2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合,,则集合( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合，利用并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由一元二次方程的解法化简集合，‎ 或，‎ ‎ ，‎ 或，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.‎ ‎2．已知正弦函数f(x)的图像过点,则的值为(　　)‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合诱导公式有：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3．如图，正方形中,为的中点,若,则的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为E是DC的中点，所以，∴，‎ ‎∴，．‎ ‎【考点】平面向量的几何运算 ‎4．已知函数的定义域为,则函数的定义域为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题得，解之得，所以函数的定义域为.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的定义域的求法，考查具体函数的定义域的求法和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．设a是方程的解,则a在下列哪个区间内(　　)‎ A．(0,1) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，再分析得到即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得设 ‎，‎ 由零点定理得a∈(2,3).‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点和零点定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）‎ A．20 B．15 C．9 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，故.‎ ‎【考点】向量运算.‎ ‎7．已知函数,则下列结论错误的是( )‎ A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 ‎【答案】B ‎【解析】根据周期的公式得到故A正确；函数图像的对称轴为可判断B错误；零点为，可判断C正确；单调减区间为可得到D正确.‎ ‎【详解】‎ 函数，周期为：故A正确；函数图像的对称轴为 ‎，不是对称轴，故B不正确；函数的零点为，当k=1时，得到一个零点为；函数的单调递减区间为：，解得x的范围为，区间是其中的一个子区间，故D正确.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 函数（A>0,ω>0）的性质：（1）奇偶性： 时，函数为奇函数； 时，函数为偶函数;（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=;（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间;（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x;利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.‎ ‎8．函数y= 的单调递减区间是(　　)‎ A．(-∞,1) B．［1,+∞) C．(-∞,-1) D．(-1,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】令t＝-x2+2x﹣1，则y，故本题即求函数t的增区间，再结合二次函数的性质可得函数 t的增区间．‎ ‎【详解】‎ 令t＝-x2+2x﹣1，则y，故本题即求函数t的增区间，‎ 由二次函数的性质可得函数t的增区间为（-∞，1），‎ 所以函数的单调递减区间为(-∞,1).‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数和二次函数的单调性，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．若△ABC的外接圆的圆心为O,半径为4,,则 在方向上的投影为(　　)‎ A．4 B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】过作的垂线，垂足为，分析条件可得，作出图分析可得三角形ABC为等腰三角形，进而可得投影.‎ ‎【详解】‎ 过作的垂线，垂足为，‎ 由，可得.‎ 所以三点共线.‎ 因为O为外心，点M为BC的中点，所以三角形ABC为等腰三角形，AB=AC.‎ 且OM=OA-OM=3,OC=4.‎ 所以.‎ ‎ 在方向上的投影为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的基本运算及投影的定义，考查了学生数形结合的能力，属于基础题.‎ ‎10．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为(　　)‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，‎ 可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象如图,‎ 函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，‎ 不妨设四个交点横坐标满足，‎ 则，，,‎ 可得,‎ 由，得，‎ 则，可得，‎ 即，，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ ‎11．已知,且在区间有最大值,无最小值,则＝(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合题中所给函数的解析式可得：‎ 直线为的一条对称轴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴当k=1时,.‎ 本题选择C选项.‎ ‎12．已知函数,若,则恒成立时的范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用条件f（1）＜0，得到0＜a＜1．f（x）在R上单调递减，从而将f（x2+tx）＜f（x﹣4）转化为x2+tx＞x﹣4，研究二次函数得解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），‎ ‎∴f（x）是定义域为R的奇函数，‎ ‎∵f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，‎ ‎∴，又∵a＞0，且a≠1，‎ ‎∴0＜a＜1．‎ ‎∵ax单调递减，a﹣x单调递增，‎ ‎∴f（x）在R上单调递减．‎ 不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x2+tx）＜f（x﹣4），‎ ‎∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，‎ ‎∴△＝（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5．‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ‎13．函数的图象恒过定点,点在幂函数的图象上,则=____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为函数的图象恒过定点，则可之令2x-3=1,x=2,函数值为4，故过定点（2，4），然后根据且点在幂函数的图象上，设,故可知=9，故答案为9.‎ ‎【考点】对数函数 点评：本题考查了对数函数图象过定点（1，0），即令真数为1求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标．‎ ‎14．的解集为_____________________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得，解不等式得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以.‎ 所以不等式的解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正切函数的图像和性质，考查三角不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．已知单位向量 与的夹角为,向量 的夹角为 ,则cos=_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由向量的数量积计算公式可得•、||、||的值，结合向量夹角计算公式计算可 得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，单位向量，的夹角为，则•1×1×cos，‎ ‎32，3，‎ 则•（32）•（3）＝92+22﹣9•，‎ ‎||2＝（32）2＝92+42﹣12•7，则||，‎ ‎||2＝（3）2＝922﹣6•7，则||，‎ 故cosβ.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16．下列说法正确的序号是__________________.（写出所有正确的序号）‎ ‎①正切函数在定义域内是增函数；‎ ‎②已知函数的最小正周期为,将的图象向右平移个单位长度,所得图象关于轴对称,则的一个值可以是；‎ ‎③若,则三点共线；④函数的最小值为；‎ ‎⑤函数在上是增函数,则的取值范围是.‎ ‎【答案】③⑤‎ ‎【解析】对每一个命题逐一判断得解.‎ ‎【详解】‎ ‎①正切函数在内是增函数,所以该命题是错误的；‎ ‎②因为函数的最小正周期为,所以w=2,所以将的图象向右平移个单位长度得到 ‎,所得图象关于轴对称,所以，所以的一个值不可以是，所以该命题是错误的；‎ ‎③若,因为，所以三点共线，所以该命题是正确的；‎ ‎④函数=，所以sinx=-1时，y最小为-1，所以该命题是错误的;‎ ‎⑤函数在上是增函数,则,所以的取值范围是.所以该命题是正确的.‎ 故答案为：③⑤‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正切函数的单调性，考查正弦型函数的图像和性质，考查含sinx的二次型函数的最值的计算，考查对数型函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知角 的终边在第二象限,且与单位圆交于点．‎ ‎（1）求的值；（2）求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)先求出，再求出的值.(2)先利用诱导公式化简，再把tan的值代入求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得因为角 的终边在第二象限，所以 所以.‎ ‎(2)=.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的商数关系和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．已知向量 ‎（1）当时,求的值；（2）若为锐角,求的范围.‎ ‎【答案】（1）x或x＝﹣2；（2）x＞﹣2且x．‎ ‎【解析】（1）利用向量的数量积为零列出方程求解即可．（2）根据题意得•0且，不同向，‎ 列出不等式，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）2（1+2x，4），2（2﹣x，3），（2）⊥（2），‎ 可得（2x+1）（2﹣x）+3×4＝0．‎ 即﹣2x2+3x+14＝0． ‎ 解得：x或x＝﹣2．‎ ‎（2）若，为锐角，则•0且，不同向．‎ ‎•x+2＞0，∴x＞﹣2，当x时，，同向．‎ ‎∴x＞﹣2且x．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角为锐角的充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．已知函数 ‎（1）若函数图像关于直线对称,且，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时,求函数的值域.‎ ‎【答案】(1)w=1;(2) [0，].‎ ‎【解析】（1）求出函数的对称轴，求出求的值.（2）根据x的范围，利用三角函数的图像和性 质求出f（x）的范围得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵函数f（x）的图象关于直线对称，‎ ‎∴kπ，k∈Z，‎ ‎∴ω＝1k，k∈Z，‎ ‎∵ω∈（0，2]，‎ ‎∴ω＝1，‎ ‎（2）f（x）＝sin（2x），‎ ‎∵0≤x，‎ ‎∴2x，‎ ‎∴sin（2x）≤1，‎ ‎∴0≤f（x），‎ ‎∴函数f（x）的值域是[0，]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的单调性、值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）求函数的零点；‎ ‎（2）若函数的最小值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）要使函数有意义，则有 解之得函数的定义域； ‎ ‎（2）整理可得，则由复合函数的单调性可得的最小值为 ‎，由此可解得a的值．‎ 试题解析;；‎ ‎（1）要使函数有意义，则有 解之得， ‎ 所以函数的定义域为．‎ ‎（2） ‎ ‎ ．‎ ‎，， ‎ ‎．由，得，．‎ ‎21．函数=的部分图像如图所示.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）将的图像向右平移个单位,再将横坐标伸长为原来的倍,得到函数,若在上有两个解,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】（1）先求出w=π，再根据图像求出，再求函数的单调递减区间.(2)先求出=，再利用数形结合求a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得.‎ 所以 所以.‎ 令 所以函数的单调递减区间为.‎ ‎（2）将的图像向右平移个单位得到,再将横坐标 伸长为原来的倍,得到函数=,若在上有两个解,‎ 所以，所以所以 所以a的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数解析式的求法和单调区间的求法，考查三角函数的图像变换和三角方程的有解问题，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数,其中为奇函数,为偶函数,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（1，3）；（2） .‎ ‎【解析】（1）设t＝2x，利用f（x）＞16﹣9×2x，转化不等式为二次不等式，求解即可；‎ ‎（2）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合对勾函数的图象与性质求解函数的最值，推出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设t=2x，由f（x）＞16﹣9×2x得：t﹣t2＞16﹣9t，‎ 即t2﹣10t+16＜0 ‎ ‎∴2＜t＜8，即2＜2x＜8，∴1＜x＜3‎ ‎∴不等式的解集为（1，3）．‎ ‎（2） 由题意得 解得. ‎ ‎2ag（x）+h（2x）≥0，即，对任意x∈[1，2]恒成立，‎ 又x∈[1，2]时，令，‎ 在上单调递增，‎ 当时，有最大值，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的综合应用，二次函数的性质，对勾函数的图像与性质以及函数恒成立的转化，考查计算能力．‎