2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章10-3相关性

2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章10-3相关性

第3讲　相关性、最小二乘估计与统计案例 最新考纲　1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．‎ 知 识 梳 理 ‎1．变量间的相关关系 ‎(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．‎ ‎(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．‎ ‎2．回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报．‎ ‎(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线．‎ ‎(2)回归直线方程的求法——最小二乘法．‎ 设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，则回归直线方程y＝a＋bx的系数为：‎ 其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心．‎ ‎(3)相关系数 当r＞0时，表明两个变量正相关；‎ 当r＜0时，表明两个变量负相关．‎ r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．‎ r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．‎ ‎3．独立性检验 ‎(1)设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1.‎ ‎2×2列联表 B ‎ A　‎ B1‎ B2‎ 总计 A1‎ a b a＋b A2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．‎ ‎(2)独立性检验 利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验．‎ ‎(3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断 ‎①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；‎ ‎②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；‎ ‎③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；‎ ‎④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(　　)‎ ‎(2)通过回归直线方程y＝bx＋a可以估计预报变量的取值和变化趋势．(　　)‎ ‎(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．(　　)‎ ‎(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；‎ ‎②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；‎ ‎③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；‎ ‎④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.‎ 其中一定不正确的结论的序号是(　　)‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ 解析　由正负相关性的定义知①④一定不正确．‎ 答案　D ‎3.(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是(　　)‎ A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 解析　对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确．‎ 答案　D ‎4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是(　　)‎ A．有99%的人认为该电视栏目优秀 B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 解析　只有χ2>6.635才能有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而既使χ2>6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关．故只有D正确．‎ 答案　D ‎5．(2017·西安模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9.‎ 零件数x(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y(min)‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．‎ 解析　由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75.‎ 设表中的“模糊数字”为a，‎ 则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.‎ 答案　68‎ 考点一　相关关系的判断　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)(2015·湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)‎ A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 ‎(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：‎ 甲 乙 丙 丁 r ‎0.82‎ ‎0.78‎ ‎0.69‎ ‎0.85‎ m ‎106‎ ‎115‎ ‎124‎ ‎103‎ 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析　(1)由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关，故选C.‎ ‎(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性．‎ 答案　(1)C　(2)D 规律方法　(1)利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关．‎ ‎(2)利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强．‎ ‎【训练1】 x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．‎ ‎①x，y是负相关关系；‎ ‎②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关指数为R，用y＝bx＋a拟合时的相关指数为R，则R>R；‎ ‎③x，y之间不能建立线性回归方程．‎ 解析　在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1ec2x拟合比用y＝bx＋a拟合效果要好，则R>R，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误．‎ 答案　①②‎ 考点二　线性回归方程及应用 ‎【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．‎ 注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数r＝，‎ 回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ b＝，a＝－b .‎ 解　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 ＝4，(ti－)2＝28，＝0.55.‎ (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，‎ r≈≈0.99.‎ 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．‎ ‎(2)由＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103，‎ a＝－b ≈1.331－0.103×4≈0.92.‎ 所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.‎ 将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．‎ 规律方法　(1)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．‎ ‎(2)正确运用计算b，a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键，并充分利用回归直线y＝bx＋a必过样本点的中心(，)进行求值．‎ ‎【训练2】 (2017·合肥一中质检)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y(千亿元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)求y关于t的回归方程y＝bt＋a；‎ ‎(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．‎ 附：回归方程y＝bt＋a中，b＝，a＝－b.‎ 解　(1)列表计算如下 i ti yi t tiyi ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎21‎ ‎32‎ ‎50‎ ‎∑‎ ‎15‎ ‎36‎ ‎55‎ ‎120‎ 这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.‎ 又－n2＝55－5×32＝10，iyi－n　＝120－5×3×7.2＝12，‎ 从而b＝＝＝1.2，a＝－b＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y＝1.2t＋3.6.‎ ‎(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．‎ 考点三　独立性检验 ‎【例3】 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集了300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．‎ ‎(1)应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；‎ ‎(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 解　(1)利用分层抽样，300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．‎ ‎(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75.所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.‎ ‎(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．‎ 又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 χ2＝＝≈4.762＞3.841.‎ 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 规律方法　(1)在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．‎ ‎(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．‎ ‎【训练3】 (2017·石家庄质检)‎ 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中是青年人．‎ ‎(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；‎ 青年人 中年人 总计 经常使用微信 不经常使用微信 总计 ‎(2)由列联表中所得数据判断，是否有99%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？‎ 解　(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)．‎ 经常使用微信的有180－60＝120(人)，‎ 其中青年人有120×＝80(人)，‎ 使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，‎ 所以2×2列联表：‎ 青年人 中年人 总计 经常使用微信 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 不经常使用微信 ‎55‎ ‎5‎ ‎60‎ 总计 ‎135‎ ‎45‎ ‎180‎ ‎(2)将列联表中数据代入公式可得：‎ χ2＝≈13.333，‎ 由于13.333>6.635，所以有99%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．‎ ‎2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．‎ ‎3．独立性检测是根据χ2的值判断两个分类变量有关的可信程度．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎2．独立性检验中统计量χ2的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)‎ A．模型1的相关指数R2为0.98‎ B．模型2的相关指数R2为0.80‎ C．模型3的相关指数R2为0.50‎ D．模型4的相关指数R2为0.25‎ 解析　相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好．‎ 答案　A ‎2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)‎ A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4‎ C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4‎ 解析　因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标代入检验，A满足．‎ 答案　A ‎3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，)‎ C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 解析　∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确；‎ ‎∵回归直线经过样本点的中心(，)，∴B正确；‎ ‎∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，‎ ‎∴C正确．‎ 答案　D ‎4．通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由χ2＝算得，‎ χ2＝≈7.8.‎ 则得到的正确结论是(　　)‎ A．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．有90%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．有90%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ 解析　根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635，可知有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．‎ 答案　A ‎5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b ‎，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 解析　由题意知，＝＝10，‎ ＝＝8，‎ ‎∴a＝8－0.76×10＝0.4，‎ ‎∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．‎ 答案　B 二、填空题 ‎6．若8名学生的身高和体重数据如下表：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 身高/cm ‎165‎ ‎165‎ ‎157‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎165‎ ‎155‎ ‎170‎ 体重/kg ‎48‎ ‎57‎ ‎54‎ ‎64‎ ‎61‎ ‎43‎ ‎59‎ 第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是y＝0.849x－85.712，则第3名学生的体重估计为________．‎ 解析　设第3名学生的体重为a，则 (48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×(165＋165＋157＋170＋175＋165＋155＋170)－85.712.‎ 解之得a≈50.‎ 答案　50‎ ‎7．(2017·南昌模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：‎ 理科 文科 总计 男 ‎13‎ ‎10‎ ‎23‎ 女 ‎7‎ ‎20‎ ‎27‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 根据表中数据，得到χ2＝≈4.844，则有________的把握认为选修文理科与性别有关系．‎ 解析　由χ2＝4.844＞3.841.故有95%的把握认为选修文理科与性别有关系．‎ 答案　95%‎ ‎8．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：‎ 气温(℃)‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎－1‎ 用电量(度)‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得回归直线方程y＝bx＋a中的b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度．‎ 解析　根据题意知＝＝10，＝＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以a＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度．‎ 答案　68‎ 三、解答题 ‎9．(2017·郑州调研)某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y ‎(单位：千元)的数据如下表：‎ 年份 ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求y关于t的线性回归方程；‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ b＝，a＝－b.‎ 解　(1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，‎ ＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，‎ (ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，‎ (ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋‎ ‎(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，‎ b＝＝＝0.5，‎ a＝－b＝4.3－0.5×4＝2.3，‎ 所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.‎ ‎(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2009至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年约增加0.5千元．‎ 将2017年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．‎ ‎10．(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：‎ 月收入(单 位：百元)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75]‎ 赞成定价 者人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ 认为价格偏高者人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；‎ ‎(2)由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.‎ 月收入不低于 ‎55百元的人数 月收入低于 ‎55百元的人数 总计 认为价格偏高者 赞成定价者 总计 解　(1)“赞成定价者”的月平均收入为 x1＝≈50.56.‎ ‎“认为价格偏高者”的月平均收入为 x2＝＝38.75，‎ ‎∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．‎ ‎(2)根据条件可得2×2列联表如下：‎ 月收入不低于 ‎55百元的人数 月收入低于 ‎55百元的人数 总计 认为价格偏高者 ‎3‎ ‎29‎ ‎32‎ 赞成定价者 ‎7‎ ‎11‎ ‎18‎ 总计 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ χ2＝≈6.27<6.635，‎ ‎∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如下表：‎ 售价x ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ 销售量y ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎9‎ 为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为y＝－1.4x＋a，那么方程中的a值为(　　)‎ A．17 B．17.5 C．18 D．18.5‎ 解析　＝＝5，‎ ＝＝10.5，‎ ‎∵回归直线过样本点的中心，‎ ‎∴a＝10.5＋1.4×5＝17.5.‎ 答案　B ‎12．根据如下样本数据 x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎－0.5‎ ‎0.5‎ ‎－2.0‎ ‎－3.0‎ 得到的回归方程为y＝bx＋a，则(　　)‎ A．a>0，b>0 B．a>0，b<0‎ C．a<0，b>0 D．a<0，b<0‎ 解析　作出散点图如下：‎ 观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，y＝a>0.故a>0，b<0.‎ 答案　B ‎13．(2017·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 根据上述数据，有________的把握推断视觉和空间想象能力与性别有关系．‎ 解析　由列联表计算x2＝≈5.556>3.814.‎ ‎∴有95%的把握推断视觉和空间想象能力与性别有关系．‎ 答案　95%‎ ‎14．(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…‎ ‎，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ (xi－)2‎ (wi－)2‎ (xi－)·(yi－)‎ (wi－)·(yi－)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1 469‎ ‎108.8‎ 表中wi＝，＝wi.‎ ‎(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：‎ ‎①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ β＝，α＝－β　.‎ 解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．‎ ‎(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于 d＝＝＝68，‎ c＝－d＝563－68×6.8＝100.6，‎ 所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68.‎ ‎(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值 y＝100.6＋68＝576.6，‎ 年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32.‎ ‎②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.‎ 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎