南京市中考数学试卷

南京市中考数学试卷

‎2017年南京市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题（共6小题；共30分）‎ ‎1. 计算 的结果是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎2. 计算 的结果是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有 个面是三角形；乙同学：它有 条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是 ‎ ‎ A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥 ‎ ‎ ‎4. 若 ，则下列结论中正确的是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎5. 若方程 的两根为 和 ，且 ，则下列结论中正确的是 ‎ ‎ A. 是 的算术平方根 B. 是 的平方根 ‎ C. 是 的算术平方根 D. 是 的平方根 ‎ ‎ ‎6. 过三点 ，， 的圆的圆心坐标为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 二、填空题（共10小题；共50分）‎ ‎7. 计算：  ；  ．‎ ‎ ‎ ‎8. 年南京实现GDP约 亿元，称为全国第 个经济总量超过万亿的城市．用科学计数法表示 是  ．‎ ‎ ‎ ‎9. 若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是  ．‎ ‎ ‎ ‎10. 计算 的结果是  ．‎ ‎ ‎ ‎11. 方程 的解是  ．‎ ‎ ‎ ‎12. 已知关于 的方程 的两根为 和 ，则  ，  ．‎ ‎ ‎ ‎13. 下图是某市 年私人汽车拥有量和年增长率的统计图．该市私人汽车拥有量年净增量最多的是   年，私人汽车拥有量年增长率最大的是   年．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14. 如图， 是五边形 的一个外角．若 ，则   ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15. 如图，四边形 是菱形， 经过点 ，，，与 相交于点 ，连接 ，．若 ，则   ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. 函数 与 的图象如图所示，下列关于函数 的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当 时， 随 的增大而减小；③当 时，函数的图象最低点的坐标是 ．其中所有正确结论的序号是  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（共11小题；共143分）‎ ‎17. 计算 ．‎ ‎ ‎ ‎18. 解不等式组 ‎ ‎ 请结合题意，完成本题的解答．‎ ‎（1）解不等式 ，得  ．‎ ‎ 依据是：  ．‎ ‎（2）解不等式 ，得  ．‎ ‎（3）把不等式 ， 和 的解集在数轴上表示出来．‎ ‎ ‎ ‎（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集  ．‎ ‎ ‎ ‎19. 如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在 ， 上，且 ，， 相交于点 ．求证 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. 某公司共 名员工，下表是他们月收入的资料．‎ ‎（1）该公司员工月收入的中位数是   元，众数是   元．‎ ‎（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为 元．你认为用平均数、中位数、众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适?说明理由．‎ ‎ ‎ ‎21. 全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划．假定生男生女的概率相同，回答下列问题：‎ ‎（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是  ；‎ ‎（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．‎ ‎ ‎ ‎22. “直角”在初中几何学习中无处不在．‎ ‎ 如图，已知 ．请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．‎ ‎ ‎ ‎ 小丽的方法 ‎ 如图，在 ， 上分别取点 ，，以 为圆心， 长为半径画弧，交 的反向延长线于点 ．若 ，则 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23. 张老师计划到超市购买甲种文具 个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买 个甲种文具，需增加购买 个乙种文具．设购买 个甲种文具时，需购买 个乙种文具．‎ ‎（1）①当减少购买 个甲种文具时，  ，  ；‎ ‎ ②求 与 之间的函数表达式．‎ ‎（2）已知甲种文具每个 元，乙种文具每个 元，张老师购买这两种文具共用去 元．甲、乙两种文具各购买了多少个?‎ ‎ ‎ ‎24. 如图，， 是 的切线，， 为切点．连接 并延长，交 的延长线于点 ．连接 ，交 于点 ．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证： 平分 ．‎ ‎（2）连接 ．若 ，求证 ．‎ ‎ ‎ ‎25. 如图，港口 位于港口 的南偏东 方向，灯塔 恰在 的中点处．一艘海轮位于港口 的正南方向，港口 的正西方向的 处，它沿正北方向航行 到达 处，测得灯塔 在北偏东 方向上．这时， 处距离港口 有多远?（参考数据：，，）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎26. 已知函数 （ 为常数）．‎ ‎（1）该函数的图象与 轴公共点的个数是 ‎ ‎ A B C D 或 ‎ ‎（2）求证：不论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上．‎ ‎（3）当 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎27. 折纸的思考．‎ ‎（1）【操作体验】‎ ‎ 用一张矩形纸片折等边三角形．‎ ‎ 第一步，对折矩形纸片 （图①），使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平（图②）．‎ ‎ 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 落在 上的 处，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，折出 ，，得到 ．‎ ‎ （）说明 是等边三角形．‎ ‎ ‎ ‎（2）【数学思考】‎ ‎ （）如图④，小明画出了图③的矩形 和等边三角形 ．他发现，在矩形 中把 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．‎ ‎ （）已知矩形一边长 ，另一边长为 ．对于每一个确定的 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的 的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎（3）【问题解决】‎ ‎ （）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 和 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为   ．‎ 答案 第一部分 ‎1. C 2. C 3. D 4. B 5. C ‎ ‎6. A ‎ 第二部分 ‎7. ；‎ ‎8. ‎ ‎9. ‎ ‎10. ‎ ‎11. ‎ ‎12. ；‎ ‎13. ；‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ①③‎ 第三部分 ‎17. ‎ ‎18. （1） ；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 ‎      （2） ‎ ‎      （3） ‎ ‎      （4） ‎ ‎19. 因为四边形 是平行四边形，‎ 所以 ，．‎ 所以 ，．‎ 因为 ，‎ 所以 ，即 ．‎ 在 和 中，‎ ‎ ‎ 所以 ．‎ 所以 ．‎ ‎20. （1） ；‎ ‎      （2） 本题答案不唯一，下列解法供参考．例如：‎ 用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适．在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大．该公司员工月收入的中位数是 元，这说明除去月收入为 元的员工，一半员工收入高于 元，另一半员工收入低于 元．因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势．‎ ‎21. （1） ‎ ‎      （2） 乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），共有 种，它们出现的可能性相同，‎ 所有的结果中，满足“至少有一个孩子是女孩”（记为事件 ）的结果有 种，‎ ‎ ．‎ ‎22. 方法 ：如图①，‎ 在 ， 上分别截取 ，．‎ 若 ，则 ．‎ ‎【解析】方法 ：如图②，‎ 在 ， 上分别取点 ，，以 为直径画圆．‎ 若点 在圆上，则 ．‎ ‎23. （1） ① ； ‎ ‎②根据题意，得 ．‎ ‎ 与 之间的函数表达式为 ．‎ ‎      （2） 根据题意，得 ‎ 解得 ‎ 答：甲、乙两种文具各购买了 个和 个．‎ ‎24. （1） 如图，连接 ．‎ ‎ ， 是 的切线，‎ ‎ ，．‎ 又 ，‎ ‎ 平分 ．‎ ‎      （2） ，，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 平分 ，‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ 又 ，‎ ‎ 是等边三角形．‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎25. 如图，过点 作 ，垂足为 ，‎ 设 ，‎ 在 中，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 在 中，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ 又 为 的中点，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 因此， 处距离港口 大约 ．‎ ‎26. （1） D ‎      （2） ‎ 所以该函数的图象的顶点坐标为 ，‎ 把 代入 ，‎ 得 ．‎ 因此，不论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上．‎ ‎      （3） 设函数 ．‎ 当 时， 有最小值 ．‎ 当 时， 随 的增大而减小；‎ 当 时， 随 的增大而增大．‎ 又当 时，；‎ 当 时，．‎ 因此，当 时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是 ．‎ ‎27. （1） 由折叠，，，‎ 因此， 是等边三角形．‎ ‎      （2） （）本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，‎ 如图，‎ 以点 为中心，在矩形 中把 逆时针方向旋转适当的角度，得到 ；‎ 再以点 为位似中心，将 放大，使点 的对应点 落在 上，得到 ．‎ ‎（）本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，‎ 情形 ，如图所示：‎ ‎ 的取值范围为 ；‎ 情形 ，如图所示：‎ ‎ 的取值范围为 ；‎ 情形 ，如图所示：‎ ‎ 的取值范围 ．‎ ‎      （3） ‎