2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．若，则下列不等式中不正确的是（）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先判断出的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断.‎ ‎【详解】‎ 由，得，，，故D不正确，C正确；，，，故A正确；，，，取等号时，故B正确，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号的条件一定要记得添加.‎ ‎2．渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）‎ A． B．1‎ C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.‎ ‎【详解】‎ 根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c 则该双曲线的离心率为 e，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.‎ ‎3．若条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）‎ A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ ‎【答案】A ‎【解析】将化简，再由是的充分不必要条件确定参数的取值 ‎【详解】‎ 由，是的充分不必要条件，，即需满足 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查根据命题的充分不必要条件求参数范围，属于基础题 ‎4．已知等差数列中，，前7项的和，则前n项和中( )‎ A．前6项和最大 B．前7项和最大 C．前6项和最小 D．前7项和最小 ‎【答案】A ‎【解析】利用公式计算等差数列的通项公式，根据通项的正负判断最值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以前6项和最大 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了n项和的最值问题，转化为通项的正负判断是解题的关键.‎ ‎5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由得，即恒成立，由于时，在上不恒成立，故，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.‎ ‎6．已知等比数列，且，则的值为（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列性质，故选择D.‎ ‎7．过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于,若,则双曲线的渐近线为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意画出图像，结合双曲线第一定义和勾股定理即可求解 ‎【详解】‎ 结合题意画出图形，如图：‎ 由，所以为中点，结合是中点可得是的中位线，‎ 又因为圆的切点，所以，‎ 由题知，， ，由双曲线第一定义，故 ‎，又因为直角三角形，，即，即，由，‎ 故，双曲线渐近线方程为：‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，双曲线的第一定义的应用，计算能力，属于中档题 ‎8．若不等式，（其中）的解集为，且这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则的值等于（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】可结合韦达定理和等差等比性质先判断的正负，列出相应关系式，解出，再代入韦达定理解出，即可求解 ‎【详解】‎ 由题可知：，则，，则由等差性质可得：，解得，所以，则 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解与韦达定理的关系，等差数列与等比数列的性质，属于中档题 ‎9．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用直线AM和直线BM的斜率之积为，得到 这一关系，再代入离心率的公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，设，由题设可得，，所以.因为，所以，则，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.‎ ‎10．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列，若数列的前n项和为，则（ ）‎ A．265 B．521 C．1034 D．2059‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算出杨辉三角中第47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后再求其前47项的和.‎ ‎【详解】‎ 根据题意杨辉三角前9行共有 故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，‎ 所以前47项的和 故选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题.‎ 二、多选题 ‎11．已知数列是是正项等比数列，且，则的值可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】可结合基本不等式性质和等比数列性质进行代换，即可求出范围 ‎【详解】‎ 数列是正向等比数列，，由，即，符合题意的有：ABD 故选：ABD ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质和基本不等式，属于中档题 ‎12．已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】由等比数列的性质求出，再判断曲线类型，进而求出离心率 ‎【详解】‎ 由三个数成等比数列，得，即；当，圆锥曲线为，曲线为椭圆，则；当时，曲线为 ‎，曲线为双曲线，，‎ 则离心率为：或 故选：BC ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解的取值，属于中档题 ‎13．已知各项均为正项的等比数列,，,其前和为,下列说明正确的是（ ）‎ A．数列为等差数列 B．若,则 C．‎ D．记,则数列有最大值.‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】结合题意可直接判断数列是递减数列，A项结合对数性质即可判断；B项表示出通项再化简，根据对应关系求解；C项进行基本运算再判断；D项先表示出，再结合函数性质判断 ‎【详解】‎ 由题可知，，；‎ 对A，，，，A对；‎ 对B，，又，则；B对；‎ 对C，，‎ ‎，，‎ 明显，C错误；‎ 对D，，由于数列，，故数列为单调递减数列，总存在从某一项开始使得，故有最大值，故D正确；‎ 故选：ABD ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的基本性质，前项和公式的应用，正向等比递减数列的判断，属于中档题 三、填空题 ‎14．已知命题，那么是___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据全称命题的否定即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为命题 所以命题：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎15．记为等差数列的前项和，，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，由题中条件得出，再利用等差数列前项和公式可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，则，‎ 所以，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列中基本量的计算，同时也考查了等差数列前项和的应用，解题的关键就是根据题中条件确定首项和公差的等量关系，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16．已知，，若的最小值为3，则的值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由化简得，再结合基本不等式“1”的妙用，即可求得 ‎【详解】‎ 由，，则 ‎，即，解得，，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数方程的解法，基本不等式的应用，属于中档题 ‎17．如图，过抛物线的焦点作直线，与抛物线及其准线分别交于三点，若，则直线的方程_____，线段 ______． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】作准线交于点，再由可得与关系，结合斜率定义和点斜式可求得直线方程；联立直线方程和抛物线第一定义求出弦长即可 ‎【详解】‎ 由题可知，抛物线焦点为，由抛物线第一定义可得，由得，设，则，，，则直线的方程为：；‎ 联立，，‎ 则 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质，直线方程的求法，弦长的求法，属于中档题 四、解答题 ‎18．已知数列的前项和为，且1，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用数列的递推关系式推出数列是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式． ‎ ‎（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知1，，成等差数列得①，‎ 当时，，∴，‎ 当时，②‎ ‎①─②得即，因，所以，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由得，‎ 所以 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎19．已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离小1， 已知过的两条直线的斜率之积为1,且分别交曲线于两点和两点,‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）16‎ ‎【解析】（1）由抛物线的第一定义即可求得；‎ ‎（2）联立直线与抛物线方程求得关于的一元二次方程，结合抛物线第一定义表示出弦长，再结合基本不等式即可求解最值 ‎【详解】‎ ‎（1）因为点到点的距离比它到直线的距离小1‎ 所以点到的距离与它到直线的距离相等，‎ 所以点的轨迹是以为焦点, 为准线的抛物线，‎ 所以曲线的方程为. ‎ ‎（2）由题意知，的斜率存在且均不为零，设的方程为，‎ 则由消去得，‎ 设，，则，.‎ 所以， ‎ 因为直线的斜率之积为1，所以，‎ 故.‎ 当 时, 取得最小值16.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线解析式的求法，由韦达定理求弦长范围，属于中档题 ‎20．已知数列是递增的等比数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为q，，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得 ‎（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可 试题解析：（1）设等比数列的公比为q，所以有 联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以 数列的通项公式为 ‎（2）根据等比数列的求和公式，有 所以 所以 ‎【考点】等比数列的通项公式和性质，数列求和 ‎21．已知， ‎ ‎（1）若时,当时, 求的最小值.‎ ‎（2）求关于的不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）4；（2）答案不唯一，见解析 ‎【解析】（1）当时，可化简为，由结合基本不等式求解；‎ ‎（2）由于参数的不确定性，需对参数进行分类讨论，当时，令，可得，再进一步讨论两根的大小关系即可求得解集 ‎【详解】‎ ‎(1) 若时，‎ ‎， 当且仅当，即时取得等号.‎ 故的最小值为4. ‎ ‎(2)①当时，不等式的解为. ‎ ‎ ②当时，令解得. ‎ 当时，，解得.‎ 当时，，不等式的解集为R.‎ 当且时，由基本不等式得，解得.‎ 综上：当时,不等式解集为；‎ ‎ 当时, 不等式解集为；‎ ‎ 当时, 不等式的解集为R；‎ ‎ 当且时,不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式最值的求法，含参一元二次不等式的解法，属于中档题 ‎22．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：‎ ‎①3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值单位：与游玩时间小时)满足关系式：；‎ ‎②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为即累积经验值不变)；‎ ‎③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．‎ ‎⑴当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；‎ ‎⑵该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】⑴,； ⑵‎ ‎【解析】⑴ 根据题意即可得到函数的解析式，并求出游玩6小时的累积经验值，‎ ‎⑵ 根据这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求出，再分类讨论，即可求出a的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 当时，，‎ ‎⑵当时，，则，‎ ‎，‎ 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数在实际生活中的应用，关键求出函数的解析式，属于中档题 ‎23．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点．若，求证：为定值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由题意先求出，再由离心率求出，即可得出椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）依题意设出与的方程，分别与椭圆方程联立，求出弦长与,进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）依题意，．‎ 由，得．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，‎ 则．‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，‎ 设直线的斜率为，依题意，‎ 则直线的方程为，直线的方程为．‎ 设，，，‎ 由得，‎ 则，，‎ ‎．‎ 由整理得，‎ 则.．‎ ‎∴．‎ 综上可得，为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆位置关系，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和弦长公式，即可求解，属于常考题型.‎