2017-2018学年甘肃省会宁县第一中学高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年甘肃省会宁县第一中学高二上学期期中考试数学试题

会宁一中 2017-2018 学年度第一学期期中考试高二数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在 中， 则边 的值为 （ ） A． B． C． D． 2． 在 中，若 ，则 是 （ ） A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 等腰或直角三角形 3 ． 已 知 等 差 数 列 的 公 差 为 2, 若 成 等 比 数 列 , 则 = （ ） A． – 4 B．－6 C．－8 D．－10 若 ,则下列不等式中不一定成立的是 (　　) A B C D． 5 ． 中 ， 若 ， 则 B 为 （ ） A． B． C． 或 D． 或 6．已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项 和等于 （ ） A. B. C. D. 7．关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为 且 ＝15，则 a＝( ) A． B．3 C．- D．-3 8．已知在等差数列 中， ， 是它的前 n 项的和， , 则 的最大值为 （ ） A.256 B.243 C.16 D.16 或 15 ABC∆ 0 04, 45 , 60 ,a A B= = = b 2 6 2 2 3+ 3 1+ 2 3 1+ ABC∆ cos cos A b B a = ABC∆ { }na 431 ,, aaa 2a ABC∆ 3 2 sina b A= 3 π 6 π 3 π 2 3 π 6 π 5 6 π { }na 1 31a = nS 10 22S S= nS 0<< ba ba 11 > bba 11 >− ba −>− ba −> { }na 1 4 2 39, 8a a a a+ = = { }na n 22 1 −+n 33 −n 12 −n 12 1 −+n ( )21, xx 21 xx − 2 5 2 5 9．已知 O 是坐标原点，点 A(－1,1)，若点 M(x，y)为平面区域 上的一 个 动 点 则 的 取 值 范 围 是 ( ) A．[1,2] B．[0,2] C．(0,3] D．[0,2 ) ( 2,3] （文）某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B 两种车 辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社 要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为 (　　) A．31 200 元 B．36 800 元 C．36 000 元 D．38 400 元 10.在下列函数中，最小值是 2 的是 ( ) A. 且 ） B. C． D． 11．若不等式 x2＋ax＋1≥0 对于一切 x∈（0， ）成立，则 a 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． (文)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对于 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是 (　　) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－2,2] D．[－2,2) 12 ． 若 数 列 {an} 是 正 项 数 列 ， 且 a1＋ a2＋ … ＋ an＝ n2 ＋ 3n(n ∈ N*) ， 则 … ＋ an n＋1 ＝ （ ） A. 2n＋2 B. 4n＋4 C. 2n2＋6n D. 4(n＋1)2 1 2    ≤ ≤ ≥+ 2 1 2 y x yx OBOA⋅ ∪ 1 ( ,y x x Rx = + ∈ 0x ≠ 2 2x xy −= + 2 2 5 4 xy x += + 1sin (0 )sin 2y x xx π= + < < 0≥a 2−≤a 2 5−≥a 3−≤a ++ 32 21 aa （文）已知数列 的首项为 ，且满足对任意的 ，都有 成立， 则 （ ） A． B． C． D． 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13． 在 ΔABC 中，若 ，则角 A= ． 14 数列{an}的通项公式是 an＝ ，若前 n 项和为 20，则项数 n 为 _______. 15．在锐角 中，若 ，则 的范围为 16．已知 、 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 7，则 的最小值为 。 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明．证明过程或 演算步骤） 17．（10 分）已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 ＝ (a，b)， ＝(sin B，sin A)， ＝(b－2，a－2)． (1)若 ∥ ，判断三角形形状； (2)若 ⊥ ，边长 c＝2，C＝π 3 ，求△ABC 的面积． 18．（12 分）解关于 x 的不等式 x2－2ax－3a2<0 2 2 21 ( ) 4 3ABCS b c a∆ = + − x y    ≤− −≥− ≥+ 22 1 1 yx yx yx ( 0, 0)z ax by a b= + > > ba 43 + { }na 1 1a = *n N∈ 1 2n n na a+ − = 2015a = 20142 1− 20152 1+ 20152 1− 20162 1− 1 1 ++ nn ABC∆ 2C B= c b m n p m n m p 19．（12 分）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 求（1） ， （2）设 是数列 的前 n 项和，求 . 20．（12 分）已知 x，y 满足约束条件 (1) 求 的取值范围． (2)若目标函数 z＝ax＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求 a 的值； 21．（12 分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建 造一间室内面积为 900m2 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分 别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1m，三块矩形区域的前、后与内墙 各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为 （m），三块种植植物的矩形区域的 总面积为 （m2）． （1）求 关于 的函数关系式； （2）求 的最大值． 22.（12 分）已知首项为3 2 的等比数列{an}不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(n∈N*)， 且 S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4 成等差数列． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设 Tn＝Sn－ 1 Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． { }na n nS *n∈N 3 6 4a a+ = 5 5S = − na nS nT { }na nT    ≤+ −≤− ≥ 3053 43 1 yx yx x 5 5 + += x yz x S S x S x 1 1 3 ( 17 )第 题 3 1 1 (文)已知数列{an}的通项为 an，前 n 项的和为 Sn，且有 Sn＝2－3an. (1)求 an； (2)求数列{nan}的前 n 项和． 高二数学第一学期期中考试参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B B C C C A B C C C 二、填空题 13． 14．440 15． 16．49 三、解答题 18 原不等式转化为(x＋a)(x－3a)<0， 当 a>0 时，∴3a>－a，得－a 0 时， >0 则 即 20，(1)z＝y＋5 x＋5 ＝y－(－5) x－(－5)，可看作区域内的点(x，y)与点 D(－5，－5)连线 3 π ( )2, 3 02 − ≤−= 3,2 3, 3 nSS nST n n n    >+− ≤−= 3,186 3,6 2 2 nnn nnnTn 的斜率，由图可知，kBD≤z≤kCD.即 (2)一般情况下，当 z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直 线平行于边界直线，即直线 z＝ax＋y 平行于直线 3x＋5y＝30 时，线段 BC 上的 任意一点均使 z 取得最大值， 此时满足条件的点即最优解有无数个． 又 kBC＝－3 5 ，∴－a＝－3 5. ∴a＝3 5. 21. 17．解：（1）由题设，得 ， ． （2）因为 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立． 从而 ． 答：当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大， 最大为 m2 ． 22. 解　(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q，因为 S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4 成等 差数列，所以 S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即 4a5＝a3，于是 q2＝a5 a3 ＝1 4.又{an} 不是递减数列且 a1＝3 2 ，所以 q＝－1 2.故等比数列{an}的通项公式为 an＝3 2 ×(－1 2)n －1＝(－1)n－1· 3 2n. 15 26 5 4 ≤≤ z ( ) 900 72008 2 2 916S x xx x  = − − = − − +   ( )8,450x∈ 8 450x< < 27200 72002 2 240x xx x + × =≥ 60x = 676S ≤ 676 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 Sn＝1－(－1 2)n ＝Error! 当 n 为奇数时，Sn 随 n 的增大而减小， 所以 1Sn－ 1 Sn ≥S2－ 1 S2 ＝3 4 －4 3 ＝－ 7 12. 综上，对于 n∈N*，总有－ 7 12 ≤Sn－ 1 Sn ≤5 6. 所以数列{Tn}的最大项的值为5 6 ，最小项的值为－ 7 12. 　22（文）(1)∵S1＝a1，n＝1 时，S1＝2－3a1⇒4a1＝2，a1＝1 2 ； 当 n≥2 时，3an＝2－Sn，① 3an－1＝2－Sn－1，② ①－②得 3(an－an－1)＝－an，∴4an＝3an－1⇒ an an－1 ＝3 4. ∵{an}是公比为3 4 ，首项为1 2 的等比数列， an＝1 2( 3 4 )n－1. (2)∵an＝1 2( 3 4 )n－1＝2 3·3 4( 3 4 )n－1＝2 3·( 3 4 )n Tn＝2 3[1·( 3 4 )＋2·( 3 4 )2＋…＋n·( 3 4 )n ]，① 3 4Tn＝2 3[1·( 3 4 )2＋2·( 3 4 )3＋…＋n·( 3 4 )n＋1 ]，② ①－②得 1 4Tn＝2 3[1·( 3 4 )＋( 3 4 )2＋…＋( 3 4 )n－n·( 3 4 )n＋1 ] .∴Tn＝8 3{ 3 4[1－( 3 4 )n ] 1－3 4 －n·( 3 4 )n＋1 }＝8[1－( 3 4 )n ]－8 3n·( 3 4 )n＋1 ＝8－( 3 4 )n(8＋2n)．