2011年高考数学人教版湖南卷

2011年高考数学人教版湖南卷

‎2011年数学人教版湖南卷 一、选择题 ‎1、（湖南文7）曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎3、（湖南理6）由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B．‎1 C． D．‎ ‎4、（湖南理8）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5、（湖南理2）设集合则 “”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 ‎ D．既不充分又不必要条件 二、填空题 ‎6、（湖南文12）已知为奇函数， ．‎ 三、解答题 ‎7、（湖南文22）设函数 ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎8、（湖南理20）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。‎ ‎9、（湖南理22） 已知函数() =，g ()=+。‎ ‎ （Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .‎ 四、选择题 ‎10、湖南文6．设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ 五、填空题 ‎11、已知圆直线 ‎（1）圆的圆心到直线的距离为 ．‎ ‎(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．‎ ‎12、湖南理9.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。 ‎ ‎13、在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为则与的交点个数为 ．‎ 六、解答题 ‎14、(本小题满分13分）‎ 如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长。‎ ‎（Ⅰ）求，的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.‎ ‎（i）证明：；‎ ‎(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。‎ ‎15、已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．‎ 七、选择题 ‎16、（湖南理3）设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为‎ 3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎17、（湖南理5）设双曲线的渐近线方程为，则的值为 ‎ A．4 B．‎3 ‎ C．2 D．1‎ 八、解答题 ‎18、（湖南理21） ‎ 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。‎ ‎（Ⅰ）求C1，C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．‎ ‎（i）证明：MD⊥ME;‎ ‎（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。‎ ‎19、（湖南理19） ‎ 如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面;‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值。‎ 九、填空题 ‎20、（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入，,‎ 则输出的数等于 。‎ ‎21、若执行如图2所示的框图，输入则输出的数等于 ．‎ ‎22、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。‎ 十、选择题 ‎23、湖南文5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ ‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由 算得，‎ 附表： ‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是 ‎ A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”‎ ‎24、（湖南理4）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得，．‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是 ‎ ‎ A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ 十一、填空题 ‎25、湖南文15．已知圆直线 ‎ （1）圆的圆心到直线的距离为 ．‎ ‎ （2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率 为 ．‎ 十二、解答题 ‎26、湖南文18．（本小题满分12分）‎ 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.‎ ‎ （Ⅰ）完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎ （Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．‎ 十三、选择题 ‎27、湖南文5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由 附表：‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是（ ）‎ A． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ 十四、填空题 ‎28、件数分别是10，6，8，5，6，则该组数 ‎ ‎29、的展开式中含的项的系数为__________。（结果用数值表示）湖南理 ‎30、如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则 ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎31、对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则 ‎（1） （2）‎ ‎32、（湖南理15）如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事 件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则 ‎（1）P（A）= _____________; （2）P（B|A）= ． ‎ ‎33、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，‎ ‎（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；‎ ‎（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。‎ ‎34、江苏从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______‎ ‎35、.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差.‎ 十五、解答题 ‎36、（湖南理18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；‎ ‎（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。‎ ‎37、（本题满分12分）‎ 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．‎ ‎（I）完成如下的频率分布表：‎ ‎ 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．‎ ‎38、附加：23．（本小题满分10分）‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，．‎ ‎（1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求．‎ ‎39、某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；‎ ‎（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。‎ ‎40、湖南理18．（本小题满分12分）‎ 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；‎ ‎（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。‎ ‎41、湖南理15．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则 ‎（1）P（A）= _____________; （2）P（B|A）= ． ‎ ‎42、湖南理4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得，．‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是 ‎ A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎43、（湖南理17）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。‎ ‎44、已知函数() =，g ()=+。‎ ‎ （Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .‎ ‎45、如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。‎ ‎46、设函数 ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎47、如图6，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出y的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B ‎【解析】，所以 ‎。‎ ‎2、B ‎【解析】由题可知，，若有则，即，解得。‎ ‎3、D ‎【解析】由定积分知识可得，故选D。‎ ‎4、D ‎【解析】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。即。‎ ‎5、A 二、填空题 ‎6、6‎ ‎【解析】，又为奇函数，所以 ‎。‎ 三、解答题 ‎7、解析：（I）的定义域为 ‎ ‎ 令 当故上单调递增．‎ 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．‎ 当的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由（I）知，．‎ 因为，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即 ‎[来源: ]‎ 再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 ‎8、解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，‎ 故.‎ ‎（II）由(I)知，当时，‎ 当时，‎ 故。‎ ‎(1)当时，是关于的减函数.故当时，。‎ ‎(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。‎ ‎9、解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；‎ 所以，‎ 当时，单调递减，而，则在内无零点；‎ 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；‎ 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。‎ 解法2：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ ‎（II）记的正零点为，即。‎ ‎（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：[来源: ]‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.‎ 四、选择题 ‎10、C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。‎ 五、填空题 ‎11、5，解析：（1）由点到直线的距离公式可得；‎ ‎（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为 ‎.‎ ‎12、2‎ 解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.‎ ‎13、2‎ 解析：曲线，曲线，联立方程消得，易得，故有2个交点。‎ 六、解答题 ‎14、解析：（I）由题意知，从而，又，解得。‎ 故的方程分别为。‎ ‎（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.‎ 由得，‎ 设，则是上述方程的两个实根，于是。‎ 又点的坐标为，所以 故，即。‎ ‎（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为,又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.于是 由得，解得或，‎ 则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标为 于是 因此 由题意知，解得 或。‎ 又由点的坐标可知，，所以 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。‎ ‎15、（I）设动点的坐标为，由题意为 化简得当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ‎ ‎．‎ 因为，所以的斜率为．设则同理可得：‎ ‎ 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ 七、选择题 ‎16、B ‎17、C 八、解答题 ‎18、解 ：（Ⅰ）由题意知 故C1，C2的方程分别为 ‎（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.‎ 由得 ‎.‎ 设是上述方程的两个实根，于是 又点M的坐标为（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME.‎ ‎（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得 则点A的坐标为.‎ 又直线MB的斜率为，‎ 同理可得点B的坐标为 于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为 于是.‎ 因此 由题意知，‎ 又由点A、B的坐标可知，‎ 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为 ‎19、解法1：连结OC，因为 又底面⊙O，AC底面⊙O，所以，‎ 因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以平面POD，‎ 而平面PAC，所以平面POD平面PAC。‎ ‎（II）在平面POD中，过O作于H，由（I）知，平面 所以平面PAC，又面PAC，所以 在平面PAO中，过O作于G，‎ ‎ 连接HG，‎ 则有平面OGH，‎ 从而，故为二面角B—PA—C的平面角。‎ 在 在 在 在 所以 故二面角B—PA—C的余弦值为 解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 ‎，‎ 设是平面POD的一个法向量，‎ 则由，得 所以 设是平面PAC的一个法向量，‎ 则由，‎ 得 所以 得。‎ 因为 所以从而平面平面PAC。‎ ‎（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为 由（I）知，平面PAC的一个法向量为 设向量的夹角为，则 由图可知，二面角B—PA—C的平面角与相等，‎ 所以二面角B—PA—C的余弦值为 九、填空题 ‎20、‎ ‎21、答案：‎ 解析：由框图功能可知，输出的数等于 ‎。‎ ‎22、答案：‎ 解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则 十、选择题 ‎23、A ‎24、C 十一、填空题 ‎25、（1）5（2）‎ 十二、解答题 ‎26、（本题满分12分）‎ 解：（I）在所给数据中，降雨量为‎110毫米的有3个，为‎160毫米的有7个，为‎200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎ （II）P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）‎ ‎ ‎ 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．‎ 十三、选择题 ‎27、答案：A 解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选A.‎ 十四、填空题 ‎28、答案：40或60（只填一个也正确）‎ 解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：‎ ‎，，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。‎ ‎29、17‎ ‎30、（1）；‎ ‎（2）‎ 解析：（1）由几何概型概率计算公式可得；‎ ‎（2）由条件概率的计算公式可得 ‎31、（1）2；（2）‎ 解析：（1）因，故；‎ ‎（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有 个，……有个0的有个，……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：‎ ‎。‎ 又恰为2进制的最大7位数，所以。‎ ‎32、（1）‎ ‎33、（1），（2）16‎ 解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。‎ ‎（2）由题可知，则，而时，即，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。‎ ‎34、答案：‎ 解析：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种. 其中符合条件的有2种,所以概率为.也可以由得到.‎ 本题主要考查随机事件与概率,古典概型的概率计算，互斥事件及其发生的概率.容易题.‎ ‎35、答案：.‎ 解析：五个数的平均数是7,方差为 还可以先把这组数都减去6再求方差，.‎ 本题主要考查总体分布的估计,总体特征数的估计,平均数方差的计算，考查数据处理能力,容易题.‎ 十五、解答题 ‎36、解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1‎ 件”）‎ ‎（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.‎ ‎ （“当天商品销售量为1件”）‎ ‎ （“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）‎ ‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎ 的数学期望为 ‎37、解：（I）在所给数据中，降雨量为‎110毫米的有3个，为‎160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎（II）‎ 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．‎ ‎38、解：（1）点P的坐标满足条件：‎ ‎ （2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点P的个数，只要讨论的情形，由知 ‎ 设 ‎ 所以 ‎ 将代入上式，化简得 ‎ 所以 ‎39、解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=。‎ ‎（II）由题意知，的可能取值为2，3.‎ ‎；‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为。‎ ‎40、解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）‎ ‎（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.‎ ‎ （“当天商品销售量为1件”）‎ ‎ （“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）‎ ‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎ 的数学期望为 ‎41、（1）‎ ‎42、C ‎43、解析：（I）由正弦定理得 因为所以 ‎（II）由（I）知于是 取最大值2．‎ 综上所述，的最大值为2，此时 ‎44、解析：（I）由知，，而，且 ‎，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；‎ 所以，‎ 当时，单调递减，而，则在内无零点；‎ 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；‎ 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。‎ 解法2：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ ‎（II）记的正零点为，即。‎ ‎（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即 ‎。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.‎ ‎45、解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，‎ 故.‎ ‎（II）由(I)知，当时，‎ 当时，‎ 故。‎ ‎(1)当时，是关于的减函数.故当时，。‎ ‎(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。‎ ‎46、解析：（I）的定义域为 ‎ ‎ 令 ‎(1) 当故上单调递增．‎ ‎(2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．‎ ‎(3) 当的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由（I）知，．‎ 因为，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即 再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 ‎47、解：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，‎ 故，‎ ‎（II）由（I）知 当时，‎ 当 故 ‎（1）当时，y是关于v的减函数，‎ 故当 ‎（2）当时，在上，y是关于v的减函数，‎ 在上，y是关于v的增函数，‎ 故当