2018年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学

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2018 年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学 一、填空题 1.已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则 A∩B=_____. 解析：∵集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， ∴A∩B={2，4}. 答案：{2，4} 2.不等式 01 x x  的解集为_____. 解析：∵ 01 x x  ， ∴ 0 10 x x    ＞ 或 0 10 x x    ＜ ， 解得：﹣1＜x≤0， 答案：(﹣1，0] 3.已知 4sin 5＝ ，则  cos 2   =_____. 解析：∵sinα = 4 5 ， ∴cos( 2  +α )=﹣sinα =﹣ 4 5 . 答案：﹣ 4 5 4. 1 31lim 31 n nn    =_____. 解析：    1 11 33 1 1lim lim 331 13 3 n n nnnn         ， ∴ 1 3 1 1lim 331 n nn     . 答案： 1 3 5.已知球的表面积为 16π ，则该球的体积为_____. 解析：一个球的表面积是 16π ，所以球的半径为：2， 所以这个球的体积为： 34 32233   . 答案： 32 3  6.已知函数 f(x)=1+logax，y=f﹣1(x)是函数 y=f(x)的反函数，若 y=f﹣1(x)的图象过点(2， 4)，则 a 的值为_____. 解析：∵y=f﹣1(x)的图象过点(2，4)， ∴函数 y=f(x)的图象过点(4，2)， 又 f(x)=1+logax， ∴2=1+loga4，即 a=4. 答案：4 7.若数列{an}为等比数列，且 a5=3，则 27 38 aa aa  =_____. 解析：根据题意， 27 38 aa aa  =a2·a8﹣a3·(﹣a7)=a2·a8+a3·a7， 又由数列{an}为等比数列，且 a5=3， 则有 a2·a8=a3·a7=9， 则 27 38 aa aa  =9+9=18； 答案：18 8.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(a+b+c)(a﹣b+c)=ac，则 B=_____. 解析：△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ∵(a+b+c)(a﹣b+c)=ac，即 a2+c2﹣b2=﹣ac， 又 2 2 2 1cos 22 a c bB ac    ， ∴B= 2 3  . 答案： 2 3  9.若 12 n x x 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256，则该展开式中常数项的值 为_____. 解析：由题意可知，2n=256，解得 n=8. ∴   8112 = 2 n xxxx，其展开式的通项    8 8 8 2 1 8 8 122 r rr r r r rT C x C xx        ＝ ， 令 8﹣2r=0，得 r=4. ∴该展开式中常数项的值为 44 582 1120TC＝ ＝ . 答案：1120 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数，当 x∈[2，4]时，    4 3log 2f x x ＝ ， 则  1 2f 的值为_____. 解析：∵函数 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数， ∴        1 1 1 742 2 2 2f f f f ， 又当 x∈[2，4]时， ， ∴      44 lg 2 lg 21 7 7 3 1log log 22 2 2 2 lg 4 2 lg 2 2ff   ＝ ＝ ＝ . 答案： 1 2 11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，2Sn=an·an+1(n∈N*).若   1 211 n n nn nb aa   ，则 数列{bn}的前 n 项和 Tn=_____. 解析：∵2Sn=an·an+1(n∈N*). 当 n≥2 时，2Sn﹣1=an﹣1·an， ∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=an(an+1﹣an﹣1)， ∵a1=1， ∴an≠0 ∴an+1﹣an﹣1=2， ∴(an+1﹣an)+(an﹣an﹣1)=2， ∴an﹣an﹣1=1， ∴数列{an}是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴an=1+(n﹣1)=n， ∴          1 2 1 2 1 1 11 1 1 11 n n n n nn nnb a a n nnn         ， 数列{bn}的前 n 项和          1 1 1 1 1 1 1112 2 3 3 4 1 n nT nn            ﹣ ， 当 n 为偶数时， 1 1nT n  -1+ ， 当 n 为奇数时，  1 1 1 1111nT n n n n      -1+ ， 综上所述  1 1 n nT n    -1+ ， 答案：  1 1 n n   -1+ 12.若不等式 x2﹣2y2≤cx(y﹣x)对任意满足 x＞y＞0 的实数 x、y 恒成立，则实数 c 的最大 值为_____. 解析：∵不等式 x2﹣2y2≤cx(y﹣x)对任意满足 x＞y＞0 的实数 x、y 恒成立， ∴ 2 22 22 2 2 x yxyc xy x xx yy              ， 令 1x ty  ＞ ， ∴   2 2 2tc f t tt   ，           2 2222 2 2 2 242 ttttft t t t t        ， 当 t＞ 22 时，f′(t)＞0，函数 f(t)单调递增；当 1＜t＜ 22 时，f′(t)＜0，函 数 f(t)单调递减. ∴当 t= 22 时，f(t)取得最小值，  2 2 2 2 4f ＝ . ∴实数 c 的最大值为 2 2 4 . 答案： 2 2 4 二、选择题(本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分) 13.设角 α 的始边为 x 轴正半轴，则“α 的终边在第一、二象限”是“sinα ＞0”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 解析：∵角 α 的始边为 x 轴正半轴， ∴“α 的终边在第一、二象限”⇒“sinα ＞0”， “sinα ＞0”⇒“α 的终边在第一、二象限或 α 的终边在 x 轴正半轴”， ∴“α 的终边在第一、二象限”是“sinα ＞0”的充分非必要条件. 答案：A 14.若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面 β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与 l1，l2 都不相交 B.l 与 l1，l2 都相交 C.l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1，l2 中的一条相交 解析：A.l 与 l1，l2 可以相交，如图： ∴该选项错误； B.l 可以和 l1，l2 中的一个平行，如上图，∴该选项错误； C.l 可以和 l1，l2 都相交，如下图： ∴该选项错误； D.“l 至少与 l1，l2 中的一条相交”正确，假如 l 和 l1，l2 都不相交； ∵l 和 l1，l2 都共面； ∴l 和 l1，l2 都平行； ∴l1∥l2，l1 和 l2 共面，这样便不符合已知的 l1 和 l2 异面； ∴该选项正确. 答案：D 15.对任意两个非零的平面向量 和  ，定义 || || cos     ＝ ，其中 θ 为 和  的夹 角，若两个非零的平面向量 a 和b 满足：①| | | |ab ；② a 和 b 的夹角  0 4   ， ；③ ab 和 ba 的值都在集合 2| nx x n N＝ ， 中，则 的值为( ) A. 5 2 B. 3 2 C.1 D. 1 2 解析：∵ | | | | | | | cos c 2| os2 aba b b a b nm a    ＝ ， ，m∈N， 由 与  的夹角 θ ∈(0， 4  )，知 2cos 4 mn  ∈( 1 2 ，1)， 故 mn=3，m，n∈N， ∵| | | |ab ， ∴ 012b ma＜ ＜ ， ∴m=1，n=3， ∴ 3 2ab ＝ ， 答案：B 16.已知函数   120 2 12 2 12 xx fx xx      ， ＝ ， ＜ ，且 f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn﹣1(x))，n=1，2，3，…. 则满足方程 fn(x)=x 的根的个数为( ) A.2n 个 B.2n2 个 C.2n 个 D.2(2n﹣1)个 解析：当 x∈[0， 1 2 ]时，f1(x)=f(x)=2x=x，解得 x=0； 当 x∈( 1 2 ，1]时，f1(x)=f(x)=2﹣2x=x，解得 x= 2 3 ， ∴f 的 1 阶根的个数是 2. 当 x∈[0， 1 4 ]时，f1(x)=f(x)=2x，f2(x)=4x=x，解得 x=0； 当 x∈( 1 4 ， 1 2 ]时，f1(x)=f(x)=2x，f2(x)=2﹣4x=x，解得 x= 2 5 ； 当 x∈( 1 2 ， 3 4 ]时，f1(x)=2﹣2x，f2(x)=﹣2+4x=x，解得 x= 2 3 ； 当 x∈( 3 4 ，1]时，f1(x)=2﹣2x，f2(x)=4﹣4x=x，解得 x= 4 5 . ∴f 的 2 阶根的个数是 22. 依此类推 ∴f 的 n 阶根的个数是 2n. 答案：C 三.解答题(本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分) 17.如图，设长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=3，AA1=4. (1)求四棱锥 A1﹣ABCD 的体积； (2)求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) 解析：(1)A1 到平面 ABCD 的距离 d=AA1=4，S 正方体 ABCD=AB×BC=9，由此能求出四棱锥 A1﹣ABCD 的体积. (2)由 A1B∥D1C，知 ∠D1CB1 是异面直线 A1B 与 B1C 所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面 直线 A1B 与 B1C 所成角. 答案：(1)∵A1 到平面 ABCD 的距离 d=AA1=4，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=3， ∴S 正方体 ABCD=AB×BC=3×3=9， ∴四棱锥 A1﹣ABCD 的体积 1 114 9 1233ABCDV AA S     正 方 体 ＝ . (2)∵A1B∥D1C， ∴∠D1CB1 是异面直线 A1B 与 B1C 所成角(或所成角的补角)， ∵ 11 9 9 3 2BD    ，B1C=D1C= 9 16 =5， ∴ 2 2 2 1 1 1 1 11 11 25 25 18 16cos 2 2 5 5 25 B C D C B DD CB B C D C         ， ∴∠D1CB1=arccos 16 25 . ∴异面直线 A1B 与 B1C 所成角为 arccos . 18.已知复数 z 满足 2z  ，z2 的虚部为 2. (1)求复数 z； (2)设 z、z2、z﹣z2 在复平面上的对应点分别为 A、B、C，求△ABC 的面积. 解析：(1)设 z=a+bi(a，b∈R)，由已知列关于 a，b 的方程组，求解可得复数 z； (2)分类求得 A、B、C 的坐标，再由三角形面积公式求解. 答案：(1)设 z=a+bi(a，b∈R)， 由已知可得： 22 2 22 ab ab      ＝ ＝ ，即 222 1 ab ab     ＝ ， 解得 1 1 a b    ＝ ＝ 或 1 1 a b    ＝ - ＝ - . ∴z=1+i 或 z=﹣1﹣i； (2)当 z=1+i 时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i， ∴A(1，1)，B(0，2)，C(1，﹣1)， 故△ABC 的面积 S= 1 2 ×2×1=1； 当 z=﹣1﹣i 时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i， ∴A(﹣1，﹣1)，B(0，2)，C(﹣1，﹣3)， 故△ABC 的面积 S= 1 2 ×2×1=1. ∴△ABC 的面积为 1. 19.一根长为 L 的铁棒 AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽 AC=BD=2m. (1)设∠BOD=θ ，试将 L 表示为 θ 的函数； (2)求 L 的最小值，并说明此最小值的实际意义. 解析：(1)利用直角三角形中的边角关系，求得 L 的解析式. (2)求导，分析导函数的符号，进而可得 L 的最值，进而得到最值的含义. 答案：(1)∵走廊的宽 AC=BD=2m. ∠BOD=∠BAC=θ ， ∴ 22 sin cosL ＝ ； (2)∵ 22 sin cosL ＝ ∴ 22 2 cos 2 sin sin cos L   ＝ . ∵θ ∈(0， 4  )，L′＜0，L 为减函数； θ ∈( ,42 )，L′＞0，L 为增函数； ∴θ = 4  时，L 取最小值 42， 该最小值表示：超过 42则无法通过. 20.已知函数 f(x)=2x+2﹣x. (1)求证：函数 f(x)是偶函数； (2)设 a∈R，求关于 x 的函数 y=22x+2﹣2x﹣2af(x)在 x∈[0，+∞)时的值域 g(a)表达式； (3)若关于 x 的不等式 mf(x)≤2﹣x+m﹣1 在 x∈(0，+∞)时恒成立，求实数 m 的取值范围. 解析：(1)利用奇偶性的定义，可得函数 f(x)是偶函数； (2)令 t=f(x)=2x+2﹣x.则 t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2，y=22x+2﹣2x﹣2af(x)=t2﹣2at﹣2，结合二次函 数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域； (3)若关于 x 的不等式 mf(x)≤2﹣x+m﹣1 在 x∈(0，+∞)时恒成立，即 21 2 2 1 x xxm     在 x ∈(0，+∞)时恒成立，求出 21 2 2 1 x xx     的最小值，可得答案. 答案：(1)∵函数 f(x)=2x+2﹣x 的定义域关于原点对称， 且 f(﹣x)=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f(x)， 故函数 f(x)是偶函数； (2)令 t=f(x)=2x+2﹣x. 则 t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2 y=22x+2﹣2x﹣2af(x)=t2﹣2at﹣2， 当 a≤2 时，当 t=2 时，函数取最小值 2﹣4a，无最大值； 此时函数的值域为[2﹣4a，+∞)， a＞2 时，当 t=a 时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值； 此时值域为[﹣a2﹣2，+∞)； (3)若关于 x 的不等式 mf(x)≤2﹣x+m﹣1 在 x∈(0，+∞)时恒成立 即 m(2x+2﹣x)≤2﹣x+m﹣1 在 x∈(0，+∞)时恒成立 即   2 2 1 2 111 2 2 1 2 2 1 2 2 1 xx x x x x xx m              在 x∈(0，+∞)时恒成立 当 x=1 时，2﹣x= 1 2 ，此时(2﹣x)2﹣2﹣x+1 取最小值 3 4 ， 故   2 1 2 2 1xx  取最大值 4 3 ， 故   2 11 2 2 1xx    取最小值 1 3 故 1 3m  . 21.已知数列{an}满足：a1=1， 2 1 114 n na a ＝ ，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且满足 21 22 1 16 8 3nn nn SSnn aa     ＝ ，试确定 b1 的值，使得 数列{bn}为等差数列； (3)将数列 2 1 na    中的部分项按原来顺序构成新数列{cn}，且 c1=5，求证：存在无数个满足 条件的无穷等比数列{cn}. 解析：(1)由 a1=1，两边平方化简可得 22 1 11 nnaa  =4，则数列 2 1 na    是以 1 为首项，以 4 为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得 2 1 na ，即可求得数列{an}的通项公式； (2)由(1)可得化简整理 1 4 1 4 3 nnSS nn   =1，得利用等差数列的通项公式可得： 43 nS n  =b1+n ﹣1，即 Sn=(b1+n﹣1)(4n﹣3)，当 n≥2 时，bn=Sn﹣Sn﹣1，化为 bn=4b1+8n﹣11，取 n=1 即可 得出； (3)解法 1：令等比数列{cn}的公比 q=4m(m∈N*)，则 cn=c1qn﹣1=5×4m(n﹣1)，设 k=m(n﹣1)，可 得 5×4m(n﹣1)=3[5(1+4+42+…+4k﹣1)+2]﹣1，….因为 5(1+4+42+…+4k﹣1)+2 为正整数，可得数 列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，进而证明结论. 解法 2：设 c2=4k2﹣3(k2≥3)，所以公比 q= 243 5 k  ，由等比数列{cn}的各项为整数，则 q 为整数，取 q=4m+1，故 cn=5·(4m+1)n﹣1，利用等差数列定义可得 kn 是正整数，因此以数列 {cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，即可证明. 答案：(1) 2 1 114 n na a ＝ ，则 =4，n∈N* ∴数列 2 1 na    是以 1 为首项，以 4 为公差的等差数列，则 =1+4(n﹣1)=4n﹣3， ∴ 4 1 3na n   ， ∴数列{an}的通项公式 4 1 3na n   ； (2)由(1)可得 4 1 3na n   ， ∵ 21 22 1 16 8 3nn nn SSnn aa     ＝ ，∴(4n﹣3)Sn+1=(4n+1)Sn+16n2﹣8n﹣3， ∴ =1， ∴数列 43 nS n      是等差数列，首项为 S1，公差为 1.∴ =b1+n﹣1， ∴Sn=(b1+n﹣1)(4n﹣3)， 当 n≥2 时，bn=Sn﹣Sn﹣1=(b1+n﹣1)(4n﹣3)﹣(b1+n﹣2)(4n﹣7)，化为 bn=4b1+8n﹣11， 若数列{bn}为等差数列，则上式对于 n=1 时也成立， ∴b1=4b1﹣3，解得 b1=1.∴bn=8n﹣7 为等差数列. ∴b1=1，数列{bn}为等差数列； (3)证明：由(1)可得 =4n﹣3. 解法 1：令等比数列{cn}的公比 q=4m(m∈N*)，则 cn=c1qn﹣1=5×4m(n﹣1)， 设 k=m(n﹣1)，因为 1+4+42+…+4k﹣1= 41 3 k  ， 所以 5×4m(n﹣1)=5×[3(1+4+42+…+4k﹣1)+1]， =3[5(1+4+42+…+4k﹣1)+2]﹣1， 因为 5(1+4+42+…+4k﹣1)+2 为正整数， 所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列， 因为公比 q=4m(m∈N*)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{cn}有无数个. 解法 2：设 c2=4k2﹣3(k2≥3)，所以公比 q= 243 5 k  . 因为等比数列{bn}的各项为整数，所以 q 为整数， 取 k2=5m+2(m∈N*)，则 q=4m+1，故 cn=5·(4m+1)n﹣1， 由 4kn﹣3=5·(4m+1)n﹣1 得，kn= 1 4 [5(4m+1)n﹣1+3](n∈N*)， 而当 n≥2 时，kn﹣kn﹣1= 5 4 [(4m+1)n﹣1﹣(4m+1)n﹣2]=5m(4m+1)n﹣2， 即 kn=kn﹣1+5m(4m+1)n﹣2， 又因为 k1=2，5m(4m+1)n﹣2 都是正整数，所以 kn 也都是正整数， 所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列， 因为公比 q=4m+1(m∈N*)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{cn}有无数个.