数学（理）卷·2017届宁夏石嘴山市第三中学高三4月适应性（第二次模拟）考试（2017

数学（理）卷·2017届宁夏石嘴山市第三中学高三4月适应性（第二次模拟）考试（2017

高三年级适应性测试卷 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设向量，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.在中，分别是角的对边，若，的面积为，则边的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有带变形的.程序框图如图所示，若输入的值分别为（每次运算都精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，又，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.给出下列几个命题：‎ ‎①命题：任意，都有，则：存在，使得；‎ ‎②已知，若成立，且，则；‎ ‎③空间任意一点和三点，则是三点共线的充分不必要条件；‎ ‎④线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点中的一个.‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图，把周长为的圆的圆心放在轴上，点在圆上，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记弧，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ ‎11.双曲线的右焦点为，为其左支上一点，线段 与双曲线的一条渐近线相交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数的定义域为，，对任意，都有成立，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中各项系数和为，则的系数为 ．（用数字填写答案）‎ ‎14.记集合，构成的平面区域分别为，现随机地向中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入中的概率为 ．‎ ‎15.已知各项均为正数的等比数列，满足，若存在使得，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知当，表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且偶函数，则方程的所有解之和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列是首项为的单调递增的等比数列，且满足成等差数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和，并证明.‎ ‎18. 某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛.规定：第一阶段知识测试成绩不小于分的学生进入第二阶段比赛.现有 名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）估算这名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；‎ ‎（2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛.现甲、乙两队在比赛中均已获得分，进入最后强答阶段.抢答规则：抢到的队每次需猜条谜语，猜对条得分，猜错条扣分.根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对每条谜语的概率均为，猜对第条的概率均为.若这两条抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？‎ ‎19. 如图，在以为顶点的多面体中，平面，平面，，.‎ ‎（1）请在图中作出平面，使得，且，并说明理由；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 已知两点，动点在轴上的投影是，且.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）函数，若是的极值点，求的值并讨论的单调性；‎ ‎（2）函数有两个不同的极值点，其极小值为，试比较与的大小关系，并说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程式，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（是参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，试求实数的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个实数，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5.CDBDD 6-10.DBAAD 11-12CC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由得，‎ 而，得，‎ 数列是首项为1的单调递增的等比数列，‎ 所以，.‎ ‎（2）由 ①，‎ 得 ②，‎ ‎①-②得，‎ 化简得，‎ 所以.‎ ‎18. 解：（1）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，‎ ‎ ，‎ 解得：．‎ ‎∴测试成绩中位数为．‎ 进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．‎ ‎（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎∴最后抢答阶段甲队得分的期望为，‎ ‎∵，，‎ ‎，， ‎ ‎∴， m]‎ ‎∴最后抢答阶段乙队得分的期望为．‎ ‎∴，‎ ‎∴支持票投给甲队．‎ ‎19. 解：（1）如图，取中点，连接，则平面即为所求的平面，‎ 显然，以下只需证明平面；‎ ‎∵，‎ ‎∴且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面. ‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，平面，，‎ ‎∴平面平面.‎ 又平面，‎ ‎∴平面，即平面.‎ ‎（2）过点作并交于，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，即两两垂直，‎ 以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.‎ 在等腰梯形中，∵，‎ ‎∴，‎ 则.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量，‎ 由，得，‎ 取，可得平面的一个法向量.‎ 设直线和平面所成角为，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 故直线和平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.（1）设点坐标为，∴点坐标为， ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴点的轨迹方程为.‎ ‎（2）当两直线的斜率都存在且不为时，设,,‎ ‎,,‎ 联立方程得，，，∴恒成立,‎ ‎∴，‎ ‎∴中点坐标为，‎ 同理，中点坐标为，‎ ‎∴，‎ ‎∴的方程为，∴过点.‎ 当两直线的斜率分别为和不存在时，的方程为，也过点 综上所述，过定点.‎ ‎21. 解:（1） ，‎ ‎，‎ 因为是的极值点，所以，得，，‎ 此时,,‎ 当时，；当时，．‎ 所以在单调递减，在单调递增．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 因为有两个不同的极值点，所以在有两个不同的实根，‎ 设此两根为，，且．‎ ‎，即解得．]‎ 与随的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎—‎ ‎+‎ 极大值 极小值 由表可知，‎ 因为，所以代入上式得：‎ ‎，所以，‎ 因为，且，所以．‎ 令，则，‎ 当时，，即在单调递减，‎ 所以当时，有，‎ 即． ‎ ‎22.（1）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为:.‎ 直线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）（法一）由（1）知：圆心的坐标为，圆的半径，‎ ‎∴圆心到直线的距离，‎ ‎∴，‎ ‎∴或.‎ ‎（法二）把（是参数）代入方程,‎ 得,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴或.‎ ‎23.（1）∵时，.‎ ‎∴当时，，不可能非负，‎ 当时，，由可解得，于是.‎ 当时，恒成立.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）由方程可变形为.‎ 令，‎ 作出图象如图所示.‎