2011新课标高考数学理一轮复习讲义带详细解析第一编集合与常用逻辑用语
第一编 集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念及其基本运算
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．(2009·海南)已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩∁NB＝____________.
解析 ∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，
∴∁NB＝{1,2,4,5,7,8，…}．
∴A∩∁NB＝{1,5,7}．
答案 {1,5,7}
2．(2010·南京模拟)已知集合M＝{x|y2＝x＋1}，P＝{x|y2＝－2(x－3)}，那么M∩P＝________.
解析 由M：x＝y2－1≥－1，即M＝{x|x≥－1}，
由P：x＝－y2＋3≤3，即P＝{x|x≤3}，
所以M∩P＝{x|－1≤x≤3}．
答案 {x|－1≤x≤3}
3．(2009·陕西改编)若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N
为________．
解析 不等式x2－x≤0的解集M＝{x|0≤x≤1}，
f(x)＝ln(1－|x|)的定义域N＝{x|－1
}，
∴(∁UM)∩(∁UP)＝{x|x≤0或2或x≤－1}，
则M∩N＝{x|x>2}，所以∁U(M∩N)＝{x|x≤2}．
答案 {x|x≤2}
6．(2009·珠海模拟)已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元
素，且有A∩B≠∅，设集合∁U(A∪B)中有x个元素，则x的取值范围是________．
解析 因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合∁U(A∪B)中有3个元素，当A∩B中有6
个元素时，∁U(A∪B)中有8个元素，即3≤x≤8且x为整数．
答案 3≤x≤8且x为整数
7．(2010·淮安模拟)对于任意两个集合M，N，定义：M－N＝{x|x∈M，x∉N}，M*N＝(M－N)∪(N
－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sin x，x∈R}，则M*N＝____________.
解析 因为M＝[0，＋∞)，N＝[－3,3]，
所以M－N＝(3，＋∞)，N－M＝[－3,0)，
所以M*N＝[－3,0)∪(3，＋∞)．
答案 [－3,0)∪(3，＋∞)
8．(2010·南通模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＋2ny＋n2－4＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x2＋
y2－6mx－4ny＋9m2＋4n2－9＝0，x，y∈R}，若A∩B为单元素集，则点P(m，n)构成的集
合为________________．
解析 因为A∩B为单元素集，即圆x2＋(y＋n)2＝4与圆(x－3m)2＋(y－2n)2＝9相切，此
＝3＋2或＝3－2，
即m2＋n2＝或m2＋n2＝.
答案 {(m，n)|m2＋n2＝或m2＋n2＝}
9．(2010·盐城模拟)设全集U＝R，A＝{x|>0}，∁UA＝[－1，－n]，则m2＋n2＝________.
解析 由∁UA＝[－1，－n]，知A＝(－∞，－1)∪(－n，＋∞)，即不等式>0的解集为
(－∞，－1)∪(－n，＋∞)，所以－n＝1，－m＝－1，因此m＝1，n＝－1，所以m2＋n2＝
2.
答案 2
二、解答题(本大题共3小题，共46分)
10．(14分)(2010·盐城模拟)已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|20}，且满足(A∪B)∩C＝∅，(A∪B)∪C＝R，求实数b，c的值．
解 因为A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|13或x<－2}，
则不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x>3或x<－2}，
即方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和3，
则b＝－(3－2)＝－1，c＝3×(－2)＝－6.
11．(16分)(2010·扬州模拟)设A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋
2x－8＝0}．
(1)若A∪B＝A∩B，求实数a的值；
(2)若A∩B≠∅，且A∩C＝∅，求实数a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求实数a的值．
解 (1)因为A∪B＝A∩B，所以A＝B，又因为B＝{2,3}，
则a＝5且a2－19＝6同时成立，所以a＝5.
(2)因为B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B≠∅，A∩C＝∅，则只有3∈A，即a2－3a－10＝0，
即a＝5或a＝－2，由(1)可知，当a＝5时，A＝B＝{2,3}，此时A∩C≠∅，与已知矛盾，
所以a＝5舍去，故a＝－2.
(3)因为B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B＝A∩C≠∅，
此时只有2∈A，
即a2－2a－15＝0，得a＝5或a＝－3，
由(1)可知，当a＝5时不合题意，故a＝－3.
12．(16分)(2010·绍兴模拟)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的
前n项和记作Sn，设集合A＝{(an，)|n∈N*}，B＝{(x，y)|x2－y2＝1，x，y∈R}．试问下
列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠∅.
解 (1)在等差数列{an}中，对一切n∈N*，有Sn＝，则＝＝(a1＋an)，
这表明点(an，)适合方程y＝(x＋a1)，于是点(an，)均在直线y＝x＋a1上．
(2)设(x，y)∈A∩B，
则x，y是方程组的解，
由方程组消去y得2a1x＋a21＝－4，
当a1＝0时，方程2a1x＋a21＝－4无解，
此时A∩B＝∅；
当a1≠0时，
方程2a1x＋a21＝－4只有一个解x＝，
此时，方程组只有一解，
故上述方程组至多有解，
所以A∩B至多有一个元素．
(3)取a1＝1，d＝1，对一切的n∈N*，
有an＝a1＋(n－1)d＝n>0，>0，
这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，
另外，由于a1＝1≠0，如果A∩B≠∅，
那么根据(2)的结论，A∩B至多有一个元素(x0，y0)，而x0＝＝－<0，y0＝
＝－<0，这样的(x0，y0)∉A，产生矛盾，故a1＝1，d＝1时，A∩B＝∅，所以，当a1≠0时，一定有A∩B≠∅是不正确的．
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．(2008·湖北理，2)若非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列说法
中正确的是________(填序号)．
①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
②“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
③“x∈C”是“x∈A”的充要条件
④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
解析 由题意知，A、B、C的关系用图来表示．
若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A，则必有x∈C，
因此“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件．
答案 ②
2．(2009·重庆改编)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是
________________．
解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案 若一个数的平方是正数，则它是负数
3．(2009·苏州调研)命题“若a>b，则ac2>bc2 (a，b∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题
中，真命题的个数为________个．
解析 若a>b，c2＝0，则ac2＝bc2.∴原命题为假．
若ac2>bc2，则c2≠0且c2>0，则a>b.∴逆命题为真．
又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真．
又∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题为假．
答案 2
4．(2009·天津改编)设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的____________条件．
解析 当x＝1时，x3＝x成立．
若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.
答案 充分不必要
5．(2010·徐州模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数
y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的
取值范围是__________________．
解析 命题p等价于Δ＝a2－16≥0，∴a≤－4或a≥4；
命题q等价于－≤3，∴a≥－12.
p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假．
∴实数a的取值范围为(－4,4)∪(－∞，－12)．
答案 (－4,4)∪(－∞，－12)
6．(2009·安徽改编)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的____________条件．
解析 由于a>b，且c>d⇒a＋c>b＋d，
而a＋c>b＋dD⇒/a>b且c>d，
所以“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．
答案 必要不充分
7．(2010·青岛模拟)“a<0”是方程“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的____________条
件．
解析 当a<0时，Δ＝4－4a>0，由韦达定理知x1·x2＝<0，故此一元二次方程有一个正根
和一个负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0
时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是方程“ax2
＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．
答案 充分不必要
8．(2009·广东汕头二模)已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一
个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，则a的取值范围是
______________________.
解析 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，
显然a≠0，∴x＝－或x＝.
∵x∈[－1,1]，故|－|≤1或||≤1，
∴|a|≥1.
只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a＝0.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围为{a|－1bc，则abc真命题
否命题 当c<0时，若ac≤bc，则a≥b真命题
逆否命题 当c<0时，若a≥b，则ac≤bc真命题．
(2)逆命题 若a＝0或b＝0，则ab＝0真命题
否命题 若ab≠0，则a≠0且b≠0真命题
逆否命题 若a≠0且b≠0，则ab≠0真命题．
11．(16分)(2009·江苏省华罗庚中学第一次教学质量检测)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x
＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p
且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．
解 若p为真，则00即(2a－3)2－4>0解得a<或a>.
∵p且q为假，p或q为真，
∴p与q中有且只有一个为真命题．(a>0且a≠1)
(1)⇒⇒≤a<1
(2)⇒⇒a>
综上所述，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
12．(16分)(2009·江苏省徐州六县一区联考)已知m∈R，设p：不等式|m2－5m－3|≥3；q：函
数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋)x＋6在(－∞，＋∞)上有极值．求使p且q为真命题的m的取值
范围．
解 由已知不等式得
m2－5m－3≤－3①
或m2－5m－3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5；
不等式②的解为m≤－1或m≥6.
所以，当m≤－1或0≤m≤5或m≥6时，p为真命题．
对函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋)x＋6求导得，
f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋，
令f′(x)＝0，即3x2＋2mx＋m＋＝0，
当且仅当Δ>0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极值．
由Δ＝4m2－12m－16>0得m<－1或m>4，
所以，当m<－1或m>4时，q为真命题．
综上所述，使p且q为真命题时，实数m的取值范围为
(－∞，－1)∪(4,5]∪[6，＋∞)．
§1.3 单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．(2009·天津改编)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是________________________．
解析 命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．
答案 对任意的x∈R,2x>0
2．(2010·镇江模拟)“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是
__ __________________．
答案 △ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
3．(2009·苏南四市模拟)命题“∃x∈R，x≤1或x2>4”的否定是__________________．
解析 已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题．
答案 ∀x∈R，x>1且x2≤4
4．(2010·石家庄模拟)已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.
下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈p；④綈p∧q.
真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析 ∵命题p是假命题，命题q是真命题．
∴綈p是真命题，綈q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，
綈p∧q是真命题．
答案 ①④
5．(2009·济宁模拟)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.
给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”
是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是_______________________．
解析 因p为假命题，q为真命题，故綈p是真命题，綈q是假命题；所以p∧q是假命题，
p∧綈q是假命题，綈p∨q是真命题．
答案 ②③
6．(2009·潍坊模拟)下列命题中真命题的个数为__________．
①p：∀x∈R，x2－x＋≥0；
②q：所有的正方形都是矩形；
③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；
④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0.
解析 x2－x＋＝(x－)2≥0，故①是真命题；x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故③是假命题；
易知②是真命题，④是假命题．
答案 2
7．(2010·江西三校联考)设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；
②若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f(x)0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数；
(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零．
解 (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0
无实数根，是假命题．
命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根，是假命题．
(2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇数，是假命题．
命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是奇数，是真命题．
(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为0，是真命题．
命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为0，是假命题．
11．(16分)(2009·江苏盐城模拟)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0”与命题q：“∃
x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，求实数a的取值范围．
解 ∵∀x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0，
∴a≤x2－ln x，x∈[1,2]，
令f(x)＝x2－ln x，x∈[1,2]，
则f′(x)＝x－，
∵f′(x)＝x－>0(x∈[1,2])，
∴函数f(x)在[1,2]上是增函数．
∴f(x)min＝，∴a≤.
又由命题q是真命题得Δ＝4a2＋32＋24a≥0，
解得a≥－2或a≤－4.
因为命题p与q均为真命题，
所以a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，]．
12．(16分)(2010·镇江调研卷)已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0，命题q：|1－|<1.若p是真命题，
q是假命题，求实数x的取值范围．
解 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
∴x≥3或x≤－1；
由|1－|<1，得－1<1－<1，
∴0
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