2017-2018学年四川省石室中学高二上学期半期考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年四川省石室中学高二上学期半期考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省石室中学高二上学期半期考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若抛物线的准线方程为，焦点坐标为，则抛物线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 根据题意，可设抛物线的方程为，‎ ‎ 因为其准线方程为，焦点坐标为，‎ ‎ 解得，所以抛物线的方程为，故选D．‎ ‎2．已知函数的图象上一点及邻近点，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意得，‎ ‎ 所以，故选A．‎ ‎3．命题“， ”的否定是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. 不存在， ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 因为命题“ ， ”是特称命题，‎ ‎ 所以特称命题的否定是全称命题，得“ ， ”的否定是：“ ， ”，故选A．‎ ‎4．椭圆两焦点为 ， ，P在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为 （ 　 ）‎ A. B . C . D . ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由椭圆图象可知，‎ 当△PF1F2的面积的最大值为12，P与短轴顶点重合．‎ 根据三角形面积公式，‎ 故选B ‎5．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（ ）‎ A. B. C. D. w ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，因为双曲线有共同的渐近线，且过点，‎ ‎ 所以设双曲线的方程为，‎ ‎ 把点代入，得，‎ ‎ 所以双曲线的方程为，故选D．‎ ‎6．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设，则，故,得球的体积为： ‎ ‎7．设椭圆的两个焦点分别为作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若 为等腰三角形，则椭圆的离心率为 （ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可得，，所以是等腰直角三角形，则。根据椭圆的几何性质有，所以，则，故，故选D ‎8．“”是“对任意的正数， ”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，因为，所以当且仅当时取等号；当时，因为，所以有，则，解得， 不一定成立。由此可得，“”是“对任意的正数， ”的充分不必要条件，故选A ‎9．如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形， ， 分别为， 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线与直线异面；②直线与直线异面；③直线平面；④平面平面．‎ 其中一定正确的选项是（ ）‎ A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】 如图所示：‎ ‎ ①连接，则分别为的中点，所以，所以，‎ 所以共面，所以直线与不是异面直线，所以错误；‎ ‎②因为平面平面平面，‎ 所以直线与直线是异面直线，所以是正确的；‎ ‎③由①知，因为平面平面，所以直线平面，所以正确；‎ ‎④假设平面平面，过点作分别交于点，在 上取一点，连接，所以，又，所以．‎ 若时，必然平面与平面不垂直，所以不正确，故选B．‎ ‎10．设椭圆和双曲线的公共焦点为、，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：不妨设是双曲线右支与椭圆交点，、分别是左右焦点，则在椭圆中，由定义知，在双曲线中，联立解得，，,由余弦定理得，故选B．‎ ‎【考点】1．双曲线的定义；2．椭圆的定义．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义及简单几何性质，椭圆的定义及简单几何性质，涉及三角形中的余弦定理，属于中档题．解决问题时首先根据椭圆与双曲线的定义写出和，解出，，后，运用余弦定理求夹角的余弦值即可．‎ ‎11．设为双曲线： ‎ 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若， ，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，设双曲线的左焦点为，连接，由对称性可知， 为矩形，且，故，故选B.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．‎ ‎12．点到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么 的值是（ ）‎ A、 B、 C、或 D、或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意知在抛物线上，设，则有，化简得，当时，符合题意；当时，，有，，则，所以选D．‎ ‎【考点】1、点到直线的距离公式；2、抛物线的性质．‎ ‎【方法点睛】本题考查抛物线的概念、性质以及数形结合思想，属于中档题，到点和直线的距离相等，则的轨迹是抛物线，再由直线与抛物线的位置关系可求；抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决．‎ 二、填空题 ‎13．已知，则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，‎ 两边平方得： ，则.‎ ‎14．已知函数在处有极大值，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】 由题意，函数的导函数为，‎ ‎ 又函数在处取得极值，则，解得或，‎ ‎ 当时，此时在处取得极小值，当时，此时函数在处取得极大值，‎ 所以．‎ ‎15．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的的值__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为和，高为，‎ ‎ 如图所示， 平面，‎ ‎ 所以底面积为，‎ ‎ 几何体的高为，所以其体积为．‎ ‎ ‎ 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．‎ ‎16．已知椭圆： 的右焦点为， 为直线上一点，线段交于点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由椭圆的方程可知，‎ ‎ 椭圆的右焦点为，可知，直线是椭圆的右准线，‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 点到直线的距离设为，则，所以，‎ ‎ 根据椭圆定义，从而求出，‎ 所以．‎ ‎ ‎ 点睛：本题对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答此类题目，利用的关系，及椭圆的定义合理运算时解答的关键，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列和等比数列满足， ， ．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求和： ．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的， ，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）利用已知条件根据题意列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，求出数列的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可.‎ 试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（2）设等比数列的公比为q. 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.所以.‎ 从而.‎ ‎18．已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 先由命题解得；命题得，‎ ‎（1）当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，根据则 ，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ 命题：由题得，又，解得；‎ 命题： ，解得．‎ ‎（1）若，命题为真时， ，‎ 当为真，则真且真，‎ ‎∴解得的取值范围是．‎ ‎（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，‎ 设， ，则 ；‎ ‎∴∴实数的取值范围是．‎ ‎19．已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为6．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意设抛物线方程为，则准线方程为，解得，即可求解抛物线的方程；‎ ‎（2）由消去得，根据，解得且，得到，即可求解的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意设抛物线方程为（），其准线方程为，‎ ‎∵到焦点的距离等于到其准线的距离，∴，∴，‎ ‎∴此抛物线的方程为．‎ ‎（2）由消去得，‎ ‎∵直线与抛物线相交于不同两点、，则有 解得且，‎ 由，解得或（舍去）．‎ ‎∴所求的值为2．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，侧面底面， ， ， ， 分别为， 的中点，点在线段上．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）如果三棱锥的体积为，求点到面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）在平行四边形中，得出，进而得到，证得底面，得出，进而证得平面．‎ ‎（2）由到面的距离为，所以面， 为中点，即可求解的值．‎ 试题解析：‎ 证明：（1）在平行四边形中，因为， ，‎ 所以，由， 分别为， 的中点，得，所以．‎ 侧面底面，且， 底面．‎ 又因为底面，所以．‎ 又因为， 平面， 平面，‎ 所以平面．‎ 解：（2）到面的距离为1，所以面， 为中点， ．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）若函数在区间上是增函数，试确定的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时， 恒成立， 不存在极值．当时， ‎ 有极小值无极大值．（3）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）当时，求得，得到的值，即可求解切线方程.‎ ‎（2）由定义域为，求得，分和时分类讨论得出函数的单调区间，即可求解函数的极值．‎ ‎（3）根据题意在上递增，得对恒成立，进而求解实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ， ，‎ ‎，又，∴切线方程为.‎ ‎（2）定义域为， ，当时， 恒成立， 不存在极值．‎ 当时，令，得，当时， ；当时， ，‎ 所以当时， 有极小值无极大值．‎ ‎（3）∵在上递增，∴对恒成立，即恒成立，∴．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)考查数形结合思想的应用．‎ ‎22．已知圆： 和点， 是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点， 的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于、两点，直线， 的斜率分别是， ，若，求：①的值；②面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）①②.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由圆的方程得圆心为，半径为，可得， ，‎ 所以曲线是， 为焦点，长轴长为的椭圆，即可求解椭圆的方程；‎ ‎（2）①由直线方程和椭圆的方程联立方程组，由，解得， ，根据，化简得即可解得的值；‎ ‎②由题意，利用均值不等式，即可求解面积的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）圆： 的圆心为，半径为，点 在圆内， ，‎ 所以曲线是， 为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 由， ，得，所以曲线的方程为．‎ ‎（2）①设， ，直线： ，联立方程组得 ‎，‎ 由，解得， ， ，‎ 由知 ‎，‎ 且，代入化简得，解得，‎ ‎② （当且仅当时取等号）．‎ 综上， 面积的最大值为.‎ 点睛：本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用椭圆的定义和 ‎ 的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到面积的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解，本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎