八年级浅谈高考数学之圆锥曲线与方程

八年级浅谈高考数学之圆锥曲线与方程

n 掌握NE5000E/80E/40E产品的体系结构 n 掌握NE5000E/80E/40E的单板构成 n 掌握NE5000E/80E/40E换板操作 n 了解NE5000E/80E/40E升级操作 浅谈高考数学之《圆锥曲线与方程》‎ 嘉兴市秀州中学 屠新跃 一、课程标准中的圆锥曲线与方程 ‎1. 圆锥曲线 ‎（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ‎（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质 ‎（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质 ‎（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题 ‎（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想 ‎2. 曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想 二、2009年各地高考（理科）中的圆锥曲线与方程 卷别 题号 题型 主要考查的知识点 全国卷Ⅰ ‎4‎ 选择题 双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系 ‎12‎ 选择题 椭圆的几何性质及向量 ‎21‎ 解答题 抛物线与圆的关系及导数的应用 全国卷Ⅱ ‎9‎ 选择题 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系 ‎11‎ 选择题 双曲线的几何性质 ‎21‎ 解答题 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量 北京卷 ‎8‎ 选择题 直线与抛物线的位置关系 ‎12‎ 填空题 椭圆的定义及解三角形 ‎19‎ 解答题 双曲线的定义、性质，与直线的位置关系及圆的切线 天津卷 ‎9‎ 选择题 抛物线的定义、几何性质 ‎21‎ 解答题 椭圆的方程、几何性质，直线的方程、圆的方程 重庆卷 ‎15‎ 填空题 双曲线的几何性质及解三角形 ‎20‎ 解答题 椭圆几何性质、直线与椭圆、轨迹方程及向量、不等式 浙江卷 ‎9‎ 选择题 双曲线的几何性质及向量 ‎21‎ 解答题 椭圆的方程、直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系 福建卷 ‎13‎ 填空题 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系 ‎19‎ 解答题 直线、圆、椭圆、直线与椭圆的位置关系 安徽卷 ‎3‎ 选择题 双曲线的几何性质 ‎20‎ 解答题 直线与椭圆的位置关系及数列 辽宁卷 ‎16‎ 填空题 双曲线的几何性质 ‎20‎ 解答题 椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系 江苏卷 ‎13‎ 填空题 直线方程、椭圆方程及其几何性质 ‎22‎ 解答题 直线、抛物线方程、直线与抛物线关系、两点距离公式 山东卷 ‎9‎ 选择题 双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系 ‎22‎ 解答题 椭圆方程、直线与圆、直线与椭圆及函数与不等式 广东卷 ‎11‎ 填空题 椭圆的定义、方程、几何性质 ‎19‎ 解答题 直线与抛物线、直线与圆 宁夏、‎ 海南卷 ‎4‎ 选择题 双曲线的几何性质、点到直线距离公式 ‎13‎ 填空题 直线与抛物线的位置关系 ‎20‎ 解答题 椭圆的方程、性质、求轨迹方程 湖南卷 ‎12‎ 填空题 双曲线的几何性质 ‎20‎ 解答题 求轨迹方程、直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系 湖北卷 ‎7‎ 选择题 双曲线与椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系 ‎20‎ 解答题 抛物线的定义和几何性质、直线与抛物线的位置关系 四川卷 ‎7‎ 选择题 双曲线的几何性质及向量 ‎9‎ 选择题 抛物线的定义与几何性质 ‎20‎ 解答题 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系 江西卷 ‎6‎ 选择题 椭圆的定义及解直角三角形 ‎21‎ 解答题 直线方程、圆方程、求轨迹方程 陕西卷 ‎7‎ 选择题 椭圆的方程与几何性质 ‎21‎ 解答题 双曲线的方程与几何性质及函数 上海卷 ‎9‎ 填空题 椭圆的定义、方程及向量 ‎21‎ 解答题 双曲线的几何性质、直线方程及两平行线间的距离 纵观2009年全国十九份各省、市的数学高考试题，对圆锥曲线与方程的考查，题量以一个填空或选择题，再加一个解答题（即1小1大）的有十六份，而2小1大的只有全国卷Ⅰ、Ⅱ和北京卷三份。‎ 考查的内容主要是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、图形及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系（主要是相交和相切），或与向量、三角、函数、不等式等的结合，及求动点轨迹（方程）等。‎ 从解题方法上看，小题（选择题、填空题）侧重于几何法，以形助数；大题（解答题）则重点考查坐标法，用方程来解决，以数助形；两者“相得益彰”，也使得课标中指出的“体会数形结合的思想”得到了很好的体现。‎ 而小题与大题对内容的考查又是相互补充，即大题若是椭圆的问题，则小题必是双曲线或抛物线的问题了。‎ 三、浙江省考试说明（理科）中的圆锥曲线与方程 ‎（一）2010年考试说明中的圆锥曲线与方程 ‎1. 圆锥曲线 ‎（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ‎（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 ‎（3）了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质 ‎（4）能解决直线与的椭圆、抛物线位置关系等问题 ‎（5）理解数形结合的思想 ‎（6）了解圆锥曲线的简单应用 ‎2. 曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 ‎（二）与2009年考试说明的比较 ‎1. 对圆锥曲线与方程的内容，2009、2010这两年考试说明的条目数量没有变化，其中圆锥曲线（1）（2）（5）（6）与曲线与方程的要求完全相同。‎ ‎2. 在2009年考试说明中的（3）、（4）两条是这样的：‎ ‎（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ‎（4）能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题 对照2010年考试说明可以发现：（3）中改变为“…，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质”，将去年的“了解”、“知道”，提升到今年的“掌握”、“理解”，可谓意味深远。而对于（4），把去年考试说明“坐标法”三个字删掉了。‎ ‎3. 由以上分析，可以推测：双曲线的考查要求较去年会有提高，要适当加深此内容的复习，当然不大可能出现在大题，应还是会在小题中，但难度定会加大，极有可能作为选择或填空题中的压轴题；至于没有了“坐标法”这三个字，不应理解为要丢掉坐标法这个解析几何的“灵魂”，而是要兼顾几何图形、几何性质、几何直观及平面几何等的知识。‎ 四、部分试题分析 （一） 双曲线部分 例1. (2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为，则双曲线C的离心率为 ‎ 解：虚轴的一个端点、一个焦点及原点组成直角三角形，且一个内角是，两直角边分别是，得，，所以，离心率 例2.（2009辽宁卷理）已知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ‎ 解：右焦点为，由定义得，而，‎ 两式相加得，当且仅当三点共线时取到最小值为 点评：前两题考查的是双曲线的定义与离心率，但主要借助平面几何的知识 例3.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于( C )‎ ‎（A） （B）2 （C） （D） ‎ 解法1：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 得: ‎ 解法2：双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y得有唯一解,△=,,‎ 点评：通过双曲线渐近线和离心率，考查直线与抛物线相切的情形，可用两种常规方法解决 （一） 椭圆、抛物线 例4：（2009浙江卷理）已知椭圆的右顶点为A（1,0），过的焦点且垂直长轴的弦长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；（解略：椭圆：）．‎ ‎（Ⅱ）设点P在抛物线上，在点P处的 切线与交于点M，N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值．‎ 不妨换个角度思考（Ⅱ）‎ 由于，设， 显然，点P处切线的斜率， P处切线方程：，线段AP中点的横坐标是，问题转化为探求与的关系．‎ 设点，，则，由已知．M、N既在椭圆上，又在点P处的切线上，得：①，②， ③，④；将②－①，得， ，，这就要求式子与、的关系；③+④得：，再代入上式得：‎ ‎，求这个函数的值域，先要求的取值范围，即寻求关于的一个不等量关系．根据MN的中点E必须在椭圆内，由上得E，则E点满足：，代入得：， ，设，则，由得，又因为， 求得，则，所以的最小值为．‎ 点评：处理解析几何题，只有在“计算”上的功夫还不够。而要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点，要随时调用函数、不等式等的知识。‎ 例5. （2009广东卷理）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．‎ ‎（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； ‎ ‎（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．‎ 解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴，可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.‎xA xB D ‎（2）曲线，‎ 即圆：，其圆心坐标为 ‎，半径，由图可知，当时，‎ 曲线与点有公共点；‎ 当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心 到直线的距离，得，则的最小值为.‎ 点评：解析几何的第一要义是用方程讨论曲线。另一方面，要充分利用图形已知的几何特征与性质，适度加强几何直观。才是合理运用“数形结合”思想的本质。‎