2009年高考试题—数学理（陕西卷）解析版

2009年高考试题—数学理（陕西卷）解析版

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷网 理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷) ‎ 第Ⅰ卷 ‎ ‎ ‎ ‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1．设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为 ‎（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0] 、‎ 答案：A 解析：不等式的解集是，而函数的定义域为，所以的交集是[0，1），故选择A ‎2.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于 ‎ ‎（A）2i (B)i (C)-i (D)-2i ‎ 答案：D 解析：代入法最简单 ‎3.函数的反函数为 ‎ ‎（A） (B) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（C） (D) ‎ 答案：B ‎4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网 ‎（A） （B）2 （C） （D）2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 答案：D ‎5.若,则 的值为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：A ‎6.若,则的值为 ‎ ‎（A）2 （B）0 （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：C 解析：则都能表示出来，则等于，再利用倒序相加法求得。‎ ‎7.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的 ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (D) 既不充分也不必要条件 ‎ 答案：C 解析：说明 ‎8.在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（A） （B） （C） (D) ‎ 答案：A ‎9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ‎ ‎(A)300 (B)216 (C) 180 (D)162网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：C 解析：分类讨论思想：‎ 第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为 共有，180个数 ‎ ‎ ‎10．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：B 解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，‎ ‎11．若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(A) （，2 ） (B) （，2 ） (C) (D) ‎ 答案：B 解析：根据图像判断，目标函数需要和，平行，‎ 由图像知函数a的取值范围是（，2 ）‎ ‎12．定义在R上的偶函数满足：对任意 的，有.‎ 则当时,有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(A) (B) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(C) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：C ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修选修Ⅱ）(陕西卷)‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).‎ ‎13．设等差数列的前n项和为,若,则 .‎ 答案：1‎ A B O1‎ O ‎14．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。‎ 答案：8‎ ‎15．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .‎ 答案：‎ ‎16．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：-2‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.‎ ‎(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ C B A C1‎ B1‎ A1‎ ‎17、解（1）由最低点为得A=2.‎ 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，‎ 由点在图像上的 故 ‎ 又 ‎（2）‎ 当=，即时，取得最大值2；当 即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2] w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ C B A C1‎ B1‎ A1‎ 如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A——B的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 18.（本小题满分12分）‎ 解答一（1）证： 三棱柱为直三棱柱，‎ 在中，,由正弦定理 ‎,又 ‎（2）解如图，作交于点D点，连结BD，‎ 由三垂线定理知 为二面角的平面角 在 解答二（1）证三棱柱为直三棱柱，‎ ‎，，‎ 由正弦定理 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 如图，建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎ ‎(2) 解，如图可取为平面的法向量 设平面的法向量为，‎ 则 不妨取 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ ‎ 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a ‎(Ⅰ)求a的值和的数学期望；‎ ‎（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎19题，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+‎2a+a=1，解答a=0.2‎ 的概率分布为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件表示“两个月内每月均被投诉12次”‎ 则由事件的独立性得 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中 若在x=1处取得极值，求a的值；‎ 求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎20. 解（Ⅰ）‎ ‎∵在x=1处取得极值，∴解得 ‎（Ⅱ）‎ ‎∵ ∴‎ ①当时，在区间∴的单调增区间为 ②当时，‎ 由 ‎∴‎ ‎（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，‎ 当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值 综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。‎ ‎（I）求双曲线C的方程； ‎ ‎(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知双曲线C的方程为 离心率顶点到渐近线的距离为 ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.‎ 解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线 ‎∴‎ 由 得 ∴双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为 设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由得P点的坐标为 将P点坐标代入化简得 设∠AOB 又 记 由 当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是 解答二（Ⅰ）同解答一 ‎ （Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知 ‎ 由{ 得A点的坐标为 ‎ 由{ 得B点的坐标为 ‎ 由得P点的坐标为 ‎ ‎ 将P点坐标代入 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.‎ ‎ = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 以下同解答一.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列满足， .‎ 猜想数列的单调性，并证明你的结论；‎ ‎(Ⅱ)证明：。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎22题 证（1）由 由猜想：数列是递减数列 下面用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即 易知，那么 ‎ =‎ 即 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 ‎（2）当n=1时，，结论成立 当时，易知 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎