专题25+数列的综合应用（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题25+数列的综合应用（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n＝(　　)‎ A．13　　　　B．10‎ C．9 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵an＝＝1－，‎ ‎∴Sn＝n－＝n－1＋＝，‎ ‎∴n＝6。‎ ‎2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 012＝(　　)‎ A．22 012－1 B．3·21 006－3‎ C．3·21 006－1 D．3·21 005－2‎ ‎【答案】B ‎3．已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列{}的前n项和为Sn，则S2 012的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由已知得b＝，∴f(n)＝n2＋n，‎ ‎∴＝＝＝－，‎ ‎∴S2 012＝1－＋－＋…＋－＝1－＝。‎ ‎4．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝(　　)‎ A. B．6‎ C．10 D．11‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B。‎ ‎5．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　)‎ A．－100 B．0‎ C．100 D．10 200‎ ‎【答案】A ‎【解析】若n为偶数时，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，为首项为a1＝3，公差为4的等差数列。所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×3＋×4＋50×(－5)－×4＝－100。 ‎ ‎6．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 014＝(　　)‎ A．1 006 B．1 007‎ C．1 008 D．1 009‎ ‎【答案】C ‎7．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)‎ A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，‎ 则Sn＝【解析】1＋3＋5＋…＋(2n－1) ＋ ‎＝n2＋1－. ‎ ‎8．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)‎ A．100 B．110 ‎ C．120 D．130‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C． ‎ ‎9．数学文化 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A．192里 B．96里 ‎ C．48里 D．24里 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B. ‎ ‎10．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于(　　)‎ A．5 B．6 ‎ C．7 D．16‎ ‎【答案】C　‎ ‎11．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 019＝(　　)‎ A．－1 B．－1‎ C．－1 D．＋1‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.‎ ‎∴an＝＝＝－，‎ S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋ (－)＝－1. ‎ ‎12．已知函数f(x)的图象关于x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则{an}的前100项的和为(　　)‎ A．－200 B．－100‎ C．0 D．－50‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】因为函数f(x)的图象关于x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数 列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100，故选B. ‎ ‎13．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________. ‎ ‎【答案】n·2n(n∈N*)　‎ ‎14．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N*，则S2 018＝__________.‎ ‎【答案】1　‎ ‎【解析】an＝sin，n∈N*，显然每连续四项的和为0.‎ S2 018＝S4×504＋a2 017＋a2 018＝0＋1＋0＝1. ‎ ‎15．计算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.‎ ‎【答案】4－　‎ ‎【解析】设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，‎ 则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.‎ 两式相减得S＝3×＋－.‎ ‎∴S＝3＋－ ‎＝3＋－ ‎＝4－. ‎ ‎16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 013＝__________。‎ ‎【答案】－1 005‎ ‎【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005。‎ ‎17．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝__________。‎ ‎【答案】(4n－1)‎ ‎18．对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝__________。‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】曲线y＝xn＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn,0)，则有(n＋1)xn－n＝0⇒xn＝，‎ ‎∴an＝lgxn＝lg＝lgn－lg(n＋1)，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2。‎ ‎19．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)。‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式。‎ ‎(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn。‎ ‎【解析】(1)因为3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)，‎ 所以3(an·q2＋an)－10an·q＝0，‎ 即3q2－10q＋3＝0，‎ 又q>1，所以q＝3，‎ 因为a1＝3，所以an＝3n。‎ ‎(2)因为是首项为1，公差为2的等差数列，‎ 所以bn＋an＝1＋2(n－1)，‎ 即{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1。‎ 前n项和Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋‎ ‎【解析】1＋3＋…＋(2n－1) ＝－(3n－1)＋n2。 ‎ ‎20．已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列。‎ ‎(1)求{an}的通项公式。‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn。‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2＋2n，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和. ‎ ‎【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，‎ a1＝S1＝3也满足an＝2n＋1，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)知＝，‎ 则Tn＝ ‎＝＝－＝.‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和Sn＝，数列{bn}满足bn＝an＋an＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若cn＝2an·(bn－1)(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎