2021高考数学大一轮复习考点规范练23三角恒等变换理新人教A版

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考点规范练23　三角恒等变换 ‎　考点规范练A册第15页　 ‎ 基础巩固 ‎1‎.‎‎2sin47°-‎3‎sin17°‎cos17°‎=(　　)‎ A.-‎3‎ B.-1 C‎.‎‎3‎ D.1‎ 答案:D 解析:原式=2‎×‎sin47°-sin17°cos30°‎cos17°‎=2‎×‎sin(17°+30°)-sin17°cos30°‎cos17°‎=2sin30°=1.故选D.‎ ‎2.(2019全国Ⅱ,理10)已知α∈0,π‎2‎,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)‎ A‎.‎‎1‎‎5‎ B‎.‎‎5‎‎5‎ C‎.‎‎3‎‎3‎ D‎.‎‎2‎‎5‎‎5‎ 答案:B 解析:∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α.‎ ‎∵α∈0,π‎2‎,∴cosα>0,sinα>0,∴2sinα=cosα.‎ 又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,即sin2α=‎‎1‎‎5‎‎.‎ ‎∵sinα>0,∴sinα=‎‎5‎‎5‎‎.‎ ‎3.(2019辽宁葫芦岛高三二模)已知函数f(x)=‎3‎sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π‎2‎,则该函数的一个单调递增区间为(　　)‎ A‎.‎π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎ B‎.‎‎-‎5π‎12‎,‎π‎12‎ C‎.‎‎-π‎3‎,‎π‎6‎ D‎.‎‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎ 答案:C 解析:f(x)=‎3‎sinωx+cosωx=2sinωx+‎π‎6‎‎.‎ 由题意得T=π,ω=2,‎ 所以f(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎,‎ 8‎ 由-π‎2‎+2kπ≤2x+π‎6‎‎≤‎π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 得-π‎3‎+kπ≤x‎≤‎π‎6‎+kπ,k∈Z,‎ 故函数f(x)的单调递增区间为‎-π‎3‎+kπ,π‎6‎+kπ,k∈Z.‎ 令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为‎-π‎3‎,‎π‎6‎‎.‎ ‎4.(2019湖北咸宁模拟)已知tan(α+β)=2,tan β=3,则sin 2α=(　　)‎ A‎.‎‎7‎‎25‎ B‎.‎‎14‎‎25‎ C.-‎7‎‎25‎ D.-‎‎14‎‎25‎ 答案:C 解析:由题意知tanα=tan[(α+β)-β]=tan(α+β)-tanβ‎1+tan(α+β)tanβ=-‎1‎‎7‎,‎ 所以sin2α=‎2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎‎2tanαtan‎2‎α+1‎=-‎‎7‎‎25‎‎.‎ ‎5.已知tanα+‎π‎4‎=-‎1‎‎2‎,且π‎2‎<α<π,则sin2α-2cos‎2‎αsinα-‎π‎4‎等于(　　)‎ A‎.‎‎2‎‎5‎‎5‎ B.-‎3‎‎5‎‎10‎ C.-‎2‎‎5‎‎5‎ D.-‎‎3‎‎10‎‎10‎ 答案:C 解析:sin2α-2cos‎2‎αsinα-‎π‎4‎‎=‎‎2sinαcosα-2cos‎2‎α‎2‎‎2‎‎(sinα-cosα)‎=2‎2‎cosα,‎ 由tanα+‎π‎4‎=-‎1‎‎2‎,得tanα+1‎‎1-tanα=-‎1‎‎2‎,解得tanα=-3.‎ 因为π‎2‎<α<π,所以cosα=-‎‎10‎‎10‎‎.‎ 所以原式=2‎2‎cosα=2‎2‎‎×‎‎-‎‎10‎‎10‎=-‎‎2‎‎5‎‎5‎‎.‎ ‎6.为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数y=cos 2x-sin 2x的图象(　　)‎ A.向右平移π‎4‎个单位长度 B.向左平移π‎4‎个单位长度 C.向右平移π‎2‎个单位长度 D.向左平移π‎2‎个单位长度 答案:A 8‎ 解析:∵y=sin2x+cos2x=‎2‎‎2‎‎2‎sin2x‎+‎2‎‎2‎cos2x=‎‎2‎cos2x-π‎8‎,‎ y=cos2x-sin2x=‎2‎‎2‎‎2‎cos2x-‎2‎‎2‎sin2x‎=‎‎2‎cos‎2‎x+‎π‎8‎‎=‎‎2‎cos‎2‎x+π‎4‎-‎π‎8‎,‎ ‎∴只需将函数y=cos2x-sin2x的图象向右平移π‎4‎个单位长度可得函数y=sin2x+cos2x的图象.‎ ‎7.已知函数f(x)=cos‎4x-‎π‎3‎+2cos22x,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移π‎6‎个单位,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为(　　)‎ A‎.‎‎-π‎3‎,‎π‎6‎ B‎.‎‎-π‎4‎,‎π‎4‎ C‎.‎π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎ D‎.‎π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎ 答案:B 解析:∵函数f(x)=cos‎4x-‎π‎3‎+2cos22x=cos‎4x-‎π‎3‎+1+cos4x=‎1‎‎2‎cos4x+‎3‎‎2‎sin4x+1+cos4x=‎3‎‎2‎cos4x+‎3‎‎2‎sin4x+1=‎3‎sin‎4x+‎π‎3‎+1,‎ ‎∴函数y=f(x)的图象伸缩后的图象对应的解析式为y=‎3‎sin‎2x+‎π‎3‎+1,再平移后得y=g(x)=‎3‎sin2x+1.‎ 由2kπ-π‎2‎‎≤‎2x≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ-π‎4‎‎≤‎x≤kπ+π‎4‎,k∈Z,‎ 当k=0时,得-π‎4‎‎≤‎x‎≤‎π‎4‎,故选B.‎ ‎8.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　　,b=　　　　　. ‎ 答案:‎2‎　1‎ 解析:因为2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=‎2‎sin2x+π‎4‎+1,所以A=‎2‎,b=1.‎ ‎9.设f(x)=‎1+cos2x‎2sinπ‎2‎‎-x+sin x+a2sinx+‎π‎4‎的最大值为‎2‎+3,则实数a=　　　　　. ‎ 答案:±‎‎3‎ 解析:f(x)=‎1+2cos‎2‎x-1‎‎2cosx+sinx+a2sinx+‎π‎4‎ 8‎ ‎=cosx+sinx+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=‎2‎sinx+‎π‎4‎+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=(‎2‎+a2)sinx+‎π‎4‎‎.‎ 依题意有‎2‎+a2=‎2‎+3,则a=±‎‎3‎‎.‎ ‎10.已知点π‎4‎‎,1‎在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.‎ ‎(1)求a的值和f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间(0,π)内的单调递减区间.‎ 解:(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.‎ ‎∵f(x)的图象过点π‎4‎‎,1‎,‎ ‎∴1=asinπ‎2‎+cosπ‎2‎,可得a=1.‎ ‎∴f(x)=sin2x+cos2x=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎‎.‎ ‎∴函数的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由2kπ+π‎2‎‎≤‎2x+π‎4‎‎≤‎‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 可得kπ+π‎8‎‎≤‎x‎≤‎‎5π‎8‎+kπ,k∈Z.‎ ‎∴函数f(x)的单调递减区间为kπ+π‎8‎,‎5π‎8‎+kπ,k∈Z.‎ ‎∵x∈(0,π),当k=0时,可得单调递减区间为π‎8‎‎,‎‎5π‎8‎‎.‎ ‎11.函数f(x)=cos‎-‎x‎2‎+sinπ-‎x‎2‎,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f(α)=‎2‎‎10‎‎5‎,α∈‎‎0,‎π‎2‎,求tanα+‎π‎4‎的值.‎ 解:(1)f(x)=cos‎-‎x‎2‎+sinπ-‎x‎2‎=sinx‎2‎+cosx‎2‎‎=‎‎2‎sinx‎2‎‎+‎π‎4‎,故f(x)的最小正周期T=‎2π‎1‎‎2‎=4π.‎ 8‎ ‎(2)由f(α)=‎2‎‎10‎‎5‎,得sinα‎2‎+cosα‎2‎‎=‎‎2‎‎10‎‎5‎,则sinα‎2‎+cosα‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎‎10‎‎5‎‎2‎,‎ 即1+sinα=‎8‎‎5‎,解得sinα=‎3‎‎5‎,‎ 又α∈‎‎0,‎π‎2‎,则cosα=‎1-sin‎2‎α‎=‎1-‎‎9‎‎25‎=‎‎4‎‎5‎,‎ 故tanα=sinαcosα‎=‎‎3‎‎4‎,‎ 所以tanα+‎π‎4‎‎=tanα+tanπ‎4‎‎1-tanαtanπ‎4‎=‎‎3‎‎4‎‎+1‎‎1-‎‎3‎‎4‎=7.‎ 能力提升 ‎12.已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+‎3‎cos ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,则ω的最小值为(　　)‎ A‎.‎‎1‎‎2016π B‎.‎‎1‎‎4032π C‎.‎‎1‎‎2016‎ D‎.‎‎1‎‎4032‎ 答案:C 解析:由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2016π)是函数f(x)的最大值.‎ 又f(x)=cosωx(sinωx+‎3‎cosωx)‎ ‎=‎1‎‎2‎sin2ωx+‎‎3‎‎·‎‎1+cos2ωx‎2‎ ‎=sin‎2ωx+‎π‎3‎‎+‎‎3‎‎2‎,‎ 所以要使ω取最小值,只需保证区间[x0,x0+2016π]为一个完整的单调递增区间即可.‎ 故2016π=‎1‎‎2‎‎·‎‎2πωmin,求得ωmin=‎1‎‎2016‎,故ω的最小值为‎1‎‎2016‎,故选C.‎ ‎13.已知cos α=‎1‎‎3‎,cos(α+β)=-‎1‎‎3‎,且α,β∈‎‎0,‎π‎2‎,则cos(α-β)的值等于(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B‎.‎‎1‎‎2‎ C.-‎1‎‎3‎ D‎.‎‎23‎‎27‎ 答案:D 解析:‎∵α∈‎‎0,‎π‎2‎,∴2α∈(0,π).‎ ‎∵cosα=‎1‎‎3‎,∴cos2α=2cos2α-1=-‎7‎‎9‎,‎ 8‎ ‎∴sin2α=‎1-cos‎2‎2α‎=‎‎4‎‎2‎‎9‎,‎ 又α,β∈‎‎0,‎π‎2‎,∴α+β∈(0,π),‎ ‎∴sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎‎=‎‎2‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]‎ ‎=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)‎ ‎=‎‎-‎‎7‎‎9‎‎×‎-‎‎1‎‎3‎+‎4‎‎2‎‎9‎×‎2‎‎2‎‎3‎=‎23‎‎27‎.‎ ‎14.(2019江苏,13)已知tanαtanα+‎π‎4‎=-‎2‎‎3‎,则sin2α+π‎4‎的值是　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎‎10‎ 解析:由tanαtanα+‎π‎4‎‎=tanαtanα+1‎‎1-tanα=‎tanα(1-tanα)‎tanα+1‎=-‎2‎‎3‎,得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-‎‎1‎‎3‎‎.‎ 又sin‎2α+‎π‎4‎=sin2αcosπ‎4‎+cos2αsinπ‎4‎ ‎=‎2‎‎2‎(sin2α+cos2α)=‎‎2‎‎2‎‎×‎‎2sinαcosα+cos‎2‎α-sin‎2‎αsin‎2‎α+cos‎2‎α ‎=‎2‎‎2‎‎×‎2tanα+1-tan‎2‎αtan‎2‎α+1‎.‎ (*)‎ ‎①当tanα=2时,(*)式=‎2‎‎2‎‎×‎2×2+1-‎‎2‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+1‎=‎2‎‎2‎×‎1‎‎5‎=‎‎2‎‎10‎;‎ ‎②当tanα=-‎1‎‎3‎时,(*)式=‎‎2‎‎2‎‎×‎2×‎-‎‎1‎‎3‎+1-‎‎-‎‎1‎‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎‎2‎‎+1‎=‎2‎‎2‎×‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎9‎‎10‎‎9‎=‎2‎‎10‎.‎ 综上,sin‎2α+‎π‎4‎‎=‎2‎‎10‎.‎ ‎15.(2019浙江,18)设函数f(x)=sin x,x∈R.‎ ‎(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;‎ ‎(2)求函数y=fx+π‎12‎2+fx+π‎4‎2的值域.‎ 解:(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),‎ 即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,‎ 8‎ 故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.‎ 又θ∈[0,2π),因此θ=‎π‎2‎或‎3π‎2‎.‎ ‎(2)y=fx+π‎12‎2+fx+π‎4‎2‎ ‎=sin2x+π‎12‎+sin2x+‎π‎4‎ ‎=‎‎1-cos(2x+π‎6‎)‎‎2‎‎+‎‎1-cos(2x+π‎2‎)‎‎2‎ ‎=1-‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎cos2x-‎3‎‎2‎sin2x ‎=1-‎3‎‎2‎cos2x+π‎3‎.‎ 因此,函数的值域是1-‎3‎‎2‎,1+‎3‎‎2‎.‎ 高考预测 ‎16.已知f(x)=‎1+‎‎1‎tanxsin2x-2sinx+‎π‎4‎sinx-‎π‎4‎‎.‎ ‎(1)若tan α=2,求f(α)的值;‎ ‎(2)若x‎∈‎π‎12‎‎,‎π‎2‎,求f(x)的取值范围.‎ 解:(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+‎π‎4‎cosx+‎π‎4‎ ‎=‎1-cos2x‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎sin2x+sin‎2x+‎π‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎(sin2x-cos2x)+cos2x ‎=‎1‎‎2‎(sin2x+cos2x)+‎‎1‎‎2‎‎.‎ 由tanα=2,得sin2α=‎‎2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎2tanαtan‎2‎α+1‎=‎4‎‎5‎.‎ cos2α=cos‎2‎α-sin‎2‎αsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎‎1-tan‎2‎α‎1+tan‎2‎α=-‎‎3‎‎5‎‎.‎ 所以f(α)=‎1‎‎2‎(sin2α+cos2α)+‎‎1‎‎2‎‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=‎1‎‎2‎(sin2x+cos2x)+‎1‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎‎+‎1‎‎2‎.‎ 8‎ 由x‎∈‎π‎12‎‎,‎π‎2‎,得2x+‎π‎4‎‎∈‎5π‎12‎‎,‎‎5π‎4‎.‎ 所以-‎2‎‎2‎‎≤‎sin‎2x+‎π‎4‎‎≤‎1,所以0≤f(x)‎≤‎‎2‎‎+1‎‎2‎,‎ 所以f(x)的取值范围是‎0,‎‎2‎‎+1‎‎2‎‎.‎ 8‎