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2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学试题
2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷 高二数学 一、填空题: 1.直线l:2x-y+1=0的斜率为________ 2.命题p:∃x∊R,使得x2+1≤0的否定为______________ 3.直线l:kx+y-2k=0经过定点的坐标为________ 4.若命题p:,命题q:点在圆内,则p是q的______条件。 5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2,l2:ax+y=a+1,若l1⊥l2,则a=_______ 6. 命题p:“若a>b,则<”的否命题是___________(填:真、假)命题 7.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为_________ 8.若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为 . 9.离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是__________________ 10.椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 那么的值是______ ___ 11.在平面直角坐标系xOy中,由不等式所确定的图形的面积为___________ 12.椭圆的右焦点为F,过原点O的直线交椭圆于点A、P,且PF垂直于x轴,直线AF交椭圆于点B,,则该椭圆的离心率=____ __. 13.在平面直角坐标系xoy中,抛物线的焦点为,设M是抛物线上的动点,则的最大值为 . 14.已知对于点A(0,12),B(10,9),C(8,0),D(-4,7),存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S的不同边所在直线上,设正方形S面积为k,则10k的值为_______ 二、解答题: 15.已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程 表示双曲线”. (1)若是真命题,求实数的取值范围; (2)若“”是真命题,求实数的取值范围. 16.已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为. (1)若,试求点的坐标; (2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程; 17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”:求作一个立方体,使它的体积等于已知立方体体积的2倍。倍立方问题可以利用抛物线(可尺规作图)来解决。首先作一个通经为2a(其中正数a为原立方体的棱长)的抛物线C1,如图,再作一个顶点与抛物线C1顶点O重合而对称轴垂直的抛物线C2,且与C1交于不同于点O的一点P,自点P向抛物线C1的对称轴作垂线,垂足为M,可使以OM为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍。 (1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线C1的标准方程; (2)为使以OM为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍,求抛物线C2的标准方程(只须以一个开口方向为例)。 18.如图,△AOB的顶点A在射线l:上,A,B两点关于x轴对称,O为坐标原点,且线段AB上有一点M满足|AM|·|MB|=3.当点A在l上移动时,记点M的轨迹为W. (1)求轨迹W的方程; (2)设P(m,0)为x轴正半轴上一点,求|PM|的最小值f(m). 19.已知椭圆C:(a>b>0)上顶点为D,右焦点为F,过右顶点A作直线l//DF,且与y轴交于点P(0,t),又在直线y=t和椭圆C上分别取点Q和点E,满足OQ⊥OE(O为坐标原点),连接EQ (1)求t的值,并证明直线AP与圆x2+y2=2相切; (2)判断直线EQ与圆x2+y2=2是否相切?若相切,请证明;若不相切,请说明理由。 20.已知椭圆C:左焦点F,左顶点A,椭圆上一点B满足BF⊥x轴,且点B在x 轴下方,BA连线与左准线l交于点P,过点P任意引一直线与椭圆交于C、D,连结AD、BC交于点Q,若实数λ1,λ2满足:=λ1,=λ2 (1)求λ1·λ2的值 (2)求证:点Q在一定直线上。 2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷 高二数学 一、填空题: 1.直线l:2x-y+1=0的斜率为________2 2.命题p:∃x∊R,使得x2+1≤0的否定为______________x∊R,使得x2+1>0 3.直线l:kx+y-2k=0经过定点的坐标为________(2,0) 4.若命题p:,命题q:点在圆内,则p是q的_______条件。充要. 5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2,l2:ax+y=a+1,若l1⊥l2,则a=_______ 0 6. 命题p:“若a>b,则<”的否命题是___________(填:真、假)命题 假 7.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为_________2 8.若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为 . 0或4 9.离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是_______-=1 10.椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 那么的值是_________ 11.在平面直角坐标系xOy中,由不等式所确定的图形的面积为____________50π 解:由两个曲线的对称性,所求面积为圆面积的一半50π,也可具体分析第一象限围出的区域,注意对称性即可。 12.椭圆的右焦点为F,过原点O的直线交椭圆于点A、P,且PF垂直于x轴,直线AF交椭圆于点B,,则该椭圆的离心率=______. 解:(11年江苏高考解几的逆命题)kPAkPB=-1 又kAF=kPA=kAB,由点差法kABkPB= - 所以kPA kPB=-=-,所以a2=2b2,可得离心率为 13.在平面直角坐标系xoy中,抛物线的焦点为,设M是抛物线上的动点,则的最大值为 . 【解析】焦点,设,则,,设到准线的距离等于, 则===== ==.令,, 则==≤=(当且仅当时,等号成立). 故的最大值为 14.已知对于点A(0,12),B(10,9),C(8,0),D(-4,7),存在唯一一个正方形S满足这四个点在S的不同边上,设正方形S面积为k,则10k的值为_______ 解:设m为过点B的正方形S的边所在直线的斜率,则该直线方程l1:y-9=m(x-10) 即mx-y+(9-10m)=0 过点C的正方形S的边所在直线方程l2:x+my-8=0 由于点D到l1的距离等于点A到l2的距离, 故= 解得:m=或-3 而当m=时,点A与C在l1的两侧,矛盾, 当m=-3符合,此时,k=()2= 所以10k=1936 二、解答题: 15.已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程 表示双曲线”. (1)若是真命题,求实数的取值范围; (2)若“”是真命题,求实数的取值范围. 解:(1) (3) (7分+7分) 16.已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为. (1)若,试求点的坐标; (2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程;[来 解:(1)设,由条件可知,所以,解之得:, 故所求点的坐标为或. (2)设直线的方程为:,易知存在,由题知圆心到直线的距离为 所以=,解得k=-1或- 故所求直线CD的方程为:x+y-3=0或x+7y-9=0 (7分+7分) 17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”:求作一个立方体,使它的体积等于已知立方体体积的2倍。倍立方问题可以利用抛物线(可尺规作图)来解决。首先作一个通径为2a(其中正数a为原立方体的棱长)的抛物线C1,如图再作一个顶点与抛物线C1顶点O重合而对称轴垂直的抛物线C2,且与C1交于不同于点O的一点P,自点P向抛物线C1的对称轴作垂线,垂足为M,可使OM为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍。 (1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线C1的标准方程; (2)为使以OM为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍,求抛物线C2 的标准方程(只须以一个开口方向为例)。 (6分+8分) 解(1)以O为原点,OM为x轴正向建立平面直角坐标系, 由题意,抛物线C1的通经为2a,所以标准方程为y2=2ax (2)方法一:设抛物线C2:x2=my(m>0) 又由题意OM3==2a3,所以xP=a,代入y2=2ax 得:=2a2,解得yP=a 所以点P(a,a)代入x2=my 得:(a)2=ma,解得m=a 所以抛物线C2为:x2=ay 方法二:设抛物线C2:x2=my(m>0) 联立抛物线C1、C2得: x4=2am2x,解得x=0或x3=2am2 由题意OM3= x3=2am2=2a3 所以,m=a 所以抛物线C2为:x2=ay 一点说明:古希腊著名的尺规作图题“倍立方问题”,试题也可有文化传承的功能。 18.如图,△AOB的顶点A在射线l:上,A,B两点关于x轴对称,O为坐标原点,且线段AB上有一点M满足|AM|·|MB|=3.当点A在l上移动时,记点M的轨迹为W. (1)求轨迹W的方程; (2)设P(m,0)为x轴正半轴上一点,求|PM|的最小值f(m). 解:(1)因为A,B两点关于x轴对称, 所以AB边所在直线与y轴平行. 设M(x,y),由题意,得A(x,x),B(x,-x) 所以|AM|=x-y,|MB|=y+x, 因为|AM|·|MB|=3, 所以(x-y)×(y+x)=3,即 所以点M的轨迹W的方程为(x≥1). (2)设M(x,y),则 因为点M在,所以y2=3x2-3, 所以 若,即m<4,则当x=1时,|MP|min=|m-1|, 若,即m≥4,则当时, 所以,|PM|的最小值 (6分+10分) 19.已知椭圆C:(a>b>0)上顶点为D,右焦点为F,过右顶点A作直线l//DF,且与y轴交于点P(0,t),又在直线y=t和椭圆C上分别取点Q和点E,满足OQ⊥OE(O为坐标原点),连接EQ (1)求t的值,并证明直线AP与圆x2+y2=2相切; (2)判断直线EQ与圆x2+y2=2是否相切?若相切,请证明;若不相切,请说明理由。 解:(1)由题设D(0,),F(,0),A(2,0) 又AP//DF,所以kAP=kDF,可得t=2, 所以AP:+=1,即x+y=2 所以d===圆x2+y2=2的半径, 所以直线AP与圆x2+y2=2相切 (2)设Q(x0,2),E(x1,y1) 由OQ⊥OE,则⊥,可得x0x1+2y1=0 而EQ:(y1-2)x- (x1-x0)y-(y1-2)x0+2(x1-x0)=0 d== 由x0x1+2y1=0得x0=-代入上式 得d=== 又+2=4,=4-2,代入上式得d= 所以直线EQ与圆x2+y2=2相切。 (6分+10分) 此题背景:此题以椭圆为背景,难点在于设椭圆上任意一点,得QE直线方程,证明与圆相切,体现设而不求的想法,有一定的运算推理要求。 20.已知椭圆C:左焦点F,左顶点A,椭圆上一点B满足BF⊥x轴,且点B在x轴下方,BA连线与左准线l交于点P,过点P任意引一直线与椭圆交于C、D,连结AD、BC交于点Q,若实数λ1,λ2满足:=λ1,=λ2 (1)求λ1·λ2的值 (2)求证:点Q在一定直线上 解:(1)因为F(-2,0),由BF⊥x轴,由对称性不妨设B(-2,-3),则直线AB:y=-(x+4) 又左准线l:x=-8,所以P(-8,6) 又=λ1,所以=, 同理由=λ2,得= 又=,所以= 又//,比较系数得=,所以λ1·λ2= (此题本质是梅涅劳斯定理,由△QAB及截线PCD,可得λ1·λ2=,应给全分) (2)证明:设点C(x1,y2),D(x2,y2),Q(x0,y0) 由=λ1,得x1=,y1= 代入椭圆方程3x2+4y2=48,得:32+42=48 整理得:(3+4-48)-(12x0+24y0+96)λ1=0 显然λ1≠0,所以λ1= 同理由=λ2,得x2=,y2= 代入椭圆方程3x2+4y2=48,得:32+42=48 同理可得:λ2= 又由(1)λ1·λ2=,所以,·= 整理得:x0-y0+2=0 即点Q在定直线x-y+2=0上 (6分+10分) 此题实质是圆锥曲线极点极线的一个性质。问题设计时,将几何关系用适当的向量关系表出,既体现向量和解析几何的共性,又为解题指引方向。第(1)小问充分体现了构图特点,为第(2)问埋下伏笔;第(2)体现了问题本质PF⊥QF。 原题:设椭圆的左焦点为O,左准线为z,A,B是椭圆上两点,使得OA⊥OB,AB交左准线z于点P,一直线过点P且交椭圆于C、D,AD交BC于点E,如图,求证:OE⊥OP查看更多
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