高科数学专题复习课件:第十章 10_1分类加法计数原理与分布乘法计数原理

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高科数学专题复习课件:第十章 10_1分类加法计数原理与分布乘法计数原理

§10.1   分类加法计数原理与分布乘法计数原理 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 分类加法计数原理与分步乘法计数 原理 知识梳理    原理 异同点   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 完成一件事有两类不同方案 , 在 第 1 类方案中有 m 种不同 的 方法 ,在第 2 类方案中有 n 种 不 同 的方法,那么完成这件事 共 有 N = 种 不同的方法 完成一件事需要两个步骤 , 做 第 1 步有 m 种不同的方法 , 做 第 2 步有 n 种不同的方法 , 那么 完成这件事共有 N = 种 不同的方法 m + n m × n 区别 各种方法相互独立,用其中 任 何 一种方法都可以完成这件事 各个步骤中的方法互相依存 , 只有 各个步骤都完成才能 做 完 这件事 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同 .(    ) (2) 在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事 .(    ) (3) 在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成 .(    ) 思考辨析 × √ √ ( 4) 如果完成一件事情有 n 个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法 m i ( i = 1,2,3 , … , n ) ,那么完成这件事共有 m 1 m 2 m 3 … m n 种方法 .(    ) (5) 在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 .(    ) √ √ 考点自测 1. 用 0,1 , … , 9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数 为 A.243 B.252 C.261 D.279 答案 解析 由分步乘法计数原理知,用 0,1 , … , 9 十个数字组成三位数 ( 可用重复数字 ) 的个数为 9 × 10 × 10 = 900 ,组成没有重复数字的三位数的个数为 9 × 9 × 8 = 648 ,则组成有重复数字的三位数的个数为 900 - 648 = 252. 故选 B . 2.( 教材改编 ) 已知集合 M = {1 ,- 2,3} , N = { - 4,5,6 ,- 7} ,从 M , N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数 是 A.12 B.8 C.6 D.4 答案 解析 分两步:第一步先确定横坐标,有 3 种情况 , 第二 步再确定纵坐标,有 2 种情况 , 因此 第一、二象限内不同点的个数是 3 × 2 = 6 ,故选 C. 3. 满足 a , b ∈ { - 1,0,1,2} ,且关于 x 的方程 ax 2 + 2 x + b = 0 有实数解的有序数对 ( a , b ) 的个数 为 A.14 B.13 C.12 D.10 答案 解析 当 a = 0 时,关于 x 的方程为 2 x + b = 0 ,此时有序数对 (0 ,- 1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) 均满足要求 ; 当 a ≠ 0 时, Δ = 4 - 4 ab ≥ 0 , ab ≤ 1 ,此时满足要求的有序数对为 ( - 1 ,- 1) , ( - 1,0) , ( - 1,1) , ( - 1,2) , (1 ,- 1) , (1,0) , (1,1) , (2 ,- 1) , (2,0 ). 综 上,满足要求的有序数对共有 13 个,故选 B. 4. 从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数 为 A.24 B.18 C.12 D.6 答案 解析 分两类情况讨论:第 1 类,奇偶奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 2 种选择,共有 3 × 2 × 2 = 12( 个 ) 奇数 ; 第 2 类,偶奇奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 1 种选择,共有 3 × 2 × 1 = 6( 个 ) 奇数 . 根据 分类加法计数原理,知共有 12 + 6 = 18( 个 ) 奇数 . 5.( 教材改编 )5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法有 ________ 种 . 解析 答案 32 每位同学都有 2 种报名方法,因此,可分五步安排 5 名同学报名 , 由分步 乘法计数 原理 ,知总的报名方法共 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32( 种 ). 题型分类 深度剖析 题型一  分类加法计数原理的应用 例 1   高三一班有学生 50 人,其中男生 30 人,女生 20 人;高三二班有学生 60 人,其中男生 30 人,女生 30 人;高三三班有学生 55 人,其中男生 35 人,女生 20 人 . 解答 (1) 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? 完成 这件事有三类方法: 第一类,从高三一班任选一名学生共有 50 种选法; 第二类,从高三二班任选一名学生共有 60 种选法; 第三类,从高三三班任选一名学生共有 55 种选法 . 根据分类加法计数原理,任选一名学生任学生会主席共有 50 + 60 + 55 = 165( 种 ) 不同的选法 . (2) 从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法? 解答 完成这件事有三类方法: 第一类,从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法; 第二类,从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法; 第三类,从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法 . 根据分类加法计数原理,共有 30 + 30 + 20 = 80( 种 ) 不同的选法 . 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置 . 首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 . 思维 升华 跟踪训练 1   (2016· 全国丙卷 ) 定义 “ 规范 01 数列 ” { a n } 如下: { a n } 共有 2 m 项,其中 m 项为 0 , m 项为 1 ,且对任意 k ≤ 2 m , a 1 , a 2 , … , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 . 若 m = 4 ,则不同的 “ 规范 01 数列 ” 共有 A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 第一位为 0 ,最后一位为 1 ,中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111,001110 ;只有 2 个 1 相邻时, 共 个 ,其中 110100,110010,110001,101100 不符合题意;三个 1 都不在一起时 有 个 ,共 2 + 8 + 4 = 14( 个 ). 答案 解析 题型二  分步乘法计数原理的应用 例 2   (1)(2016· 全国甲卷 ) 如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数 为 解析 答案 A.24 B.18 C.12 D.9 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种 , 从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种 , 所以 从 E 点到 G 点的最短路径为 6 × 3 = 18( 种 ) ,故选 B. ( 2) 有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有 ______ 种不同的报名方法 . 答案 解析 每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人 , 第一 个项目有 6 种选法 , 第二 个项目有 5 种选法 , 第三 个项目有 4 种选法 , 根据 分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有 6 × 5 × 4 = 120( 种 ). 120 引申探究 1. 本例 (2) 中若将条件 “ 每项限报一人,且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每人恰好参加一项,每项人数不限 ” ,则有多少种不同的报名方法? 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项 , 各 有 3 种不同的报名方法 , 根据 分步乘法计数原理 , 可 得不同的报名方法共有 3 6 = 729( 种 ). 解答 2. 本例 (2) 中若将条件 “ 每项限报一人,且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每项限报一人,但每人参加的项目不限 ” ,则有多少种不同的报名方法? 每人参加的项目不限 , 因此 每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛 , 根据 分步乘法计数原理 , 可 得不同的报名方法共有 6 3 = 216( 种 ). 解答 (1) 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事 . (2) 分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成 . 思维 升华 跟踪训练 2   (1) 用 0,1,2,3,4,5 可组成无重复数字的三位数的个数为 _____. 可分三步给百、十、个位放数字 , 第一 步:百位数写有 5 种放法 ; 第二 步:十位数字有 5 种放法 ; 第三 步:个位数字有 4 种放法 , 根据 分步乘法计数原理,三位数个数为 5 × 5 × 4 = 100. 100 答案 解析 (2)(2017· 石家庄 质检 ) 五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为 ________. 五名学生争夺四项比赛的冠军 ( 冠军不并列 ) ,则获得冠军的可能性有 ________ 种 . 4 5 5 4 五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项 ,可 逐个学生落实 , 每个 学生有 4 种报名方法,共有 4 5 种不同的报名方法 . 五 名学生争夺四项比赛的冠军,可对 4 个冠军逐一落实 , 每个 冠军有 5 种获得的可能性,共有 5 4 种获得冠军的可能性 . 答案 解析 题型三  两个计数原理的综合应用 例 3   (1) 如图,矩形的对角线把矩形分成 A , B , C , D 四部分,现用 5 种不同颜色给四部分涂色,每部分涂 1 种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有 _____ 种 不同的涂色方法 . 260 答案 解析 区域 A 有 5 处涂色方法 ; 区域 B 有 4 种涂色方法 ; 区域 C 的涂色方法可分 2 类 : 若 C 与 A 涂同色,区域 D 有 4 种涂色方法 ; 若 C 与 A 涂不同色,此时区域 C 有 3 种涂色方法 , 区域 D 也有 3 种涂色方法 . 所以 共有 5 × 4 × 4 + 5 × 4 × 3 × 3 = 260( 种 ) 涂色方法 . (2) 如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个 “ 正交线面对 ”. 在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 正交线面对 ” 的个数是 ________. 36 第 1 类,对于每一条棱,都可以与两个侧面均成 “ 正交线面对 ” ,这样 的 “ 正交线面对 ” 有 2 × 12 = 24( 个 ) ; 第 2 类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成 “ 正交线面对 ” ,这样 的 “ 正交线面对 ” 有 12 个 . 所以 正方体中 “ 正交线面对 ” 共有 24 + 12 = 36( 个 ). 答案 解析 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1) 弄清完成一件事是做什么 . (2) 确定是先分类后分步,还是先分步后分类 . (3) 弄清分步、分类的标准是什么 . (4) 利用两个计数原理求解 . 思维 升华 跟踪训练 3   (2017· 济南质检 ) 如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用 ) ,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为 ___. 答案 解析 96 按区域 1 与 3 是否同色分类: (1) 区域 1 与 3 同色:先涂区域 1 与 3 有 4 种方法,再涂区域 2,4,5( 还有 3 种颜色 ) 有 种 方法 . ∴ 区域 1 与 3 涂同色,共有 4 = 24( 种 ) 方法 . (2) 区域 1 与 3 不同色:先涂区域 1 与 3 有 种 方法,第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法,第三步涂区域 4 只有一种方法,第四步涂区域 5 有 3 种方法 . ∴ 这时 共有 × 2 × 1 × 3 = 72( 种 ) 方法 . 故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为 24 + 72 = 96. 典例   (1) 把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法 共有 A.24 种 B.4 种 C.4 3 种 D.3 4 种 (2) 某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有 4 次,轮船有 3 次,问此人的走法可有 ________ 种 . 利用 两个基本原理解决计数问题 现场纠错系列 13 错解展示 现场纠错 纠错心得 (1) 应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步 . (2) 把握完成一件事情的标准,如典例 (1) 没有考虑每封信只能投在一个信箱中,导致错误 . 解析   (1) 因为每个信箱有三种投信方法,共 4 个信箱, 所以共有 3 × 3 × 3 × 3 = 3 4 ( 种 ) 投法 . (2) 乘火车有 4 种方法,坐轮船有 3 种方法, 共有 3 × 4 = 12( 种 ) 方法 . 答案  (1)D   (2)12 返回 解析   (1) 第 1 封信投到信箱中有 4 种投法 ; 第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法 ; 第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法 . 只要 把这 3 封信投完,就做完了这件事情 , 由分 步乘法计数原理可得共有 4 3 种方法 . (2) 因为某人从甲地到乙地 , 乘 火车的走法有 4 种 ,坐 轮船的走法有 3 种 , 每 一种方法都能从甲地到乙地 , 根据分类加法计数原理,可得此人的走法共有 4 + 3 = 7( 种 ). 答案  (1)C   (2)7 返回 课时作业 1.(2016· 三门峡模拟 ) 有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法 有 A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.11 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设四位监考教师分别为 A , B , C , D ,所教班分别为 a , b , c , d , 假设 A 监考 b ,则余下三人监考剩下的三个班,共有 3 种不同方法 , 同理 A 监考 c , d 时,也分别有 3 种不同方法 , 由 分类加法计数原理,共有 3 + 3 + 3 = 9( 种 ) 不同的监考方法 . √ 2. 小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面 . 他想把 4 个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,则不同的摆法 有 A.4 种 B.5 种 C.6 种 D.9 种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 记反面为 1 ,正面为 2 , 则 正反依次相对有 12121212,21212121 两种 ; 有 两枚反面相对有 21121212,21211212,21212112 三种,共 5 种摆法 , 故 选 B. 3. 将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,则不同的安排方案 共有 A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由分步乘法计数原理,不同的选派方案共有 2 × 6 = 12( 种 ). √ 4.(2015· 四川 ) 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中 比 40 000 大的偶数 共有 A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由题意知,首位数字只能是 4,5 , 若 万位是 5 ,则有 3 × = 72( 个 ) ; 若 万位是 4 ,则有 2 × = 48( 个 ) , 故 比 40 000 大的偶数共有 72 + 48 = 120( 个 ). 故选 B. √ 5. 将一个四面体 ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案 有 A.1 种 B.3 种 C.6 种 D.9 种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 因为只有三种颜色,又要涂六条棱 , 所以 应该将四面体的对棱涂成相同的颜色 . 故 有 3 × 2 × 1 = 6( 种 ) 涂色方案 . 6. 将字母 a , a , b , b , c , c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法 共有 A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此 共有 种 不同排法 . 再 排第二列,其中第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法 , 第二 列第二、三行的字母只有 1 种排法 . 因此共有 · 2·1 = 12( 种 ) 不同的排列方法 . 7.(2016· 大连模拟 ) 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 ____ 种 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 答案 解析 编号为 1 的方格内填数字 2 ,共有 3 种不同填法 ; 编号 为 1 的方格内填数字 3 ,共有 3 种不同填法 ; 编号 为 1 的方格内填数字 4 ,共有 3 种 不同填法 . 于是 由分类加法计数原理,得共有 3 + 3 + 3 = 9( 种 ) 不同的填法 . 8. 如图所示,在 A , B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现 A , B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 _____ 种 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 四个焊点共有 2 4 种情况 , 其中 使线路通的情况有: 1,4 都通, 2 和 3 至少有一个通时线路才通 , 共 3 种可能 . 故 不通的情况有 2 4 - 3 = 13( 种 ) 可能 . 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.( 2017· 日照 调研 ) 从 1,2,3,4,7,9 六个数中,任取两个数作为对数的底数和真数,则所有不同对数值的个数为 _____. 17 答案 解析 当所取两个数中含有 1 时, 1 只能作真数,对数值为 0 , 当 所取两个数不含有 1 时,可 得到 = 20( 个 ) 对数 , 但 log 2 3 = log 4 9 , log 3 2 = log 9 4 , log 2 4 = log 3 9 , log 4 2 = log 9 3 , 综 上可知,共有 20 + 1 - 4 = 17( 个 ) 不同的对数值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2016· 天津模拟 ) 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3 443,94 249 等 . 显然 2 位回文数有 9 个: 11,22,33 , … , 99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121 , … , 191,202 , … , 999. 则 (1)4 位回文数有 ______ 个; 4 位回文数相当于填 4 个方格,首尾相同,且不为 0 ,共 9 种填法 , 中间 两位一样,有 10 种填法,共计 9 × 10 = 90( 种 ) 填法 , 即 4 位回文数有 90 个 . 90 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)2 n + 1( n ∈ N * ) 位回文数有 ________ 个 . 根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格 . 结合 分步乘法计数原理,知有 9 × 10 n 种填法 . 答案 解析 9 × 10 n 11. 有一项活动需在 3 名老师, 6 名男同学和 8 名女同学中选人参加 . (1) 若只需一人参加,有多少种不同选法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 只需一人参加,可按老师,男同学,女同学分三类各自有 3,6,8 种方法 , 总 方法数为 3 + 6 + 8 = 17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (2) 若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同选法? 分两步,先选教师共 3 种选法,再选学生共 6 + 8 = 14( 种 ) 选法 , 由 分步乘法计数原理知,总方法数为 3 × 14 = 42. (3) 若需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同选法? 解答 教师,男同学,女同学各一人可分三步 , 每 步方法依次为 3,6,8 种 . 由 分步乘法计数原理知总方法数为 3 × 6 × 8 = 144( 种 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 12. 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色方法种数 . 方法一  设染色按 S - A - B - C - D 的顺序进行,对 S , A , B 染色,有 5 × 4 × 3 = 60( 种 ) 染色方法 . 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色,这影响到 D 点颜色的选取方法数,故分类讨论: C 与 A 同色时 ( 此时 C 对颜色的选取方法唯一 ) , D 应与 A ( C ) , S 不同色,有 3 种选择 ; C 与 A 不同色时, C 有 2 种可选择的颜色, D 也有 2 种颜色可供选择 . 从而对 C 、 D 染色有 1 × 3 + 2 × 2 = 7( 种 ) 染色方法 . 由分步乘法计数原理,不同的染色方法种数为 60 × 7 = 420 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法二  根据所用颜色种数分类,可分三类 . 第一类:用 3 种颜色,此时 A 与 C , B 与 D 分别同色,问题相当于从 5 种颜色中选 3 种涂三个点, 共 = 60( 种 ) 涂法; 第二类:用 4 种颜色,此时 A 与 C , B 与 D 中有且只有一组同色,涂法种数为 2 = 240( 种 ) ; 第三类:用 5 种颜色,涂法种数 共 = 120( 种 ). 综上可知,满足题意的染色方法种数为 60 + 240 + 120 = 420. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知集合 M = { - 3 ,- 2 ,- 1,0,1,2} ,若 a , b , c ∈ M ,则: (1) y = ax 2 + bx + c 可以表示多少 个不同 的二次函数?其中偶函数有多少个? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 a 的取值有 5 种情况, b 的取值 6 种情况, c 的取值有 6 种情况 , 因此 y = ax 2 + bx + c 可以表示 5 × 6 × 6 = 180( 个 ) 不同的二次函数 . 若 二次函数为偶函数,则 b = 0 ,故有 5 × 6 = 30( 个 ). (2) y = ax 2 + bx + c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数? 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y = ax 2 + bx + c 的图象开口向上时 , a 的取值有 2 种情况, b 、 c 的取值均有 6 种情况 , 因此 y = ax 2 + bx + c 可以表示 2 × 6 × 6 = 72( 个 ) 图象开口向上的二次函数 .
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