数学（理）卷·2018届福建省龙海市程溪中学高三上学期期中考试（2017

数学（理）卷·2018届福建省龙海市程溪中学高三上学期期中考试（2017

高三（上）理科数学期中考试题 ‎ 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 设集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|2x＞1}，则集合A∪B等于（　　）‎ A. {x|x≥0}‎ B. {x|x≥-1}‎ C. {x|x＞0}‎ D. {x|x＞-1}‎ 2. 已知复数z=（其中i为虚数单位）的虚部与实部相等，则实数a的值为（　　）‎ A. 1‎ B. ‎ C. -1‎ D. ‎ 3. 角α的终边经过点（2，-1），则sinα+cosα的值为（　　）‎ A. -‎ B. ‎ C. -‎ D. ‎ 4. 设，是向量，则“||=||”是“|+|=|-|”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列{an}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（　　）‎ A. ‎ B. 2π C. π2‎ D. π 6. 函数y=的部分图象大致为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 1. 设函数f（x）=，则f（27）+f（-log43）的值为（　　）‎ A. 6‎ B. 9‎ C. 10‎ D. 12‎ 2. 在△ABC中，若acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为（　　）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（　　）‎ A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 4. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x≥0，都有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则f（-2017）+f（2018）=（　　）‎ A. 1‎ B. -1‎ C. 0‎ D. 2‎ 5. 已知，则的值等于（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 6. 已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），‎ 当x≠0时，xf′（x）-f（x）＜0，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）‎ A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. a＜c＜b D. c＜a＜b 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 1. 向量，若与共线（其中m，n∈R且n≠0），则等于 ______ ．‎ 2. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3=5，S6=42，则S9= ______ ．‎ 3. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则角A= ______ （用弧度制表示）．‎ 4. 已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点，则实数a的取值范围为 ______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 5. ‎（本小题10分）已知． （I）求sinβ的值； （II）求的值． （本小题12分）已知向量，，‎ 函数． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，，c=1，且f（A）=1，求△ABC的面积S． ‎ ‎（本小题12分）已知数列{an}的前n项和为，且， （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，设数列{bn}的前n项和为，证明． ‎ 近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题： （1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？ 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1． （1）求证：数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设，求数列{cn}的前n项和Tn的取值范围． 已知函数，a∈R． （Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax+1，求函数g（x）的极值； （Ⅲ）若a=-2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．‎ ‎ 高三理科数学期中考试题答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. B    2. C    3. D    4. D    5. A    6. C    7. A    8. C    9. B    10. A    11. B    12. D    ‎ ‎13. 14. 117 15. 16. （0，1）‎ ‎17. 解（I）∵，， 0＜α+β＜π， cosα=， ∴sinα=， sin（α+β）=， 那么：sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=； （II）由（I）sinα=，cosα=， 那么sin2α=2sinαcosα=， cos2α=， cos2α=1-2sin2α=， ∴=．‎ ‎18. 解：（1）== = ==sin（2x-）， 由（k∈z）， 函数f（x）的单调递增区间为（k∈z）． （2）， ‎ 因为，，所以.，， 又a2=b2+c2-2bccosA，则b=2， 从而．‎ ‎19. 解：（1）当n=1时，得a1=1， 当n≥2时，得an=3an-1， 所以， （2）由（1）得：， 又① 得② 两式相减得：， 故， 所以Tn=-．‎ ‎20. 解：（1）由题意得P（x）=12+10x，‎ 则f（x）=Q（x）-P（x）= 即为f（x）= （2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212-160=52万元 当0≤x≤16时，函数f（x）=-0.5x2+12x-12 =-0.5（x-12）2+60， 当x=12时，f（x）有最大值60万元． 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．‎ ‎21. （1）证明：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）， ∴数列{an+1}是等比数列． ‎ ‎（2）解：由（1）及已知{an+1}是等比数列，公比q=2，首项为a1+1=2， ∴an+1=2•2n-1=2n， ∴． （3）解：=-， ∴=＜1， 设f（n）=1-，则f（n）是增函数， ∴当n=1时，f（n）取得最小值f（1）=． ∴Tn的取值范围是[，1）．‎ ‎22. 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1）， 又，则切线斜率f'（1）=2， 故切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0． （Ⅱ）g（x）=f（x）-（ax-1）=， 则=， 当a≤0时，∵x＞0，∴g'（x）＞0． ∴g（x）在（0，+∞）上是递增函数，函数g（x）无极值点， 当a＞0时，=， 令g'（x）=0得，∴当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0． 因此g（x）在上是增函数，在上是减函数． ∴时，g（x）有极大值． 综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值； ‎ ‎（Ⅲ）证明：当a=-2时，f（x）=lnx+x2+x，x＞0， 由f（x1）+f（x2）+x1x2=0， 即， 从而=x1x2-ln（x1x2）， 令t=x1x2，则φ（t）=t-lnt，得φ′（t）=， 可知φ（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增， ∴φ（t）≥φ（1）=1，∴， 因为x1＞0，x2＞0∴．‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：A={x|x（x+1）≤0}=[-1，0]， B={x|2x＞1}=（0，+∞）， ∴A∪B=[-1，+∞） 故选：B． 2. 解：z==， 则，即a=-1． 故选：C． 3. 解：∵已知角α的终边经过点（2，-1），则x=2，y=-1，r=， ∴sinα=-，cosα=， ∴sinα+cosα=-， 故选D． 4. 解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形； 若“|+|=|-|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形； 故“||=||”是“|+|=|-|”的既不充分也不必要条件； 故选：D． 根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案． 本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||=||”与“|+|=|-|”表示的几何意义，是解答的关键．‎ ‎5. 解：dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一， 则a2016+a2018=dx=π， ‎ ‎∵数列{an}为等差数列， ∴a2017=（a2016+a2018）=， 故选：A 根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=π，再根据等差中项的性质即可求出． 6. 解：函数y==， 可知函数是奇函数，排除选项B， 当x=时，f（）==，排除A， x=π时，f（π）=0，排除D． 故选：C． 7. 解：f（27）=log927==， f（-log43）=+=3+， 则f（27）+f（-log43）=+3+=6， 故选：A 8. 解：在△ABC中，由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知， sinAcosC+sinCcosA=sin2B， 即sin（A+C）=sinB=sin2B． ∵0＜B＜π，sinB≠0， ∴sinB=1，B=． 故选：C． 9. 解：要得到函数=cos（x-）的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2倍， 再再向右平行移动个单位长度，即可， 故选：B． 10. 解：任意的x≥0，都有f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），函数的周期为4， 函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1， 则f（-2017）+f（2018）=f（2017）+f（2018）=f（1）+f（2）=f（1）-f（0）=2-1+1-1=1． 故选：A． 11. 解：∵， ∴cos[π-（+2θ）]=-cos（+2θ）=-cos2（+θ）=-[1-2sin2（+θ）]=-，解得：sin2（+θ）=， ∴=±． ‎ 故选：B． 12. 解：构造函数g（x）=， ∴g′（x）=， ∵xf′（x）-f（x）＜0， ∴g′（x）＜0， ∴函数g（x）在（-∞，0）和（0，+∞）单调递减． ∵函数f（x）为奇函数， ∴g（x）=是偶函数， ∴c==g（-3）=g（3）， ∵a==g（e），b==g（ln2）， ∴g（3）＜g（e）＜g（ln2）， ∴c＜a＜b， 故选：D． 13. 解：∵=（1，2），=（-2，3）， ∴m-n=（m，2m）-（-2n，3n）=（m+2n，2m-3n）， =（1，2）+2（-2，3）=（-3，8） ∵向量m-n与向量共线 ∴8×（m+2n）=（2m-3n）×（-3） ∴14m=-7n ∴= 故答案为： 14. 解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3=5，S6=42， ∴a1+2d=5，6a1+d=42， 联立解得a1=-3，d=4． 则S9=-3×9+=117． 故答案为：117． 15. 解：∵， ∴×bcsinA=2bccosA， ∴sinA=cosA，可得：tanA=， ∵A∈（0，π）， ∴A=． 故答案为：． 16. 解：由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f ‎（x）有两个不同的交点， x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1）， ∵函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点， ∴只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点 x≤0，f′（x）=ex，f′（0）=1， ∴a＜1， 综上所述，0＜a＜1， 故答案为（0，1）． 由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点，只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点，求出函数在（0，1）处切线的斜率，即可得出结论． ‎