专题65+椭圆（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习
【学习目标】
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归．
3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．
【知识要点】
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
2．椭圆的标准方程
(1) ______________ (a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝_____________．
(2)＋＝1(a>b>0)，焦点___________________，其中c＝_____________．
3．椭圆的几何性质以＋＝1(a>b>0)为例
(1)范围：________________．
(2)对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：O(0，0)．
(3)顶点：长轴端点：A1(－a，0)，A2(a，0)，短轴端点：B1(0，－b)，B2(0，b)；长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，焦距|F1F2|＝2c.
(4)离心率e＝_______，0
b>0),过点P(-3,0)且方向为a=(2,-5)的光线经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,若点P在直线上,则这个椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由入射光线所在直线的方向向量求出反射光线所在直线的斜率，从而可得反射光线所在直线的方程，令，得，结合准线方程可得，进而可得结果.
【详解】
如图所示,设过点且方向为的直线为,
则，直线的方程为，
即与联立,
可得，由光线反射的对称性知，
直线的方程为，即，
令，得，
又，则，
所以椭圆的离心率，故选A.
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
12．设椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,A是C上任意一点,则△AF1F2的周长为( )
A． 9 B． 13 C． 15 D． 18
【答案】D
【解析】
【分析】
由椭圆的方程求出的值, 计算的值，而的周长，利用椭圆的定义可得结果.
【详解】
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与简单性质，意在考查对基本概念与基本性质掌握的熟练程度，属于简单题.
13．曲线(m<6)与曲线(5b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( )
A． B． －1 C． D． 4－2
【答案】B
【解析】
【分析】
以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．
【详解】
由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，如图所示，OA=OB=OF1=OF2，
故这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．
直线y＝－x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为
由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即
∴
故选B．
【点睛】
本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．
15．已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过等差数列推出，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆，从而进一步可求椭圆的方程．
【详解】
故选：D．
16．焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4，离心率等于，则该椭圆的标准方程为( )
A． ＋y2＝1 B． ＋y2＝1
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可设椭圆方程为 且求得a，结合离心率得到c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．
【详解】
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，是基础题．
17．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( )
A． 椭圆 B． 直线
C． 圆 D． 线段
【答案】A
【解析】
【分析】
依据动点M满足的条件及椭圆的定义可得：动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆．
【详解】
根据椭圆的定义知，到两定点F1，F2的距离之和为8＞|F1F2|=6，
动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆．
故选：A．
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是关键．
18．已知椭圆C：(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若，，cos ∠ABF＝，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在△ABF中，由余弦定理得|AF|＝6, 由椭圆的对称性得B到右焦点的距离也是6, 由椭圆的定义知2a＝6＋8＝14，又|AF|2＋|BF|2＝|AB|2进而得到三角形的形状，由直角三角形中线的性质得到c=5,进而得到结果.
【详解】
在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝82＋102－2×8×10×，解得|AF|＝6，由椭圆的对称性得B到右焦点的距离也是6，由椭圆的定义知2a＝6＋8＝14，又|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，所以∠AFB＝90°，所以c＝|FO|＝|AB|＝5(O为坐标原点)，所以e＝.
故答案为：C.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及几何性质，椭圆的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．
19．设，分别为椭圆的右焦点和上顶点，为坐标原点，是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：根据，由平面向量加法法则，则有为平行四边形的对角线，故 ，联立椭圆、直线方程，可得 ，由，可得 可得a 即可得到椭圆的离心率．
详解：
点睛：本题的考查的知识点是椭圆的简单性质，其中根据平行四边形的性质，求出C点的坐标，是解答本题的关键．属于中档题．
20．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，椭圆与双曲线的离心率分别为的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 设椭圆和双曲线的半焦距为，
由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，即有，
再由三角形的两边之和大于第三边，可得，则，即有，
由离心率公式可得，
由于，则由，则，
所以的取值范围是，故选B.
点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
二、填空题
21．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为______
【答案】4
【解析】
【分析】
由题得，解之即得a的值.
【详解】
由题得，所以a=4,
故答案为：4
【点睛】
（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中，双曲线中
22．已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，则的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先求得点P的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.
【详解】
设，
F1关于直线的对称点P坐标为（0，c），
点P在椭圆上，则：，
则c=b=1,，则，
故的周长为：.
【点睛】
椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
23．已知椭圆的左右焦点是、，设是椭圆上一点， 在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据在上的投影的大小恰好为||，判断两向量互相垂直得到直角三角形，进而根据直角三角形中内角为 ，结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式，最后根据离心率公式求得离心率e．
【详解】
∵在上的投影的大小恰好为||，
∴PF1⊥PF2，
又∵它们的夹角为 ，
∴∠PF1F2=，
∴在直角三角形PF1F2中，F1F2=2c，
∴PF2=c，PF1=c，
又根据椭圆的定义得：PF1+PF2=2a，
∴c+c=2a，
∴．
∴e=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质，同时考查了学生综合分析问题和运算的能力，解答关键是通过解三角形求得a，c的关系从而求出离心率．
24．过双曲线 的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且该直线与轴的交点为，若 (为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得从而得到双曲线的离心率.
【详解】
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．
25．已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得点关于直线的对称点，然后结合椭圆的性质求解椭圆方程即可.
【详解】
据此可知椭圆的方程为.
【点睛】
求椭圆的标准方程有两种方法：
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
26．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于的两点，且轴，若为椭圆上异于的动点且，则该椭圆的离心率为___.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，假设A在第一象限，则，过B作BC⊥x轴于C，分析易得△AF1F2～△BF1C，分析可得B的坐标，将其代入椭圆的方程，变形可得25c2+b2=9a2，结合椭圆的几何性质可得3c2=a2，又由椭圆的离心率公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，因为AF2⊥x轴且F2（c，0），假设A在第一象限，则，
过B作BC⊥x轴于C，则易知△AF1F2～△BF1C，
由得|AF1|=3|BF1|，所以|AF2|=3|BC|，|F1F2|=3|CF1|，
所以，代入椭圆方程得，即25c2+b2=9a2，
又b2=a2﹣c2，所以3c2=a2，
所以椭圆离心率为．
故答案为：．
【点睛】
对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
27．（2017.福建省质检）椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是椭圆和抛物线的一个公共点，点满足，则的离心率为__________．
【答案】.
【解析】
【分析】
由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意求出椭圆与抛物线的交点，结合椭圆定义求出椭圆的实半轴，代入离心率公式求得答案．
【详解】
如图，
由抛物线E：y2=4x，得2P=4，p=2，∴F（1，0），
又Q（0，1）且QF⊥QP，
∴QP所在直线斜率为1，则QP所在直线方程为y=x+1，
联立，解得P（1，2），
则2a==，
∴a=，
则e=．
故答案为：．
【点睛】
求离心率的常用方法有以下两种：
（1）求得的值，直接代入公式求解；
（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．
28．已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F(1,0),设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF的中点为M,BF的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上.若直线AB的斜率k满足01,
所以1b>0)中,F1,F2分别为其左、右焦点,M为椭圆上一点且MF2⊥x轴,设P是椭圆上任意一点,若△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍(O为坐标原点),则该椭圆的离心率e=____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，可得 ，利用△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍，可得 求出a，c的关系，即可求出椭圆的离心率．
【详解】
【点睛】
本题考查椭圆的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
30．点P在椭圆上运动,点A,B分别在x2+(y-4)2=16和x2+(y+4)2=4上运动,则|PA|+|PB|的最大值为____.
【答案】16
【解析】
【分析】
由题意得：椭圆的两个焦点（0，±4）分别是
圆x2+（y-4）2=16和x2+（y+4）2=4的圆心，故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，|PA|+|PB|取最大值．
【详解】
由题意得：椭圆的两个焦点（0，±4）分别是
圆x2+（y-4）2=16和x2+（y+4）2=4的圆心，
P到两个焦点的距离和为定值2×5=10，
两圆的半径分别为4和2，
故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，
|PA|+|PB|的最大值为：2×5+2+4=16，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用
31．已知是椭圆：的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为__________．
【答案】4
【解析】由题设可设左焦点为，则的周长为，由于（当且仅当三点共线时取等号），此时，直线方程为，代入椭圆中化简可得，解得。当时，，即，此时，点到直线的距离，三角形的面积；当时，，即，此时，点
到直线的距离，故三角形的面积；故应填答案。
点睛：解答本题的关键是确定三角形面积最小时点的坐标，进而求出直线的方程，运用点到直线的距离公式确定三角形的高，最终求出三角形面积的值。本题求解时遇到的难点是联立直线与椭圆的方程解方程组时，得到两个交点的坐标，然后逐一求出三角形的面积，取出三角形面积最小的三角形的面积。
32．为椭圆：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，记动点的轨迹为，设点为椭圆短轴上一顶点，直线与交于，两点，则_______．
【答案】
点睛：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的对称性，属于中档题.
33．已知椭圆C的焦点（-2，0）、（2，0），且长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标
【答案】
【解析】分析：先由已知求出椭圆的标准方程，再由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．
详解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，
其中c=2，a=3，从而b=1
其标准方程为
联立方程组，消去y得
设A，B，则
中点，= ，所以
所以线段AB中点坐标为
点睛：本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映．
34．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率等于__________．
【答案】
【解析】分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及椭圆的简单性质
由，
我们将两式相减后得到AF1的长度，再根据椭圆的定义，即可找到a与c之间的数量关系，进而求出离心率e．
详解：,即A点的横坐标与左焦点相同
又∵A在椭圆上，，又，
故答案为
点睛：求椭圆的离心率，即是在找a与c之间的关系，我们只要根据已知中的其它条件，构造方程（组），或者进行转化，转化为一个关于e的方程，解方程（组），易得e值．
35．已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，
是抛物线上的动点，当取得最小值时，点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】分析：由题意可知与抛物线相切时，取得最小值，求出此时点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求解其离心率．
点睛：本题考查了抛物线的定义及几何性质的应用，以及椭圆的离心率的求解，其中根据抛物线的定义与几何性质，得到关于的方程组是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
36．已知中心是坐标原点的椭圆过点，且的一个焦点为，则的标准方程为__________．
【答案】.
【解析】分析：首先由椭圆的一个交点坐标，得到另一个焦点为，结合图像所过的一个点，结合椭圆的定义，利用两点间距离求得的值，即可求得，利用焦点坐标得，利用椭圆中的关系求得，从而求导椭圆的方程.
详解：根据题意有椭圆的另一个焦点是，则有，
所以，因为，所以，
从而得到椭圆的方程为.
点睛：该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，在解题的过程中，利用椭圆的定义求出椭圆上的点到两个焦点的距离，即的值，利用焦点的坐标，得到，利用的关系求得，最后求得椭圆方程.
37．过椭圆（）的左焦点 作x 轴的垂线交椭圆于P， 为右焦点，若,则椭圆的离心率为________
【答案】
【解析】分析：把代入椭圆方程得P点坐标，进而根据推断出，整理得出，进而求得椭圆的离心率e的大小.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，需要应用点在椭圆上的条件为点的坐标满足椭圆的方程，代入求得P点的坐标，根据角的大小，得到边之间的关系，从而建立关于a,c的等量关系式，从而将其转化为关于e的方程，求解即可注意其取值范围，做相应的取舍.
38．已知两定点和，动点在直线：上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为__________．
【答案】
【解析】分析：作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．
详解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，
∵P在直线l：y=x+2上移动， ∴2a=|PA|+|PB|．
过A作直线y=x+2的对称点C，
设C（m，n），则由，
解得，即有C（﹣2，1），
则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，
对应的离心率e有最大值．
故答案为：
点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质和点线对称问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的分析转化能力. (2)解答本题的关键是求a的最小值.本题求|PA|+|PB|的最小值，利用了对称的思想.求点P关于直线l的对称点时，直线l实际上是线段垂直平分线，根据垂直平分得到一个方程组，即可求出点的坐标.
39．直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】试题分析：由直线方程可得直线横过定点，当在椭圆内部时满足题意要求
所以当椭圆焦点在y轴时，满足在椭圆内部，当椭圆焦点在x轴时需满足
所以的取值范围为
考点：椭圆方程及性质
40．、是椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点使得则离心率范围__________．
【答案】.
【解析】分析：由椭圆定义可得，解得，由题意可得，解不等式求得离心率e的取值范围.
详解：设点P的横坐标为x，
，
则由椭圆定义可得，
，
由题意可得，
.
故答案为：.
点睛：椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0
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