2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期中考试数学文试题 解析版

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绝密★启用前 河南省南阳市 2018-2019 学高二上学期期中考试数学文试题 评卷人 得分 一、单选题 1．若 ，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A． ，则当 a=0 或者 b=0 时，结论就不成立了，故选项不对。 B．当 a=0 或者 b=0 时，结论不成立了；或者当两者都不为 0 时 ，不等号不 同向，不能直接相加，故不一定有 ，故选项不对。 C．当 ， ，故结果不对。 D．由重要不等式得到 在 R 上成立选项正确。 故答案为 D。 2．在等比数列 中， ， ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，设等比数列{an}的公比为 q，结合等比数列的通项公式可得 q＝ ＝3，进而 可得 a1 与 a2 的值，相加即可得答案． 【详解】 根据题意，设等比数列{an}的公比为 q， 又由 a3＝6，a4＝18，则 q＝ ＝3， 则 a1＝ ，a2＝ ， 则 a1+a2＝2 ； 故选：B． 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式，关键是求出 q 的值，属于基础题． 3．不等式 的解集是（　　） A．（﹣∞，﹣2] [2，+∞） B．[﹣2，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2] 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，4﹣x2≥0⇒x2≤4，解可得 x 的取值范围，即可得答案． 【详解】 根据题意，4﹣x2≥0⇒x2≤4⇒﹣2≤x≤2， 即不等式 4﹣x2≥0 的解集[﹣2，2]； 故选：B． 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解法，属于基础题． 4．设变量 x，y 满足 ，则点 P（x，y）所在区域的面积为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 画出约束条件的可行域，求出点的坐标，然后求解区域的面积即可． 【详解】 变量 x，y 满足 表示的可行域如图： 则点 P（x，y）表示的区域的面积为： ＝ ． 故选：C． 【点睛】 利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ 型）、 斜率型（ 型）和距离型（ 型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。 5．等比数列{an}的各项均为正数，且 a1007a1012+a1008a1011＝18，则 + +•••+ ＝（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】B 【解析】 ∵ = ， ∴ =2 =18 ∴ = ∴ =2018log33=2018 故选：B． 6．在△ABC 中，角 A，B，C 的边长分别为 a，b，c，角 A，B，C 成等差数列，a＝6， ，则此三角形解的情况是（　　） A．一解 B．两解 C．无解 D．不能确定 【答案】B 【解析】 ∵角 A，B，C 成等差数列， ∴A+C=2B，又 A+B+C=π， ∴B= ， ∴点 C 到 AB 的距离 d=asinB=3 ∵b=4 ， ∴d＜b＜a， ∴三角形有两解． 故选 B． 7．已知数列 满足要求 ， ，则 ＝（　　） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】C 【解析】 【分析】 由数列{an}满足 a1＝1，an+1＝2an+1，分别令 n＝1，2，3，4，能够依次求出 a 2，a3， a4，a5． 【详解】 ∵数列{an}满足 a1＝1，an+1＝2an+1， ∴a2＝2×1+1＝3， a3＝2×3+1＝7， a4＝2×7+1＝15， a5＝2×15+1＝31． 故选：C． 【点睛】 本题考查数列的递推公式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注 意递推公式的合理运用． 8．在△ABC 中， ，则 A 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出 cosA，确定 A 的度数． 【详解】 已知等式利用正弦定理化简得：a2=b2+c2﹣bc，即 b2+c2﹣a2=bc， ∴由余弦定理得：cosA= = ， ∵A 为三角形的内角， ∴A=60°， 故答案为：B 【点睛】 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 9．已知 ， 且 ，则 的最小值为（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】 【分析】 将 代入 x+y，展开后应用基本不等式即可． 【详解】 ∵x＞0，y＞0 且 ， ∴x+y＝（x+y）•（ ）＝2+ ≥4（当且仅当 x＝y＝2 时取“＝“）． 故选：B． 【点睛】 本题考查基本不等式，着重考查基本不等式的应用，属于基础题．在利用基本不等式求 最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字 母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用， 否则会出现错误. 10．某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 米和 500 米，测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30°，灯塔 B 在观察站 C 正西方向，则两灯塔 A、B 间的距离为（　　） A．500 米 B．600 米 C．700 米 D．800 米 【答案】C 【解析】 在 中 ， 由 余 弦 定 理 得 AB2=5002+3002 － 2×500×300cos120°="490" 000 ． 所 以 AB=700（米）．故选 C． 11．设变量 x，y 满足约束条件 ．目标函数 仅在（1，0）处取得最小 值，则 a 的取值范围为（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣2，4） C．（﹣4，0] D．（﹣4，2） 【答案】D 【解析】 试题分析：满足 的平面区域是图中的三角形（阴影部分），又目标函数 仅在点 处取得最 小值，∴ ，∴ ，即 ， ∴ ，解得 . 考点：考查线性规划.数形结合思想. 点评： 本题的关键是比较直线 的斜率与直线 与 得斜率的大小. 12．等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则数列 中（ ） A．首项最大 B．第 9 项最大 C．第 10 项最大 D．第 11 项最大 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列前 10 项和定义推导出 a10＞0，a11＜0，由此能求出数列{Sn}中第 10 项最 大． 【详解】 ∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S20＞0，S21＜0， ∴ ∴a10＞0，a11＜0， ∴数列{Sn}中第 10 项最大． 故选：C． 【点睛】 本题考查等差数列前 n 项和取最大值时项数的求法，考查等差数列的性质、运算法则等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知数列 的前 n 项和 ，那么 等于___． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据题意，由数列的前 n 项公式可得 a3＝S3﹣S2，代入数据计算可得答案． 【详解】 根据题意，数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2﹣1， 则 a3＝S3﹣S2＝（32﹣1）﹣（22﹣1）＝5； 故答案为：5． 【点睛】 本题考查数列的前 n 项和公式的应用，注意 an＝sn﹣sn﹣1 的应用，属于基础题． 14．点（3，1）和（﹣4，6）在直线 的两侧，则实数 a 的取值范围是 ___． 【答案】 【解析】 试题分析：因为点 和点 在直线 的两侧， 所以 ，解得 . 考点：本小题主要考查直线与点的位置关系的数列关系的体现，考查学生对点与直线的 位置关系的理解和应用. 点评：本小题也可以分两点分别在直线的两侧讨论，但是不如直接让乘积小于零简单， 做题时要考虑一题多解，考试时才可以游刃有余. 15．已知△ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c， ，则 ＝___ 【答案】1 【解析】 【分析】 由已知与余弦定理得 cosC＝0，结合平方关系得 sin2C＝1，又 A 是三角形内角，得 sinC ＝1． 【详解】 ∵ccosA＝b， ∴a2+b2﹣c2＝0，∴cosC＝ ＝0， 由平方关系得 sin2C＝1， ∵A 是三角形内角，∴sinC＝1． 故答案为：1． 【点睛】 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．在解与三角形有关的问题时， 正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余 弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定 理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。 16．寒假期间，某校家长委员会准备租赁 A，B 两种型号的客车安排 900 名学生到重点 高校进行研学旅行，A，B 两种客车的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1200 元 /辆和 1800/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为____元． 【答案】27600 【解析】 设分别租用 两种型号的客车 辆， 辆，所用的总租金为 元，则 ，其 中 满 足 不 等 式 组 ， 即 ， 由 ，得 ，作出不等式组对应的平面区域平移 ， 由图象知当直线 经过点 时，直线的截距最小，此时 最小，由 得 ，即当 时，此时的总租金 元，达到最 小值，故答案为 . 评卷人 得分 三、解答题 17．已知数列 满足 ，求数列的前 n 项和 Sn 【答案】 【解析】 【分析】 运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简计算可得所求 和． 【详解】 ， 两式相减得： . 【点睛】 本题考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式的运用，考查化简运 算能力，属于基础题． 18．解关于 x 的不等式 ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据题意，分 2 种情况讨论 a 的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案． 【详解】 根据题意，分 3 种情况讨论： ①当 时，不等式即 ，即 . 此时不等式的解集为 ； ②当 时，方程 有 2 根，分别为 0 和 . 当 时， ，此时不等式的解集为 ； 当 时， ，此时不等式的解集为 ； 综合可得：当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 . 【点睛】 本题考查含有参数的不等式的解法，注意讨论 a 的取值范围，属于基础题． 19．已知 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 ． （1）求角 C 的大小； （2）若 c＝2，△ABC 的周长为 6，求该三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 2sinAcosC＝sinA，结合 sinA≠0，可求 cosC＝ ，根据范围 0＜C＜π，可求 C 的值；（2）由已知可求 a+b＝4， 由余弦定理可求 ab 的值，根据三角形面积公式即可计算得解． 【详解】 ⑴由正弦定理得： ， 即 ， 即 ， 由于 ， 故 ， 又 ， 所以 ， ⑵由于 ，三角形的周长为 6，故 ， 由余弦定理有 ， 即 ， 故 ， 所以三角形的面积 . 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解 三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题． 20．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维 修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如 图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长 度为 x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】（1） ；（2）当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小,最 小总费用是 10440 元. 【解析】 试题分析：（1）设矩形的另一边长为 am，则根据围建的矩形场地的面积为 360m2，易 得 ，此时再根据旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，我们即可 得到修建围墙的总费用 y 表示成 x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析 式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的 x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m 则 45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a= , 所以 y=225x+ （2） ．当且仅当 225x= 时，等号成立． 即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元． 考点：函数模型的选择与应用 21．设 是等差数列 的前 n 项和，已知 ， （ ）． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若数列 ，求数列 的前 n 项和 ． 【答案】（Ⅰ）18；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（1）根据等差数列 满足 ， ，列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，根据等差数列的求和公式可得 递的值；（2）由 （1）知 ，从而可得 ，利用裂项 相消法求解即可. 试题解析：（I）设数列 的公差为 ，则 即 ， 解得 ， 所以 . （也可利用等差数列的性质解答） (II)由（I）知 ， ， 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和， 属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方 向 ， 突 破 这 一 难 点 的 方 法 是 根 据 式 子 的 结 构 特 点 ， 常 见 的 裂 项 技 巧 ： (1) ； （ 2 ） ； （ 3 ） ；（4） ；此外， 需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 22．如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域 ABE 为书籍摆放区，沿 着 AB、AE 处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为 BCDE 为阅读区，若∠BAE ＝60°，∠BCD＝∠CDE＝120°，DE＝3BC＝3CD＝ m． （1）求两区域边界 BE 的长度； （2）若区域 ABE 为锐角三角形，求书架总长度 AB+AE 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）连接 BD，由余弦定理可得 BD，由已知可求∠CDB＝∠CBD＝30°，∠CDE＝ 120°，可得∠BDE＝90°，利用勾股定理即可得解 BE 的值；（2）设∠ABE＝α，由正 弦定理，可得 AB＝4 sin（120°﹣α），AE＝4 sinα，利用三角函数恒等变换的应用化 简可得 AB+AE＝12sin（α+30°），结合范围 60°＜α+30°＜120°，利用正弦函数的性质 可求 AB+AE 的最大值，从而得解． 【详解】 ⑴连接 BD，在△BDC 中， ，∠BCD=120°， 由余弦定理 , 得 ，得 又 BC=CD，∠BCD=120°， ， . △ABE 中，BD=3， ，由勾股定理 . 故 . ⑵设 ， 则 , 在△ABE 中， 由正弦定理 . ， ， 故 = ， △ABE 为锐角三角形， 故 ， ， ， 所以暑假的总长度 AB+AE 的取值范围是 ， 【点睛】 本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能 力，属于中档题．此类函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过 程，在建模时要注意实际情况对自变量 x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考 虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化 问题中，最常见的思路之一．