如图，边长为2的正方形内有一内切圆.‎ 在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算正方形与内切圆的面积，根据几何概型求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了面积比型的几何概型，属于容易题.‎ ‎4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)‎ A. 分层抽样法，系统抽样法 B. 分层抽样法，简单随机抽样法 C. 系统抽样法，分层抽样法 D. 简单随机抽样法，分层抽样法 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．‎ ‎【详解】依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法． ‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．‎ ‎5.已知某运动员每次投篮命中的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5,6,7,8表示命中,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:‎ ‎907‎ ‎966‎ ‎191‎ ‎925‎ ‎271‎ ‎932‎ ‎812‎ ‎458‎ ‎569‎ ‎683‎ ‎431‎ ‎257‎ ‎393‎ ‎027‎ ‎556‎ ‎488‎ ‎730‎ ‎113‎ ‎537‎ ‎989‎ 据此估计,该运动员三次投篮均命中的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在这20组数据中，表示该运动员三次投篮均命中的有10组，从而得出结论.‎ ‎【详解】在这20组数据中，表示该运动员三次投篮均命中的有：‎ ‎271,812,458,683,431,257,556,488,113,537，共10组，‎ 所以，估计该运动员三次投篮均命中的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.某城市2017年的空气质量状况如下表所示：‎ 污染指数 ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎140‎ 概率 其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互斥事件的和的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】由表知空气质量为优的概率是，‎ 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，‎ 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.‎ ‎7.下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）‎ A. 42 B. ‎43 ‎C. 44 D. 45‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式的解中最大自然数，即可求解.‎ ‎【详解】由算法语句知，‎ 运行该程序实现求不等式的解中最大自然数的功能，‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.‎ ‎8.已知向量,若,则( )‎ A. B. C. 0 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量共线定理求出参数的值，再利用向量的数量积的坐标运算计算可得.‎ ‎【详解】解：向量,若,则,解得,‎ 所以,有.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量共线定理及向量的数量积，属于基础题.‎ ‎9. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）‎ A. 2，5 B. 5，‎5 ‎C. 5，8 D. 8，8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，选C.‎ 考点：茎叶图 ‎10.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以函数的单调递增区间就是函数的减区间.‎ 令 所以函数的增区间为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11.若函数的图象向右平移个单位以后关于轴对称，则的值可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相位变换原则可求得平移后的解析式，根据图象对称性可知，，从而求得；依次对应各个选项可知为一个可能的取值.‎ ‎【详解】向右平移得：‎ 此时图象关于轴对称 ，‎ ‎，‎ 当时，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换、根据三角函数性质求解函数解析式的问题，关键是能够通过对称关系构造出方程.‎ ‎12.已知为三角形内部任一点（不包括边界），且满足，则的形状一定为（ ）‎ A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设中点为，由题意可知,可得三角形形状.‎ ‎【详解】设中点为,‎ 则，‎ 又,‎ 所以，‎ 故三角形为等腰三角形，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了向量的加法、减法运算，向量垂直，数量积的性质，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13.若扇形圆心角为，扇形面积为，则扇形半径为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.‎ ‎【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则.‎ ‎【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制的转化，考查扇形面积公式，属于基础题.‎ ‎14.已知向量，，若，则______.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积的坐标运算，即可求解.‎ ‎【详解】因为，,‎ 所以，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量加法的坐标运算，数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于中档题.‎ ‎15.执行如图所示的程序框图，则输出的______.‎ ‎ ‎ ‎【答案】35‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图，模拟程序运算即可求解.‎ ‎【详解】第一次执行程序后，，‎ 第二次执行程序后，，‎ 第三次执行程序后，，‎ 满足，‎ 输出.‎ 故答案为：35‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.‎ ‎16.化简等于______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式化简即可.‎ ‎【详解】由诱导公式化简：‎ ‎,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎17.已知函数,则下列结论正确的是______（请把正确的序号填到横线处）‎ ‎①的一个周期是 ‎②的一个对称中心是 ‎③的一条对称轴方程是 ‎④在上是减函数 ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦函数的性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】①: 是的最小正周期是，所以也是它的一个周期，故本结论正确；‎ ‎②：当时，，所以函数关于对称，故本结论正确；‎ ‎③：当时，，所以函数是函数一条对称轴，故本结论正确； ‎ ‎④：的单调减区间为：，当时，，故本结论不正确.‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点睛】本题考查了余弦型函数的对称性、周期性、对称性，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共4小题，共44分）‎ ‎18.某市公交公司为了鼓励广大市民绿色出行,计划在某个地段增设一个起点站,为了研究车辆发车的间隔时间与乘客等候人数之间的关系,经过抽样调查五个不同时段的情形,统计得到如下数据:‎ 间隔时间(分钟)‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ 等候人数(人)‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎23‎ ‎26‎ ‎29‎ 调查小组先从这5组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程,再用剩下的1组数据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求的回归方程是“理想回归方程”.‎ ‎(1)若选取的是前4组数据,求关于的线性回归方程 ‎,并判断所求方程是否是“理想回归方程”;‎ ‎(2)为了使等候的乘客不超过38人,试用所求方程估计间隔时间最多可以设为多少分钟?‎ 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:‎ ‎,.‎ ‎【答案】(1),是;(2)21分钟.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得与的值，进而可得线性回归方程，再利用，得到的值，与题中给出的值作差，与1比较大小得结论；‎ ‎（2）结合（1）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间.‎ ‎【详解】(1)∵,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎∴,∴.‎ 当时,,,‎ 所以方程是“理想回归方程”.‎ ‎(2)由,得.‎ ‎∴估计间隔时间最多可以设置为21分钟.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的计算及其应用，属于基础题.‎ ‎19.如图所示，在中，是以为中点的点的对称点，，和交于点，设，.‎ ‎（1）用和表示向量、；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面向量加减运算的三角形法则可得出、关于、的表达式；‎ ‎（2）利用向量减法的三角形法则可得出，设，可建立有关、的方程组，即可解出实数的值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，是线段中点，且.‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 由题可得，且，‎ 设，即，则有，解得.‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及共线向量、平面向量基本定理，考查方程思想的应用，属于中等题.‎ ‎20.某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:‎ ‎(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;‎ ‎(2)学校从参加调查的年龄在和的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.‎ ‎【答案】(1)60,;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；‎ ‎（2）利用分层抽样可得6人中年龄在内有2人，设为、，在内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可.‎ ‎【详解】(1)这100位留言者年龄的样本平均数,‎ ‎,‎ 年龄在中的频率为:,‎ 年龄在中的频率为:,‎ 中位数在区间中,‎ 中位数为.‎ ‎(2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在内有2人,设为､,‎ 在内有4人,设为1､2､3､4.‎ 设事件“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元”.‎ 从这6人中选3人的所有基本事件有:､､､､､､､､､､､､､､､､123､124､134､234,共20个.‎ 其中事件的对立事件即3个人都是年龄内,‎ 包含的有123､124､134､234,共4个.‎ ‎(写出事件的基本事件个数也可以)‎ 所以.,‎ ‎【点睛】本题考查平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于基础题.‎ ‎21.已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值：当时，取得最小值.‎ ‎（1）求函数解析式；‎ ‎（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；‎ ‎（2）先确定范围，再结合正弦函数图象确定实数满足的条件，解得结果.‎ ‎【详解】（1）解：由题意知，得周期 即得，则，则 当时，取得最大值，即，得 得，得 当时，，因此 ‎（2），即 当时，则 当时，‎ 要使有两个根，则，得 即实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.‎