数学卷·2018届江西省吉安一中高二上学期第二次段考数学试卷（理科）+（解析版）

数学卷·2018届江西省吉安一中高二上学期第二次段考数学试卷（理科）+（解析版）

‎2016-2017学年江西省吉安一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．经过两点A（4，2y+1）B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则||等于（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．‎ ‎2．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．设a＞0，b＞0，则“x＞a且y＞b”是“x+y＞a+b，且xy＞ab”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎5．设α、β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥β C．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α D．若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n ‎6．已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||=||，且cos＜，＞=cos＜，＞，则sin＜，＞的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：函数y=（2a﹣1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，]∪（，+∞） B．（﹣∞，] C．（，+∞） D．（，]‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．46 B．52﹣π C．52+3π D．46+2π ‎9．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）‎ A．4π B． C．6π D．‎ ‎10．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　．‎ ‎14．若数列{an}满足an=（n∈N*，n≥3），a1=2，a5=，则a2016等于　　．‎ ‎15．若曲线x2+y2=5与曲线x2+y2﹣2mx+m2﹣20=0（m∈R）相交于A，B两点，且两曲线A处的切线互相垂直，则m的值是　　．‎ ‎16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①当0＜CQ＜时，S为四边形 ‎②当CQ=时，S为等腰梯形 ‎③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=‎ ‎④当＜CQ＜1时，S为六边形 ‎⑤当CQ=1时，S的面积为．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知△ABC的三边所在直线方程分别为AB：4x﹣3y+10=0，BC：y﹣2=0，CA：3x﹣4y﹣5=0．‎ ‎（1）求∠A的正切值的大小；‎ ‎（2）求△ABC的重心坐标．‎ ‎18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；‎ ‎（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．‎ ‎19．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N*）．‎ ‎（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；‎ ‎（2）记数列{f（n）}的前n项和为Sn，若Sn＞λn对任意正整数n恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎20．已知直线l：y+2=0和圆C：x2+y2﹣2y=0，动圆M与l相切，而且与C内切．求当M的圆心距直线g：x﹣y﹣2=0最近时，M的方程．‎ ‎21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．‎ ‎（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．‎ ‎22．已知动圆过点M（2，0），且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）问：x轴上是否存在一定点P，使得对于曲线C上的任意两点A和B，当=λ（λ∈R）时，恒有△PAM与△PBM的面积之比等于？若存在，则求P点的坐标，否则说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省吉安一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．经过两点A（4，2y+1）B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则||等于（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．‎ ‎【考点】两点间距离公式的应用；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由斜率公式求出y，从而求出A点，由此能求出||的值．‎ ‎【解答】解：∵经过两点A（4，2y+1）B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，‎ ‎∴tan=，解得y=﹣3，‎ ‎∴A（4，﹣5），‎ ‎∴||==2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，‎ ‎∵MF1与x轴垂直，‎ ‎∴（2a+x）2=x2+4c2，‎ ‎∴x=‎ ‎∵sin∠MF2F1=，‎ ‎∴3x=2a+x，‎ ‎∴x=a，‎ ‎∴=a，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设a＞0，b＞0，则“x＞a且y＞b”是“x+y＞a+b，且xy＞ab”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由a＞0，b＞0，x＞a且y＞b，可得：x+y＞a+b，且xy＞ab．反之不成立，例如x＞b，y＞a．‎ ‎【解答】解：由a＞0，b＞0，x＞a且y＞b，可得：x+y＞a+b，且xy＞ab．反之不成立，例如x＞b，y＞a．‎ 因此“x＞a且y＞b”是“x+y＞a+b，且xy＞ab”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设α、β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥β C．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α D．若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】对4个选项，分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β或α∥β，故不正确；‎ 若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故不正确；‎ 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α，不正确，缺少条件m⊂β，故不正确；‎ 若α∩β=n，m∥α，m∥β，根据线面平行的判定与性质，可得m∥n，正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||=||，且cos＜，＞=cos＜，＞，则sin＜，＞的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】根据cos＜，＞=cos＜，＞和||=||可得•=•．故而•=•（）=0，得出．‎ ‎【解答】解：∵cos＜，＞=cos＜，＞，∴‎ ‎=，‎ ‎∵||=||，∴ •=•，∴ •=•（）=0，∴．‎ ‎∴sin＜，＞=sin=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：函数y=（2a﹣1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，]∪（，+∞） B．（﹣∞，] C．（，+∞） D．（，]‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系先求出“p且q”为真命题的范围即可求“p且q”为假命题的范围．‎ ‎【解答】解：若函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，‎ 则对称轴x=≤1，即a≤，即p：a≤，‎ 若函数y=（2a﹣1）x为减函数，‎ 则 0＜2a﹣1＜1，得＜a＜1，即q：＜a＜1，‎ 若“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，‎ 则，即＜a≤，‎ 则若“p且q”为假命题，‎ 则a≤或a＞，‎ 故选：A ‎　‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．46 B．52﹣π C．52+3π D．46+2π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体为长方体中挖去一个半圆柱．共含有1个曲面和7个平面．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为一个长方体挖去一个半圆柱，长方体的长宽高分别是4，3，2．半圆柱的底面半径为1．‎ ‎∴几何体的前后面面积为2×（2×4﹣）=16﹣π，几何体的左右面面积为2×3×2=12．‎ 几何体的底面积为3×4=12．几何体的上表面面积为2×3×1+π×1×3=6+3π．‎ ‎∴几何体的表面积S=16﹣π+12+12+6+3π=46+2π．‎ 故先D．‎ ‎　‎ ‎9．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）‎ A．4π B． C．6π D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，‎ ‎∴AC=10．‎ 故三角形ABC的内切圆半径r==2，‎ 又由AA1=3，‎ 故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，‎ 此时V的最大值=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎【考点】圆锥曲线的轨迹问题．‎ ‎【分析】根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求．‎ ‎【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．‎ 此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，‎ 再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．‎ 故可知动点P的轨迹是椭圆．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，‎ ‎|DE|=2，|DN|=，|ON|=，‎ xA==，‎ ‎|OD|=|OA|，‎ ‎=+5，‎ 解得：p=4．‎ C的焦点到准线的距离为：4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，‎ 可得P（﹣c，±），‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，‎ 即为=，‎ 化简可得=，即为a=3c，‎ 可得e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，‎ 由得D（1，），‎ 所以z=x+y的最大值为1+；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若数列{an}满足an=（n∈N*，n≥3），a1=2，a5=，则a2016等于　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由题意求出数列的周期，得到a2016=a6，从而求出答案．‎ ‎【解答】解：an=（n∈N*，n≥3），‎ ‎∴a3=，即=，‎ ‎∴a4==‎ ‎∴a5=，即a3==，‎ ‎∴a2=3，‎ ‎∴a6==，‎ ‎∴a7==2，a8=3，‎ 故周期是6，2016÷6=336，‎ ‎∴a2016=a6=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．若曲线x2+y2=5与曲线x2+y2﹣2mx+m2﹣20=0（m∈R）相交于A，B两点，且两曲线A处的切线互相垂直，则m的值是　±5　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时应该过对方的圆心，O1A⊥AO2，由勾股定理可得m的值．‎ ‎【解答】解：由题知圆O1（0，0），O2（m，0），‎ x2+y2﹣2mx+m2﹣20=0即为（x﹣m）2+y2=20，‎ 半径分别为，2，‎ 根据两圆相交，‎ 可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，‎ 即＜|m|＜3，‎ 又O1A⊥O2A，所以有 m2=（）2+（2）2=25，‎ ‎∴m=±5．‎ 故答案为：±5．‎ ‎　‎ ‎16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　①②③⑤　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①当0＜CQ＜时，S为四边形 ‎②当CQ=时，S为等腰梯形 ‎③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=‎ ‎④当＜CQ＜1时，S为六边形 ‎⑤当CQ=1时，S的面积为．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．‎ ‎【解答】解：如图 当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，‎ 故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；‎ 由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，‎ 即可得截面为四边形APQM，故①正确；‎ ‎③当CQ=时，如图，‎ 延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，‎ 可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；‎ ‎④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；‎ ‎⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，‎ 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．‎ 故答案为：①②③⑤．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知△ABC的三边所在直线方程分别为AB：4x﹣3y+10=0，BC：y﹣2=0，CA：3x﹣4y﹣5=0．‎ ‎（1）求∠A的正切值的大小；‎ ‎（2）求△ABC的重心坐标．‎ ‎【考点】两直线的夹角与到角问题．‎ ‎【分析】（1）利用两条直线的夹角公式，求得∠A的正切值的大小．‎ ‎（2）先联立方程组求得三个顶点的坐标，再利用三角形的重心坐标公式，求得△ABC的重心坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC的三边所在直线方程分别为AB：4x﹣3y+10=0，BC：y﹣2=0，CA：3x﹣4y﹣5=0，‎ ‎∴tan∠A=||=||=．‎ ‎（2）联立直线BC与AC的方程：，解得，∴C（，2）．‎ 同理求得A（﹣，﹣）、B（﹣1，2），‎ ‎△ABC的重心为G，则由三角形重心坐标共式可得xG==﹣，yG==﹣，‎ ‎∴△ABC的重心坐标是．‎ ‎　‎ ‎18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；‎ ‎（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．‎ ‎（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，‎ ‎∴EF∥AC，且EF⊥BD，‎ 将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，‎ 则D′H⊥EF，‎ ‎∵EF∥AC，‎ ‎∴AC⊥HD′；‎ ‎（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，‎ ‎∵AE=，AD=AB=5，‎ ‎∴DE=5﹣=，‎ ‎∵EF∥AC，‎ ‎∴====，‎ ‎∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4﹣3=1，‎ ‎∵HD′=DH=3，OD′=2，‎ ‎∴满足HD′2=OD′2+OH2，‎ 则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，‎ 即OD′⊥底面ABCD，‎ 即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．‎ 底面五边形的面积S=+=+=12+=，‎ 则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=S•OD′=××2=．‎ ‎　‎ ‎19．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N*）．‎ ‎（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；‎ ‎（2）记数列{f（n）}的前n项和为Sn，若Sn＞λn对任意正整数n恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；简单线性规划．‎ ‎【分析】（1）f（1）=3，f（2）=6．当x=﹣1时，y取值为﹣1，﹣2，…，﹣2n，当x=﹣2时，y取值为﹣1，﹣2，…，﹣n，即可得出格点的个数．‎ ‎（2）由等差数列的前n项和公式可得：Sn=，Sn＞λn对任意正整数n恒成立，化为λ＜，利用数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）f（1）=3，f（2）=6．‎ 当x=﹣1时，y取值为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣2n，共有2n个格点．‎ 当x=﹣2时，y取值为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n，共有n个格点．‎ ‎∴f（n）=n+2n=3n．‎ ‎（2）由（1）可得：Sn=，‎ ‎∵Sn＞λn对任意正整数n恒成立，‎ ‎∴＞λn，化为λ＜，‎ ‎∴λ＜3．‎ ‎　‎ ‎20．已知直线l：y+2=0和圆C：x2+y2﹣2y=0，动圆M与l相切，而且与C内切．求当M的圆心距直线g：x﹣y﹣2=0最近时，M的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设圆M的圆心为M（x0，y0），半径为r，由题目条件可以求出圆心M的轨迹．根据当M的圆心距直线g：x﹣y﹣2=0最近的条件，利用圆心距和二次函数的性质即可求出M的方程．‎ ‎【解答】解：设圆M的圆心为M（x0，y0），半径为r，‎ 则依题意有…‎ 即：，‎ 也即：…‎ 设M（x0，y0）到直线g的距离为d，‎ 则…‎ 即…‎ 当且仅当x0=2时，d最小，‎ 此时由r=|y0+2|得r=3…‎ ‎∴所求圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=9…‎ ‎　‎ ‎21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．‎ ‎（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在RT△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．‎ ‎（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），利用，夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，‎ 因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，‎ 所以OE⊥平面BB1C1C，‎ 又AO==1，AA1=，‎ 得OE===，‎ 则AE==‎ ‎（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）‎ 由，得点E得坐标是（），‎ 设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得 令y=1，得x=2，z=﹣1，所以=（2，1，﹣1），‎ 所以cos＜，＞==‎ 即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知动圆过点M（2，0），且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）问：x轴上是否存在一定点P，使得对于曲线C上的任意两点A和B，当=λ（λ∈R）时，恒有△PAM与△PBM的面积之比等于？若存在，则求P点的坐标，否则说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设动圆圆心的坐标为C（x，y），由题意可得：22+|x|2=（x﹣2）2+y2，化简整理即可得出．‎ ‎（2）设P（a，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由=λ（λ∈R），可知：M，A，B三点共线，设直线AB的方程为：x=my+2，代入抛物线方程可得：y2﹣4my﹣8=0..由△PAM与△PBM的面积之比等于，可得：PM平分∠APB，因此直线PA，PB的倾斜角互补，即kPA+kPB ‎=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系化简即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为C（x，y），由题意可得：22+|x|2=（x﹣2）2+y2，化为：y2=4x．‎ ‎∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x．‎ ‎（2）设P（a，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由=λ（λ∈R），可知：M，A，B三点共线．‎ 设直线AB的方程为：x=my+2，代入抛物线方程可得：y2﹣4my﹣8=0．‎ ‎∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣8．由△PAM与△PBM的面积之比等于，可得：PM平分∠APB，‎ 因此直线PA，PB的倾斜角互补，‎ ‎∴kPA+kPB=0，∴ +=0，‎ 把x1=my1+2，x2=my2+2代入可得： =0，‎ ‎∴﹣16m+（2﹣a）×4m=0，化为：m（a+2）=0，由于对于任意m都成立，∴a=﹣2．‎ 故存在定点（﹣2，0），满足条件．‎ ‎　‎ ‎2017年2月6日