高考数学复习压轴解答题强化训练(一)

高考数学复习压轴解答题强化训练(一)

‎ ‎ 压轴解答题强化训练(一)‎ 解析几何 ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎1.(2014·广州模拟)如图,已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),双曲线-=1的两条渐近线为l1,l2.过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于点P,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B.‎ ‎(1)若l1与l2的夹角为60°,且双曲线的焦距为4.求椭圆C的方程.‎ ‎(2)求的最大值.‎ ‎【解析】(1)因为双曲线方程为-=1.‎ 所以双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 因为两渐近线的夹角为60°且<1,‎ 所以∠POF=30°.‎ 所以=tan30°=.‎ 所以a=b.‎ 因为c=2,所以a2+b2=22,‎ 所以a=,b=1.‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)因为l⊥l1,所以直线l的方程为y=(x-c),其中c=.‎ 因为直线l2的方程为y=x,‎ 联立直线l与l2的方程解得点P.‎ 设=λ,=λ.‎ 因为点F(c,0),设点A(x0,y0),‎ 则有(x0-c,y0)=λ.‎ 解得x0=,y0=.‎ 因为点A(x0,y0)在椭圆+=1上,‎ 所以+=1.‎ 即(c2+λa2)2+λ‎2a4=(1+λ)‎2a2c2.‎ 等式两边同除以a4得(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2,e∈(0,1).‎ 所以λ2==-+3‎ ‎≤-2+3‎ ‎=3-2=(-1)2.‎ 所以当2-e2=.即e=时,λ取得最大值-1.‎ 故的最大值为-1.‎ ‎2.(2014·珠海模拟)已知抛物线C:x2=y,直线l与抛物线C交于A,B不同两点,且+=(p,6).‎ ‎(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程.‎ ‎(2)设直线m为线段AB的中垂线,请判断直线m是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.‎ ‎(3)记点A,B在x轴上的射影分别为A1,B1,记曲线E是以A1B1为直径的圆,当直线l与曲线E相离时,求p的取值范围.‎ ‎【解析】(1)抛物线的焦点坐标为（0,）,准线方程为:y=-.‎ ‎(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),‎ 因为A,B是不同的两点,‎ 所以xA≠xB且l不与x轴垂直,‎ 因为+=(p,2).‎ 所以xA+xB=p,+=6,‎ 所以AB中点的坐标为（,3）,‎ 所以k1=kAB==xA+xB=p,‎ 当p≠0时,直线m的斜率km=-=-,所以直线m的方程为:y-3=-x-,‎ 即y=-x+,令x=0得:y=,‎ 即直线m过定点（0,）;‎ 当p=0时,直线m的方程为x=0,也过定点（0,）.‎ ‎(3)由(2)可设直线AB的方程为:y-3=p（x-）,‎ 即y=px+3-,联立 消去y得:x2-px+-3=0,‎ 所以 即 所以|A1B1|=|x1-x2|===,‎ 所以以A1B1为直径的圆的方程为+y2=,‎ 当直线l与曲线E相离时,圆心到直线l的距离d>r,即>.‎ 所以>,即6>·,即36>(12-p2)(p2+1),‎ 所以p4-11p2+24>0,‎ 即(p2-3)·(p2-8)>0,‎ 所以p2>8或p2<3,‎ 又p2<12,且p2≥0,‎ 所以0≤p2<3或80)经过点(-2,3),其中A,B是抛物线上两个动点,O为坐标原点.‎ ‎(1)求抛物线Γ的方程.‎ ‎(2)若OA⊥OB,求线段AB的中点P的轨迹方程.‎ ‎(3)若∠AFB=90°,线段AB的中点M,点M在直线l上的投影为N,求的最大值.‎ ‎【解析】(1)依题意可知(-2)2=2p×3,解得p=2.‎ 所以抛物线Γ的方程为x2=4y.‎ ‎(2)方法一:设点P(x,y),由(1)可设A,‎ B,其中x1x2≠0.则 解得x1x2=2x2-4y.‎ 由∠AOB=,得·=0,‎ 即x1x2+·=0,化简得,x1x2=-16.‎ 所以2x2-4y=-16,即y=x2+4.‎ 所以点P的轨迹方程为y=x2+4.‎ 方法二:设点P(x,y),‎ 可设直线AB的方程为y=kx+b,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则2x=x1+x2,2y=y1+y2=k(x1+x2)+2b,　①‎ 联立得x2-4kx-4b=0,由根与系数的关系得:x1+x2=4k,x1x2=-4b,　②‎ 由∠AOB=,得kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=0.‎ 所以x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,‎ 即(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,　③‎ 由①②③可得,y=x2+4.‎ 此时Δ=(-4k)2-4×(-4b)=4x2+64>0显然成立.‎ 所以点P的轨迹方程为y=x2+4.‎ ‎(3)方法一:设∠ABF=θ,则|AF|=|AB|sinθ,‎ ‎|BF|=|AB|sin=|AB|cosθ,‎ 所以|AF|+|BF|=|AB|(sinθ+cosθ),‎ 即=sinθ+cosθ=sin,‎ 由抛物线的定义以及梯形的中位线定理,得|MN|=,‎ 所以=sin,故当θ=时,的最大值为.‎ 方法二:在△ABF中,由勾股定理,得|AF|2+|BF|2=|AB|2,‎ 即(|AF|+|BF|)2-2|AF|·|BF|=|AB|2,‎ 因为|AF|·|BF|≤.‎ 所以(|AF|+|BF|)2-|AB|2≤2.‎ 化简得,|AF|+|BF|≤|AB|.‎ 又由抛物线的定义以及梯形的中位线定理,得|MN|=.‎ 所以2|MN|≤|AB|,‎ 即≤,‎ 当且仅当|AF|=|BF|时,的最大值为.‎ ‎4.(2014·宁波模拟)如图,设椭圆+=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B,C,另有抛物线y=x2+b.‎ ‎(1)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形,求椭圆的方程.‎ ‎(2)若a=2,过点B作抛物线的切线,切点为P,直线PB与椭圆相交于另一点Q,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由四边形ABCD是菱形,得D(a,a2+b),‎ 且 解得a=,b=,‎ 所以椭圆方程为3x2+9y2=1.‎ ‎(2)不妨设P(t,t2+b)(t≠0),‎ 因为y′|x=t=2t,‎ 所以PQ的方程为y=2t(x-t)+t2+b,即y=2tx-t2+b.‎ 又因为直线PQ过点B,所以-t2+b=-b,即b=.‎ 所以PQ的方程为y=2tx-.‎ 联立方程组 消去y,得(t2+64)x2-32tx=0.‎ 所以点Q的横坐标为xQ=,‎ 所以==+1.‎ 又t2=2b∈(0,4),‎ 所以的取值范围为（1,）.‎ 关闭Word文档返回原板块