备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题17 恒成立问题——数形结合法

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题17 恒成立问题——数形结合法

专题17 恒成立问题——数形结合法 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.‎ ‎1、函数的不等关系与图象特征：‎ ‎（1）若，均有的图象始终在的下方 ‎（2）若，均有的图象始终在的上方 ‎2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 ‎3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等 ‎4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）‎ ‎5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备 ‎6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：‎ ‎（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图 ‎（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义 ‎（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征 ‎【经典例题】‎ 例1．【2019届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的，存在实数，使 恒成立，则实数的最大值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】若对任意的， 恒成立，可得：‎ 恒成立，‎ 令，，‎ 原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：‎ 15‎ ‎(1)当时，，，‎ 原问题等价于存在实数满足：，‎ 故，解得：，则此时；‎ ‎(2)当时，，，‎ 原问题等价于存在实数满足：，‎ 原问题等价于存在实数满足：，‎ 故，解得：，则此时；‎ 当时，，‎ 原问题等价于存在实数满足：，‎ 故，解得：，则此时；‎ 综上可得：实数的最大值为.‎ 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：‎ ‎(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；‎ ‎(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ 例2.【2019届一轮训练】已知log (x＋y＋4)4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．‎ ‎【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎【解析】不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．‎ 令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.结合二次函数的图象得 ‎⇒‎ ‎⇒‎ 即x<－1或x>3.‎ 故答案为：(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ 例5.已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ 可得：，综上可得：.‎ ‎【名师点睛】（1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.‎ ‎（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的）.‎ ‎（3）处理好边界值是否能够取到的问题.‎ 例6.若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图象，‎ 15‎ 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图象进一步可得只需时，，即，所以 例7. 已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_____________‎ ‎【答案】‎ m+1‎ m ‎【名师点睛】本题也可以用最值法求解：若，则，而是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以，再解出的范围即可.‎ 例8.已知函数若直线与函数的图象只有一个交点,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】作出函数f(x)的图象如图,‎ 15‎ 例9.已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若，则实数的取值范围是_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是奇函数且在时是分段函数（以为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面的图象比较容易作出，另一方面可看作是的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找满足的条件.先将写为分段函数形式：，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对称作出负半轴图象.恒成立，意味着的图象向右平移一个单位后，其图象恒在的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度，所以可得： ‎ 15‎ 答案：.‎ 例10【2019届河南省高三4月考试】已知函数.‎ ‎（1）若在处取得极值，求的值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.‎ 试题解析：（1），‎ ‎∵在处取到极值，‎ ‎∴，即，∴.‎ 经检验，时，在处取到极小值.‎ ‎（2），令，‎ ‎①当时，，在上单调递减.‎ 又∵，∴时，，不满足在上恒成立.‎ 15‎ 时，，单调递增，∴.‎ 又∵，∴，故不满足题意.‎ ‎③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，‎ ‎，∴，在上单调递减.‎ 又∵，∴时，，故不满足题意.‎ 综上所述，.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C 15‎ ‎2.若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C 15‎ 则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；‎ 观察所给的函数图象可知，只有C选项符合题意.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】二次函数的对称轴为；∵该函数在上是增函数；∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.‎ ‎4. 若,不等式恒成立,则的取值范围是______‎ ‎【答案】或 ‎【解析】思路：本题中已知的范围求的范围，故构造函数时可看作关于的函数，恒成立不等式变形为 ,设,即关于的一次函数，由图象可得：无论直线方向如何，若要，只需在端点处函数值均大于0即可，即,解得：或 答案：或 ‎【名师点睛】（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数.‎ ‎（2）线段的图象特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧.‎ ‎（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧.‎ ‎5.设，若时均有，则_________‎ ‎【答案】‎ 15‎ 答案： ‎ ‎6.【2019届二轮训练】当实数x，y满足时，ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 要使平面区域在直线的下方，则只要在直线上或直线下方即可，即，得，综上，所以实数的取值范围是，故答案为.‎ 15‎ ‎7．【2019届二轮训练】已知函数f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝x＋1，g(x)＝＋，若a，b∈[－1,5]，且当x1，x2∈[a，b]时， ＞0恒成立，则b－a的最大值为________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】 且 恒成立， 在区间上单调第增， ∵函数 ‎ ‎ 当 时， ，单调减； 当 单调增； 当时， ，单调递增． 的最大值为． 故答案为5.‎ ‎8．【2019届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎9．【2019届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ 15‎ ‎【解析】当，‎ 当，‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎10．当时，不等式恒成立，则实数的最大值是__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】令，则由题意可知，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ ‎∴，从而．‎ 故实数的最大值是．‎ 故答案为：3.‎ 另法：的图象即函数的图象向右、向上均平移1单位得到，结合图象可得解.‎ ‎11．【2019届宁夏银川高三4月模拟】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出以下命题：‎ ‎①当时，；‎ ‎②函数有个零点；‎ ‎③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；‎ ‎④对恒成立，‎ 其中，正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①④‎ 15‎ 若方程有解，则，且对恒成立，故③错误，④正确.‎ 故答案为①④.‎ ‎12．函数的定义域为（为实数）.‎ ‎（1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若在定义域上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，‎ 15‎ ‎∵，∴函数在上单调减，‎ ‎∴时，函数取得最小值，即.‎ 15‎