2015年高考数学（文科）真题分类汇编C单元 三角函数
数 学
C单元 三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
16．C2，C5，C6[2015·广东卷] 已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
13．B9、C2、C6[2015·湖北卷] 函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
13．2 [解析] f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2.令f(x)＝0，则sin 2x＝x2，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2图像的交点个数．作出函数图像如图所示，两函数图像的交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.
3．B4，C2[2015·北京卷] 下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x
B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x|
D．y＝2－x
3．B [解析] 选项A中，f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sin x＝－f(x)，函数为奇函数；选项B中，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，所以函数为偶函数；选项C中，函数y＝|ln x|的定义域不关于原点对称，所以函数不具备奇偶性；选项D中，函数y＝2－x为非奇非偶函数，故选B.
6．C2[2015·福建卷] 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－ C. D．－
6．D [解析] 因为α为第四象限角，所以cos α＝＝，tan α＝＝－.
13．C2[2015·四川卷] 已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是____________．
13．－1 [解析] 由已知可得tan α＝－2，
2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1.
C3 三角函数的图象与性质
18．C4、C3[2015·湖北卷] 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图像，求y＝g(x)的图像离原点O最近的对称中心．
18．解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，因此g(x)＝5sin＝5sin.
函数y＝sin x图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图像的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.
5．C3[2015·四川卷] 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝sin2x＋
B．y＝cos2x＋
C．y＝sin 2x＋cos 2x
D．y＝sin x＋cos x
5．B [解析] 选项A，B，C中的函数的最小正周期都是π，选项D中，y＝sin x＋cos
x＝sin的最小正周期是2π，故排除D.选项A中，y＝cos 2x是偶函数；选项B中，y＝－sin 2x为奇函数；选项C中，y＝sin2x＋是非奇非偶函数．
5．B8、C3[2015·浙江卷] 函数f(x)＝x－cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图像可能为( )
图12
5．D [解析] y＝x－是奇函数，y＝cos x是偶函数，故f(x)是奇函数，排除A，B；当x＝π时，f(π)＝－π<0，排除C，故选D.
C4 函数的图象与性质
16．C4、C5[2015·安徽卷] 已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
16．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图像知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
18．C4、C3[2015·湖北卷] 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图像，求y＝g(x)的图像离原点O最近的对称中心．
18．解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，因此g(x)＝5sin＝5sin.
函数y＝sin x图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图像的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.
8．C4[2015·全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图12所示，则f(x)的单调递减区间为( )
图12
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
8．D [解析] 由图知＝－＝1，所以T＝2，即＝2，所以ω＝±π.
因为函数f(x)的图像过点，
所以当ω＝π时，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z；
当ω＝－π时，＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.
所以f(x)＝cos，由2kπ<πx＋<π＋2kπ解得2k－
0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________．
15. [解析] 设距离最短的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．根据正弦函数、余弦函数的性质，不妨设距离最短的两个交点的横坐标满足ωx1＝，ωx2＝，即x1＝，x2＝，此时y1＝，y2＝－，由两点间距离公式得－2＋(＋)2＝12，解得ω＝.
4．C4[2015·山东卷] 要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
4．B [解析] 设将函数y＝sin 4x的图像向右平移φ个单位，得到函数y＝sin 4(x－φ)＝sin(4x－4φ)＝sin的图像，故φ＝.
14．C4[2015·陕西卷] 如图14，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinx＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
图14
14．8 [解析] 据图可知，－3＋k＝2，得k＝5，所以ymax＝3＋5＝8.
14．C4、C5[2015·天津卷] 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
14. [解析] f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋，当－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增．又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以－≤x≤，则－≤－ω且ω≤，所以ω2≤.又因为函数f(x)的图像关于直线x＝ω对称，所以sinω2＋＝±，所以ω2＝＋kπ，k∈Z.综上可得，ω＝.
11．C4、C5、C6[2015·浙江卷] 函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是____________，最小值是________．
11．π [解析] 由题得，f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，故函数f(x)的最小正周期是π，最小值是.
18．C3、C4、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)
的图像，当x∈，π时，求g(x)的值域．
18．解：(1)f(x)＝sin 2x－cos2x＝sin 2x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin2x－－，
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－.
(2)由条件可知g(x)＝sinx－－.
当x∈，π时，有x－∈，，从而sinx－∈，1，那么sinx－－∈，.
故g(x)在区间，π上的值域是，.
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
16．C4、C5[2015·安徽卷] 已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
16．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图像知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
16．C2，C5，C6[2015·广东卷] 已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
17．C5、C8[2015·全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B;
(2)若B＝90°，且a＝， 求△ABC的面积．
17．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，所以可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，所以由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝，
所以△ABC的面积为1.
17．C5、C8[2015·全国卷Ⅱ] △ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
17．解：(1)由正弦定理得
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以
＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以
sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝
cos∠B＋sin∠B.
由(1)知2sin∠B＝sin∠C，所以tan∠B＝，即∠B＝30°
15．C4，C5[2015·北京卷] 已知函数f(x)＝sin x－2 sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
15．解：(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－
＝2sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.
17．C5、C8[2015·湖南卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.
(1)证明：sin B＝cos A；
(2)若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.
17．解：(1)证明：由a＝btan A及正弦定理得＝＝，所以sin B＝cos A.
(2)因为sin C－sin Acos B
＝sin[180°－(A＋B)]－sin Acos B
＝sin(A＋B)－sin Acos B
＝sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝cos Asin B，
所以cos Asin B＝.
由(1)sin B＝cos A，因此sin2B＝，又B为钝角，所以sin B＝，B＝120°.
由cos A＝sin B＝知A＝30°，
从而C＝180°－(A＋B)＝30°.
综上所述，A＝30°，B＝120°，C＝30°.
19．B9，C5，C8[2015·四川卷] 已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．
(1)求C的大小；
(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．
19．解：(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式
Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，
所以p≤－2或p≥.
由韦达定理，得tan A＋tan B＝－p，tan Atan B＝1－p.
于是1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0，
从而tan(A＋B)＝＝－＝－，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝，
所以C＝60°.
(2)由正弦定理，得
sin B＝＝＝，
解得B＝45°或B＝135°(舍去)．
于是A＝180°－B－C＝75°.
则tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.
所以p＝－(tan A＋tan B)＝－×(2＋＋1)＝－1－.
14．C4、C5[2015·天津卷] 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
14. [解析] f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋，当－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增．又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以－≤x≤，则－≤－ω且ω≤，所以ω2≤.又因为函数f(x)的图像关于直线x＝ω对称，所以sinω2＋＝±，所以ω2＝＋kπ，k∈Z.综上可得，ω＝.
16．C5、C8[2015·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.
(1)求a和sin C的值；
(2)求cos2A＋的值．
16．解：(1)在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝.由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24，又b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.
由＝，得sin C＝.
(2)cos2A＋＝cos 2A·cos－sin 2A·sin＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝.
11．C4、C5、C6[2015·浙江卷] 函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是____________，最小值是________．
11．π [解析] 由题得，f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，故函数f(x)的最小正周期是π，最小值是.
6．C5[2015·重庆卷] 若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝( )
A. B.
C. D.
6．A [解析] tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝.
18．C3、C4、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，当x∈，π时，求g(x)的值域．
18．解：(1)f(x)＝sin 2x－cos2x＝sin 2x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin2x－－，
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－.
(2)由条件可知g(x)＝sinx－－.
当x∈，π时，有x－∈，，从而sinx－∈，1，那么sinx－－∈，.
故g(x)在区间，π上的值域是，.
8．C5[2015·江苏卷] 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
8．3 [解析] 因为β＝(α＋β)－α，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
C6 二倍角公式
16．C2，C5，C6[2015·广东卷] 已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
13．B9、C2、C6[2015·湖北卷] 函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
13．2 [解析] f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2.令f(x)＝0，则sin 2x＝x2，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2图像的交点个数．作出函数图像如图所示，两函数图像的交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.
11．C4、C5、C6[2015·浙江卷] 函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是____________，最小值是________．
11．π [解析] 由题得，f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，故函数f(x)的最小正周期是π，最小值是.
18．C3、C4、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，当x∈，π时，求g(x)的值域．
18．解：(1)f(x)＝sin 2x－cos2x＝sin 2x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin2x－－，
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－.
(2)由条件可知g(x)＝sinx－－.
当x∈，π时，有x－∈，，从而sinx－∈，1，那么sinx－－∈，.
故g(x)在区间，π上的值域是，.
C7 三角函数的求值、化简与证明
17．C7、C8[2015·山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝，sin(A＋B)＝，ac＝2，求sin A和c的值．
17．解：在△ABC中，由cos B＝，得sin B＝.
因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝.
因为sin C0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bcsin A＝.
方法二：由正弦定理，得＝，
从而sin B＝.
又由a>b，知A>B，所以cos B＝.
故sin C＝sin(A＋B)＝sinB＋＝
sin Bcos＋cos Bsin＝，
所以△ABC的面积为absin C＝.
19．B9，C5，C8[2015·四川卷] 已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．
(1)求C的大小；
(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．
19．解：(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式
Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，
所以p≤－2或p≥.
由韦达定理，得tan A＋tan B＝－p，tan Atan B＝1－p.
于是1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0，
从而tan(A＋B)＝＝－＝－，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝，
所以C＝60°.
(2)由正弦定理，得
sin B＝＝＝，
解得B＝45°或B＝135°(舍去)．
于是A＝180°－B－C＝75°.
则tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.
所以p＝－(tan A＋tan B)＝－×(2＋＋1)＝－1－.
16．C5、C8[2015·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.
(1)求a和sin C的值；
(2)求cos2A＋的值．
16．解：(1)在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝.由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24，又b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.
由＝，得sin C＝.
(2)cos2A＋＝cos 2A·cos－sin 2A·sin＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝.
16．C8，C9[2015·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan＋A＝2.
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
16．解：(1)由tan＋A＝2，得tan A＝，
所以＝＝.
(2)由tan A＝，A∈(0，π)，得
sin A＝，cos A＝.
又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得
b＝3 .
由sin C＝sin(A＋B)＝sinA＋，
得sin C＝.
设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.
13．C8[2015·重庆卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C
＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________．
13．4 [解析] 由3sin A＝2sin B，得3a＝2b，即b＝a＝3.在△ABC中，由余弦定理cos C＝，得－＝，解得c＝4.
15．C8[2015·江苏卷] 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．
15．解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.
(2)由正弦定理知，＝，所以sin C＝·sin A＝＝.
因为AB0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，且函数g(x)的最大值为2.
①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.
21．解：(1)因为f(x)＝10 sincos＋10cos2＝5 sin x＋5cos x＋5＝10sin＋5，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.
(2)①将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图像，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图像．
又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.
所以g(x)＝10sin x－8.
②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8>0，即sin x0>.
由<知，存在0<α0<，使得sin α0＝.
由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x>.
因为y＝sin x的周期为2π，
所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x>.
因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>>1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数
xk∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sin xk>.
亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.
16．C8，C9[2015·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan＋A＝2.
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
16．解：(1)由tan＋A＝2，得tan A＝，
所以＝＝.
(2)由tan A＝，A∈(0，π)，得
sin A＝，cos A＝.
又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得
b＝3 .
由sin C＝sin(A＋B)＝sinA＋，
得sin C＝.
设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.
4．[2015·湖北黄冈中学一模] 已知向量a＝sin x，，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos2A＋x∈0，的取值范围．
4．解：(1)∵a∥b，∴tan x＝－，
∴cos2x－sin 2x＝＝＝.
(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin2x＋＋.
由＝可得sin A＝，
又b>a，∴A＝，
∴f(x)＋4cos2A＋＝sin2x＋－.
又∵x∈0，，∴2x＋∈，，
∴－1≤f(x)＋4cos2A＋≤－.
8．[2015·广东两校二联] 已知函数f(x)＝2cos x·(sin x－cos x)＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值．
8．解：(1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1＝sin 2x－cos 2x＝sin2x－，因此函数f(x)的最小正周期为π.
(2)因为f(x)＝sin2x－在区间，上为增函数，在区间，上为减函数，
且f＝0，f＝，f＝sin＝－1，
所以函数f(x)在区间，上的最大值为，最小值为－1.
9．[2015·沈阳二中模拟] (1)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈0，，求cos β的值；
(2)已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
9．解：(1)∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈0，，
∴sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝＝.
(2)∵α为第二象限角，sin α＝，
∴cos α＝－＝－，
∴＝＝＝－.
3．[2015·慈溪、余姚联考] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝csin B＋bcos C.
(1)求A＋C的值；
(2)若b＝，求△ABC面积的最大值．
3．解：(1)由正弦定理，得sin A＝sin Csin B＋sin Bcos C，
又sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Csin B.
又因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
所以cos B＝sin B，所以tan B＝1.
又B∈(0，π)，所以B＝，所以A＋C＝π.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
所以2＝a2＋c2－ac，
所以2＋ac＝a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时，等号成立，
即ac≤＝2＋，
所以S△ABC＝acsin B＝ac≤，
所以△ABC面积的最大值为.
