数学理卷·2017届安徽省宣城市高三下学期第二次调研（模拟）考试（2017

数学理卷·2017届安徽省宣城市高三下学期第二次调研（模拟）考试（2017

宣城市2017届高三第二次调研测试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，其中为虚数单位，，是实数，则（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎2.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的办法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（ ）人 A．12 B．14 C．16 D．18 ‎ ‎4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（ ）‎ A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 ‎ ‎5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）‎ A．1007 B．3025 C．2017 D．3024 ‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）‎ A．96里 B．192里 C．48里 D．24里 ‎ ‎7.二项式的展开式中常数项为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐进线的距离，则该双曲线的焦距为（ ）‎ A． B．或 C．或 D．或 ‎ ‎9.设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．4 C． D． ‎ ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：①；②；③；④．其中为“好集合”的序号是（ ）‎ A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④ ‎ ‎12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.计算 ．‎ ‎14.已知向量，满足，，，则 ．‎ ‎15.在中，，，若最大边长为63，则最小边长为 ．‎ ‎16.已知是圆上一点，且不在坐标轴上，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知向量，，函数，函数在轴上的截距我，与轴最近的最高点的坐标是．‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求的最小值．‎ ‎18.如图1，在直角梯形中，，，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎19.某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3:2:1:1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2:1:3:1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．‎ ‎（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；‎ ‎（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎20.已知，是的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎21.如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）若，是直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍，求的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，不等式的解集是. ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围．‎ 宣城市2017届高三第二次调研测试数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.4 14. 15.25 16.8‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ），‎ 由，得，‎ 此时，，‎ 由，得或，‎ 当时，，经检验为最高点；‎ 当时，，经检验不是最高点．‎ 故函数的解析式为．‎ ‎（Ⅱ）函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象，‎ 所以（），（），‎ 因为，所以的最小值为．　‎ ‎18.解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而，故 ‎，‎ 取中点连接,则,又面面,‎ 面面,面,从而平面,‎ ‎∴,‎ 又,,‎ ‎∴平面，‎ ‎（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ 设为面的法向量，‎ 则即解得 令，可得，‎ 又为面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎19.解：（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）的所有可能取值为1,2,3,4．　‎ ‎；；；.‎ 分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎．‎ ‎20.解：（Ⅰ），，，‎ 当时，恒成立，无极值；‎ 当时，，即，‎ 由，得；由，得，‎ 所以当时，有极小值.‎ ‎（Ⅱ）令，则，注意到，‎ 令，则，且，得；，得，‎ ‎∴，即恒成立，故，‎ 当时，，，‎ 于是当时，，即成立.‎ 当时，由（）可得（）.‎ ‎，‎ 故当时，，‎ 于是当时，，不成立.‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎21.解：（Ⅰ）．‎ ‎，故．‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设：与轴的交点为，‎ 代入椭圆方程得，‎ 设，，则，，‎ 由，得，‎ 得，‎ ‎，得或．　‎ 或，所以过定点或，‎ 点为右端点，舍去，‎ ‎，‎ 令（），‎ ‎，，，‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ ‎，即，解得，，‎ ‎，‎ 所以的最大值为.‎ ‎22.解：（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，‎ 化为直角坐标方程为，即.‎ 直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为，‎ ‎∵圆心与点的距离为，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎（Ⅱ）由，可化为，‎ ‎∴圆的普通方程为.‎ ‎∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，‎ ‎∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，‎ ‎∴，解得或．‎ ‎23.解：（Ⅰ）由，得，即，‎ 当时，，所以解得；‎ 当时，，所以无解．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以要使存在实数解，只需，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围是．　‎