高科数学专题复习课件:8_4 直线、平面平行的判定与性质

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高科数学专题复习课件:8_4 直线、平面平行的判定与性质

§8.4  直线、平面平行的判定与性质 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1. 线面平行的判定定理和性质定理 知识梳理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与 的一条直线平行,则该直线与此平面平行 ( 简记为 “ 线线平行 ⇒ 线面平行 ” ) ∵ , , , ∴ l ∥ a a ⊂ α l ⊄ α l ∥ α 此平面内 性质定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面 的 与 该直线平行 ( 简记为 “ 线面平行 ⇒ 线线平行 ” ) ∵ , , , ∴ l ∥ b 交线 l ∥ α l ⊂ β α ∩ β = b 2. 面面平行的判定定理和性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条 与另一个平面平行,则这两个平面平行 ( 简记为 “ 线面平行 ⇒ 面面平行 ” ) ∵ , , , , , ∴ α ∥ β 相交直线 a ∥ β b ∥ β a ∩ b = P a ⊂ α b ⊂ α 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个 平面 , 那么它们 的 平行 ∵ , , , ∴ a ∥ b 相交 α ∥ β α ∩ γ = a β ∩ γ = b 交线 重要结论: (1) 垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a ⊥ α , a ⊥ β ,则 α ∥ β ; (2) 垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a ⊥ α , b ⊥ α ,则 a ∥ b ; (3) 平行于同一个平面的两个平面平行,即若 α ∥ β , β ∥ γ ,则 α ∥ γ . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面 .(    ) (2) 若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 .(    ) (3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行 .(    ) 思考辨析 × × × ( 4) 如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 .(    ) (5) 若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a ∥ α .(    ) (6) 若 α ∥ β ,直线 a ∥ α ,则 a ∥ β .(    ) √ × × 1.( 教材改编 ) 下列命题中正确的 是 A . 若 a , b 是两条直线,且 a ∥ b ,那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B. 若直线 a 和平面 α 满足 a ∥ α ,那么 a 与 α 内的任何直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 若直线 a , b 和平面 α 满足 a ∥ b , a ∥ α , b ⊄ α ,则 b ∥ α 考点自测 答案 解析 A 中, a 可以在过 b 的平面内 ; B 中, a 与 α 内的直线可能异面 ; C 中,两平面可相交 ; D 中,由直线与平面平行的判定定理知, b ∥ α ,正确 . 2. 设 l , m 为直线, α , β 为平面,且 l ⊂ α , m ⊂ β ,则 “ l ∩ m = ∅ ” 是 “ α ∥ β ” 的 A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 当平面与平面平行时,两个平面内的直线没有交点 , 故 “ l ∩ m = ∅ ” 是 “ α ∥ β ” 的必要条件 ; 当 两个平面内的直线没有交点时,两个 平面可以 相交 , ∴ l ∩ m = ∅ 是 α ∥ β 的必要不充分条件 . 3.(2016· 济南模拟 ) 平面 α ∥ 平面 β 的一个充分条件 是 A. 存在一条直线 a , a ∥ α , a ∥ β B. 存在一条直线 a , a ⊂ α , a ∥ β C. 存在两条平行直线 a , b , a ⊂ α , b ⊂ β , a ∥ β , b ∥ α D. 存在两条异面直线 a , b , a ⊂ α , b ⊂ β , a ∥ β , b ∥ α 答案 解析 若 α ∩ β = l , a ∥ l , a ⊄ α , a ⊄ β ,则 a ∥ α , a ∥ β ,故排除 A . 若 α ∩ β = l , a ⊂ α , a ∥ l ,则 a ∥ β ,故排除 B . 若 α ∩ β = l , a ⊂ α , a ∥ l , b ⊂ β , b ∥ l ,则 a ∥ β , b ∥ α ,故排除 C. 故选 D. 4.( 教材改编 ) 如图,正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E 为 DD 1 的中点,则 BD 1 与平面 AEC 的位置关系为 ________. 答案 解析 平行 连接 BD ,设 BD ∩ AC = O ,连接 EO , 在 △ BDD 1 中, O 为 BD 的中点 , 所以 EO 为 △ BDD 1 的中位线, 则 BD 1 ∥ EO ,而 BD 1 ⊄ 平面 ACE , EO ⊂ 平面 ACE , 所以 BD 1 ∥ 平面 ACE . 5. 如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为 ___ _ ______. 答案 解析 平行四边形 ∵ 平面 ABFE ∥ 平面 DCGH , 又平面 EFGH ∩ 平面 ABFE = EF ,平面 EFGH ∩ 平面 DCGH = HG , ∴ EF ∥ HG . 同理 EH ∥ FG , ∴ 四边形 EFGH 的形状是平行四边形 . 题型分类 深度剖析 例 1   如图,四棱锥 P - ABCD 中, AD ∥ BC , AB = BC = AD , E , F , H 分别为线段 AD , PC , CD 的中点, AC 与 BE 交于 O 点, G 是线段 OF 上一点 . (1) 求证: AP ∥ 平面 BEF ; 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1  直线与平面平行的判定 证明 连接 EC , ∵ AD ∥ BC , BC = AD , ∴ BC 綊 AE , ∴ 四边形 ABCE 是平行四边形, ∴ O 为 AC 的中点 . 又 ∵ F 是 PC 的中点, ∴ FO ∥ AP , FO ⊂ 平面 BEF , AP ⊄ 平面 BEF , ∴ AP ∥ 平面 BEF . (2) 求证: GH ∥ 平面 PAD . 证明 连接 FH , OH , ∵ F , H 分别是 PC , CD 的中点, ∴ FH ∥ PD , ∴ FH ∥ 平面 PAD . 又 ∵ O 是 BE 的中点, H 是 CD 的中点, ∴ OH ∥ AD , ∴ OH ∥ 平面 PAD . 又 FH ∩ OH = H , ∴ 平面 OHF ∥ 平面 PAD . 又 ∵ GH ⊂ 平面 OHF , ∴ GH ∥ 平面 PAD . 例 2   ( 2017· 长沙 调研 ) 如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 . 点 G , E , F , H 分别是棱 PB , AB , CD , PC 上共面的四点,平面 GEFH ⊥ 平面 ABCD , BC ∥ 平面 GEFH . (1) 证明: GH ∥ EF ; 命题点 2  直线与平面平行的性质 证明 因为 BC ∥ 平面 GEFH , BC ⊂ 平面 PBC , 且平面 PBC ∩ 平面 GEFH = GH , 所以 GH ∥ BC . 同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF . (2) 若 EB = 2 ,求四边形 GEFH 的面积 . 解答 如图,连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP , GK . 因为 PA = PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ⊥ AC , 同理可得 PO ⊥ BD . 又 BD ∩ AC = O ,且 AC , BD 都在底面内, 所以 PO ⊥ 底面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥ 平面 ABCD , 且 PO ⊄ 平面 GEFH ,所以 PO ∥ 平面 GEFH . 因为平面 PBD ∩ 平面 GEFH = GK , 所以 PO ∥ GK ,且 GK ⊥ 底面 ABCD , 从而 GK ⊥ EF . 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 . 由 AB = 8 , EB = 2 得 EB ∶ AB = KB ∶ DB = 1 ∶ 4 , 从而 KB = DB = OB ,即 K 为 OB 的中点 . 再由 PO ∥ GK 得 GK = PO , 即 G 是 PB 的中点,且 GH = BC = 4. 所以 GK = 3. 思维 升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1) 利用线面平行的定义 ( 无公共点 ) ; (2) 利用线面平行的判定定理 ( a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b ⇒ a ∥ α ) ; (3) 利用面面平行的性质定理 ( α ∥ β , a ⊂ α ⇒ a ∥ β ) ; (4) 利用面面平行的性质 ( α ∥ β , a ⊄ α , a ⊄ β , a ∥ α ⇒ a ∥ β ). 跟踪训练 1   如图所示, CD , AB 均与平面 EFGH 平行, E , F , G , H 分别在 BD , BC , AC , AD 上,且 CD ⊥ AB . 求证:四边形 EFGH 是矩形 . 证明 ∵ CD ∥ 平面 EFGH , 而平面 EFGH ∩ 平面 BCD = EF , ∴ CD ∥ EF . 同理 HG ∥ CD , ∴ EF ∥ HG . 同理 HE ∥ GF , ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形 . ∴ CD ∥ EF , HE ∥ AB , ∴∠ HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的 角 ( 或补角 ) . 又 ∵ CD ⊥ AB , ∴ HE ⊥ EF . ∴ 平行四边形 EFGH 为矩形 . 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 3   如图所示,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, E , F , G , H 分别是 AB , AC , A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点,求证 : ( 1) B , C , H , G 四点共面; 证明 ∵ G , H 分别是 A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点, ∴ GH 是 △ A 1 B 1 C 1 的中位线, ∴ GH ∥ B 1 C 1 . 又 ∵ B 1 C 1 ∥ BC , ∴ GH ∥ BC , ∴ B , C , H , G 四点共面 . (2) 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 证明 ∵ E , F 分别是 AB , AC 的中点 , ∴ EF ∥ BC . ∵ EF ⊄ 平面 BCHG , BC ⊂ 平面 BCHG , ∴ EF ∥ 平面 BCHG . ∵ A 1 G 綊 EB , ∴ 四边形 A 1 EBG 是平行四边形, ∴ A 1 E ∥ GB . ∵ A 1 E ⊄ 平面 BCHG , GB ⊂ 平面 BCHG , ∴ A 1 E ∥ 平面 BCHG . ∵ A 1 E ∩ EF = E , ∴ 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 引申 探究 1. 在本例条件下,若 D 为 BC 1 的中点,求证: HD ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 证明 如图所示,连接 HD , A 1 B , ∵ D 为 BC 1 的中点, H 为 A 1 C 1 的中点, ∴ HD ∥ A 1 B , 又 HD ⊄ 平面 A 1 B 1 BA , A 1 B ⊂ 平面 A 1 B 1 BA , ∴ HD ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 2. 在本例条件下,若 D 1 , D 分别为 B 1 C 1 , BC 的中点,求证:平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 证明 如图所示,连接 A 1 C 交 AC 1 于点 M , ∵ 四边形 A 1 ACC 1 是平行四边形, ∴ M 是 A 1 C 的中点,连接 MD , ∵ D 为 BC 的中点, ∴ A 1 B ∥ DM . ∵ A 1 B ⊂ 平面 A 1 BD 1 , DM ⊄ 平面 A 1 BD 1 , ∴ DM ∥ 平面 A 1 BD 1 . 又由三棱柱的性质知, D 1 C 1 綊 BD , ∴ 四边形 BDC 1 D 1 为平行四边形 , ∴ DC 1 ∥ BD 1 . 又 DC 1 ⊄ 平面 A 1 BD 1 , BD 1 ⊂ 平面 A 1 BD 1 , ∴ DC 1 ∥ 平面 A 1 BD 1 , 又 ∵ DC 1 ∩ DM = D , DC 1 , DM ⊂ 平面 AC 1 D , ∴ 平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 思维 升华 证明面面平行的方法 (1) 面面平行的定义; (2) 面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4) 两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5) 利用 “ 线线平行 ” 、 “ 线面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互转化 . 跟踪训练 2   (2016· 许昌三校第三次考试 ) 如图所示,四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形, M , N , G 分别是 AB , AD , EF 的中点 . 求证: (1) BE ∥ 平面 DMF ; 证明 如图所示,设 DF 与 GN 交于点 O ,连接 AE ,则 AE 必过点 O , 连接 MO ,则 MO 为 △ ABE 的中位线, 所以 BE ∥ MO . 因为 BE ⊄ 平面 DMF , MO ⊂ 平面 DMF , 所以 BE ∥ 平面 DMF . (2) 平面 BDE ∥ 平面 MNG . 证明 因为 N , G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD , EF 的中点, 所以 DE ∥ GN . 因为 DE ⊄ 平面 MNG , GN ⊂ 平面 MNG , 所以 DE ∥ 平面 MNG . 因为 M 为 AB 的中点, 所以 MN 为 △ ABD 的中位线, 所以 BD ∥ MN . 因为 BD ⊄ 平面 MNG , MN ⊂ 平面 MNG , 所以 BD ∥ 平面 MNG . 因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线, 所以平面 BDE ∥ 平面 MNG . 题型三 平行关系的综合应用 例 4   如图所示,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, D 是棱 CC 1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E ,使 DE ∥ 平面 AB 1 C 1 ?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由 . 解答 方法一  存在点 E ,且 E 为 AB 的中点时, DE ∥ 平面 AB 1 C 1 . 下面给出证明: 如图,取 BB 1 的中点 F ,连接 DF , 则 DF ∥ B 1 C 1 , ∵ AB 的中点为 E ,连接 EF , ED , 则 EF ∥ AB 1 , B 1 C 1 ∩ AB 1 = B 1 , ∴ 平面 DEF ∥ 平面 AB 1 C 1 . 而 DE ⊂ 平面 DEF , ∴ DE ∥ 平面 AB 1 C 1 . 方法二  假设在棱 AB 上存在点 E , 使得 DE ∥ 平面 AB 1 C 1 , 如图,取 BB 1 的中点 F ,连接 DF , EF , ED ,则 DF ∥ B 1 C 1 , 又 DF ⊄ 平面 AB 1 C 1 , B 1 C 1 ⊂ 平面 AB 1 C 1 , ∴ DF ∥ 平面 AB 1 C 1 , 又 DE ∥ 平面 AB 1 C 1 , DE ∩ DF = D , ∴ 平面 DEF ∥ 平面 AB 1 C 1 , ∵ EF ⊂ 平面 DEF , ∴ EF ∥ 平面 AB 1 C 1 , 又 ∵ EF ⊂ 平面 ABB 1 ,平面 ABB 1 ∩ 平面 AB 1 C 1 = AB 1 , ∴ EF ∥ AB 1 , ∵ 点 F 是 BB 1 的中点, ∴ 点 E 是 AB 的中点 . 即当点 E 是 AB 的中点时, DE ∥ 平面 AB 1 C 1 . 思维 升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决 . 跟踪训练 3   如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD ,试问截面在什么位置时其截面面积最大? 解答 几何画板展示 ∵ AB ∥ 平面 EFGH , 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG , EH . ∴ AB ∥ FG , AB ∥ EH , ∴ FG ∥ EH ,同理可证 EF ∥ GH , ∴ 截面 EFGH 是平行四边形 . 设 AB = a , CD = b , ∠ FGH = α ( α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角 ). ∵ x >0 , a - x >0 且 x + ( a - x ) = a 为定值, 即当截面 EFGH 的顶点 E 、 F 、 G 、 H 分别为棱 AD 、 AC 、 BC 、 BD 的中点时截面面积最大 . 典例  (12 分 ) 如图,在四棱锥 S - ABCD 中,已知底面 ABCD 为直角梯形,其中 AD ∥ BC , ∠ BAD = 90° , SA ⊥ 底面 ABCD , SA = AB = BC = 2 , tan ∠ SDA = . (1) 求四棱锥 S - ABCD 的体积 ; (2) 在棱 SD 上找一点 E ,使 CE ∥ 平面 SAB ,并证明 . 立体几何 中的探索性问题 答题模板系列 5 规范解答 答题模板 解 ∵ SA ⊥ 底面 ABCD , tan ∠ SDA = , SA = 2 , ∴ AD = 3 . [ 2 分 ] 由题意知四棱锥 S - ABCD 的底面为直角梯形,且 SA = AB = BC = 2 , (2) 当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时,可使 CE ∥ 平面 SAB . [ 8 分 ] 证明如下: 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E ,取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F ,连接 CE , EF , BF , 又 ∵ BF ⊂ 平面 SAB , CE ⊄ 平面 SAB , ∴ CE ∥ 平面 SAB . [ 12 分 ] 返回 解决 立体几何中的探索性问题的步骤 第一步:写出探求的最后 结论 ; 第二步:证明探求结论的 正确性 ; 第三 步:给出明确 答案 ; 第四 步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范 . 返回 课时作业 1.( 2017· 保定 月考 ) 有下列命题: ① 若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则直线 l ∥ α ; ② 若直线 a 在平面 α 外,则 a ∥ α ; ③ 若直线 a ∥ b , b ∥ α ,则 a ∥ α ; ④ 若直线 a ∥ b , b ∥ α ,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线 . 其中真命题的个数 是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 命题 ① : l 可以在平面 α 内,不正确 ; 命题 ② :直线 a 与平面 α 可以是相交关系,不正确 ; 命题 ③ : a 可以在平面 α 内,不正确 ; 命题 ④ 正确 . 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 滨州模拟 ) 已知 m , n , l 1 , l 2 表示直线, α , β 表示平面 . 若 m ⊂ α , n ⊂ α , l 1 ⊂ β , l 2 ⊂ β , l 1 ∩ l 2 = M ,则 α ∥ β 的一个充分条件 是 A. m ∥ β 且 l 1 ∥ α B. m ∥ β 且 n ∥ β C. m ∥ β 且 n ∥ l 2 D. m ∥ l 1 且 n ∥ l 2 √ 答案 解析 由定理 “ 如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行 ” 可得,由选项 D 可推知 α ∥ β . 故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 对于空间中的两条直线 m , n 和一个平面 α ,下列命题中的真命题 是 A. 若 m ∥ α , n ∥ α ,则 m ∥ n B. 若 m ∥ α , n ⊂ α ,则 m ∥ n C. 若 m ∥ α , n ⊥ α ,则 m ∥ n D. 若 m ⊥ α , n ⊥ α ,则 m ∥ n √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对 A ,直线 m , n 可能平行、异面或相交,故 A 错误 ; 对 B ,直线 m 与 n 可能平行,也可能异面,故 B 错误 ; 对 C , m 与 n 垂直而非平行,故 C 错误 ; 对 D ,垂直于同一平面的两直线平行,故 D 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图, L , M , N 分别为正方体对应棱的中点,则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系 是 A. 垂直 B . 相交不垂直 C. 平行 D. 重合 √ 答案 解析 如图,分别取另三条棱的中点 A , B , C ,将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL ,因为 PQ ∥ AL , PR ∥ AM ,且 PQ 与 PR 相交, AL 与 AM 相交,所以平面 PQR ∥ 平面 AMBNCL ,即平面 LMN ∥ 平面 PQR . 5.(2016· 全国甲卷 ) α , β 是两个平面, m , n 是两条直线,有下列四 个 命题 : ① 如果 m ⊥ n , m ⊥ α , n ∥ β ,那么 α ⊥ β ; ② 如果 m ⊥ α , n ∥ α ,那么 m ⊥ n ; ③ 如果 α ∥ β , m ⊂ α ,那么 m ∥ β ; ④ 如果 m ∥ n , α ∥ β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 . 其中正确的命题有 ________.( 填写所有正确命题的编号 ) 答案 解析 ②③④ 当 m ⊥ n , m ⊥ α , n ∥ β 时,两个平面的位置关系不确定,故 ① 错误 , 经 判断知 ②③④ 均正确,故正确答案为 ②③④ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 设 α , β , γ 是三个不同的平面, m , n 是两条不同的直线,在命题 “ α ∩ β = m , n ⊂ γ ,且 ________ ,则 m ∥ n ” 中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题 . ① α ∥ γ , n ⊂ β ; ② m ∥ γ , n ∥ β ; ③ n ∥ β , m ⊂ γ . 可以填入的条件有 ________. 答案 解析 ① 或 ③ 由面面平行的性质定理可知, ① 正确 ; 当 n ∥ β , m ⊂ γ 时, n 和 m 在同一平面内,且没有公共点,所以平行, ③ 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 在正四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, O 是底面 ABCD 的中心, P 是 DD 1 的中点,设 Q 是 CC 1 上的点,则点 Q 满足条件 _______________ 时 ,有平面 D 1 BQ ∥ 平面 PAO . 答案 解析 Q 为 CC 1 的中点 假设 Q 为 CC 1 的中点 . 因为 P 为 DD 1 的中点, 所以 QB ∥ PA . 连接 DB ,因为 O 是底面 ABCD 的中心, 所以 D 1 B ∥ PO , 又 D 1 B ⊄ 平面 PAO , QB ⊄ 平面 PAO ,且 PA ∩ PO 于 P , 所以 D 1 B ∥ 平面 PAO , QB ∥ 平面 PAO , 又 D 1 B ∩ QB 于 B ,所以平面 D 1 BQ ∥ 平面 PAO . 故点 Q 满足条件, Q 为 CC 1 的中点时,有平面 D 1 BQ ∥ 平面 PAO . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 将一个真命题中的 “ 平面 ” 换成 “ 直线 ” 、 “ 直线 ” 换成 “ 平面 ” 后仍是真命题,则该命题称为 “ 可换命题 ”. 给出下列四个命题: ① 垂直于同一平面的两直线平行; ② 垂直于同一平面的两平面平行; ③ 平行于同一直线的两直线平行; ④ 平行于同一平面的两直线平行 . 其中是 “ 可换命题 ” 的是 ________.( 填命题的序号 ) 答案 解析 ①③ 由线面垂直的性质定理可知 ① 是真命题,且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题,故 ① 是 “ 可换命题 ” ; 因为 垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以 ② 是假命题,不是 “ 可换命题 ” ; 由 公理 4 可知 ③ 是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题,故 ③ 是 “ 可换命题 ” ; 因为 平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故 ④ 是假命题,故 ④ 不是 “ 可换命题 ”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 . 如图, 空间 四边形 ABCD 的两条对棱 AC 、 BD 的长分别为 5 和 4 ,则平行于两条对棱的截面四边形 EFGH 在平移 过程中 ,周长的取值范围是 ________. 答案 解析 (8,10) ∴ GH = 5 k , EH = 4(1 - k ) , ∴ 周长= 8 + 2 k . 又 ∵ 0< k <1 , ∴ 周长的取值范围为 (8,10). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10. 在三棱锥 S - ABC 中, △ ABC 是边长为 6 的正三角形, SA = SB = SC = 15 ,平面 DEFH 分别与 AB , BC , SC , SA 交于点 D , E , F , H . D , E 分别是 AB , BC 的中点,如果直线 SB ∥ 平面 DEFH ,那么四边形 DEFH 的 面积 为 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图,取 AC 的中点 G , 连接 SG , BG . 易知 SG ⊥ AC , BG ⊥ AC , SG ∩ BG = G , 故 AC ⊥ 平面 SGB , 所以 AC ⊥ SB . 因为 SB ∥ 平面 DEFH , SB ⊂ 平面 SAB ,平面 SAB ∩ 平面 DEFH = HD , 则 SB ∥ HD . 同理 SB ∥ FE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又 D , E 分别为 AB , BC 的中点, 则 H , F 也为 AS , SC 的中点, 所以四边形 DEFH 为平行四边形 . 又 AC ⊥ SB , SB ∥ HD , DE ∥ AC , 所以 DE ⊥ HD , 所以四边形 DEFH 为矩形, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图, E 、 F 、 G 、 H 分别是正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 BC 、 CC 1 、 C 1 D 1 、 AA 1 的中点 . 求证: (1) EG ∥ 平面 BB 1 D 1 D ; 证明 取 B 1 D 1 的中点 O ,连接 GO , OB , 易证四边形 BEGO 为平行四边形,故 OB ∥ EG , 由线面平行的判定定理即可证 EG ∥ 平面 BB 1 D 1 D . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 平面 BDF ∥ 平面 B 1 D 1 H . 证明 由题意可知 BD ∥ B 1 D 1 . 如图,连接 HB 、 D 1 F , 易证四边形 HBFD 1 是平行四边形,故 HD 1 ∥ BF . 又 B 1 D 1 ∩ HD 1 = D 1 , BD ∩ BF = B , 所以平面 BDF ∥ 平面 B 1 D 1 H . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,四棱锥 P - ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形, BC = PD = 2 , E 为 PC 的中点, CB = 3 CG . (1) 求证: PC ⊥ BC ; 证明 因为 PD ⊥ 平面 ABCD , BC ⊂ 平面 ABCD , 所以 PD ⊥ BC . 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BC ⊥ CD . 又 PD ∩ CD = D ,所以 BC ⊥ 平面 PCD . 因为 PC ⊂ 平面 PDC ,所以 PC ⊥ BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) AD 边上是否存在一点 M ,使得 PA ∥ 平面 MEG ?若存在,求 AM 的长;若不存在,请说明理由 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 连接 AC , BD 交于点 O ,连接 EO , GO , 延长 GO 交 AD 于点 M ,连接 EM ,则 PA ∥ 平面 MEG . 证明如下:因为 E 为 PC 的中点, O 是 AC 的中点, 所以 EO ∥ PA . 因为 EO ⊂ 平面 MEG , PA ⊄ 平面 MEG , 所以 PA ∥ 平面 MEG . 因为 △ OCG ≌△ OAM , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 如图所示,斜三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,点 D , D 1 分别为 AC , A 1 C 1 上的点 . 解答 连接 A 1 B ,交 AB 1 于点 O ,连接 OD 1 . 由棱柱的性质知,四边形 A 1 ABB 1 为平行四边形, ∴ 点 O 为 A 1 B 的中点 . 在 △ A 1 BC 1 中,点 O , D 1 分别为 A 1 B , A 1 C 1 的中点, ∴ OD 1 ∥ BC 1 . 又 ∵ OD 1 ⊂ 平面 AB 1 D 1 , BC 1 ⊄ 平面 AB 1 D 1 , ∴ BC 1 ∥ 平面 AB 1 D 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由平面 BC 1 D ∥ 平面 AB 1 D 1 , 且平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 BC 1 D = BC 1 , 平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 AB 1 D 1 = D 1 O , 得 BC 1 ∥ D 1 O ,同理 AD 1 ∥ DC 1 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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