数学卷·2018届广东省深圳市南山区高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省深圳市南山区高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（　　）‎ A． B．‎ C． D．∀x∈R，x2+2≤0‎ ‎2．（5分）等差数列{an}前n项和为Sn，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（　　）‎ A．10 B．9 C．6 D．5‎ ‎3．（5分）“”是“”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件 ‎4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．（5分）若双曲线的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎8．（5分）已知数列{an}：a1=1，，则an=（　　）‎ A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7‎ ‎9．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（　　）‎ A．2﹣ B．﹣1 C．3+2 D．3﹣2‎ ‎10．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（　　）‎ A．（﹣3，3） B．[﹣3，3] C．[﹣3，3） D．[﹣2，2]‎ ‎11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（　　）‎ A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x ‎12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=　　．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为　　．‎ ‎15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为　　．‎ ‎16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若 ‎=2，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且满足：，（n∈N+）‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值 ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．‎ ‎19．（12分）已知递增的等比数列{an}满足：a2•a3=8，a1+a4=9‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列，求数列{bn}的前n项的和Tn．‎ ‎20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．‎ ‎（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；‎ ‎（2）证明：CD∥EF ‎（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．‎ ‎（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（　　）‎ A． B．‎ C． D．∀x∈R，x2+2≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，‎ 即￢P：，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．等差数列{an}前n项和为Sn，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（　　）‎ A．10 B．9 C．6 D．5‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】直接运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，‎ 可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，‎ 解得a1=9，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．“”是“”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：当+2kπ时，满足但不一定成立，即充分性不成立，‎ 当时，成立，即必要性成立，‎ 则“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解： +=（3，1，6），k﹣=（2k﹣1，k，4k﹣2），‎ ‎∵+与k﹣互相垂直，∴3（2k﹣1）+k+6（4k﹣2）=0，‎ 解得k=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】直接利用余弦定理求解即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，‎ AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，‎ 可得：13=9+AC2+3AC，‎ 解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．若双曲线的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】双曲线的一条渐近线经过点（3，4），可得b=a，c==a，即可得到双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的一条渐近线经过点（3，4），‎ ‎∴b=a，‎ ‎∴c==a，‎ 可得e==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的性质，主要是渐近线方程和离心率，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先根据a＞1，b＞1判断lga、lgb的符号，再由基本不等式可求得最小值．‎ ‎【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0‎ ‎∴lga•lgb≤（）2=（）2=1‎ 当且仅当a=b=10时等号成立 即lga•lgb的最大值是1‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式的应用．在应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”的要求．‎ ‎　‎ ‎8．已知数列{an}：a1=1，，则an=（　　）‎ A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知数列递推式可得数列{an+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：由，‎ 得an+1+3=2（an+3），‎ ‎∵a1+3=4≠0，‎ ‎∴数列{an+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，‎ 则，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（　　）‎ A．2﹣ B．﹣1 C．3+2 D．3﹣2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心，可得a+b=1．再根据+=+=3++，利用基本不等式求得它的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），‎ 故有2a+2b=2，即a+b=1．‎ 再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，‎ 故+的最小值是3+2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（　　）‎ A．（﹣3，3） B．[﹣3，3] C．[﹣3，3） D．[﹣2，2]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．‎ ‎【解答】解：由z=x﹣2y得y=，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：‎ 平移直线y=，‎ 由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，‎ 代入目标函数z=x﹣2y，得z=3，‎ ‎∴目标函数z=x﹣2y的最大值是3．‎ 当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，‎ 此时z最小，‎ 由，得，即B（1，2）‎ 代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=﹣3‎ ‎∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．‎ 故﹣3≤z≤3，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎11．如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（　　）‎ A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．‎ ‎【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，‎ 设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，‎ 由定义得：|BD|=a，‎ 故∠BCD=30°，‎ 在直角三角形ACE中，‎ ‎∵|AF|=3，|AC|=3+3a，‎ ‎∴2|AE|=|AC|‎ ‎∴3+3a=6，从而得a=1，‎ ‎∵BD∥FG，‎ ‎∴，‎ 求得p=，‎ 因此抛物线方程为y2=3x，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．‎ ‎　‎ ‎12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】在锐角△ABC中，利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值．‎ ‎【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，‎ ‎∴bcsinA=bc=，‎ ‎∴bc=3，①‎ 又a=2，A是锐角，‎ ‎∴cosA==，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，‎ ‎∴b+c=2②‎ 由①②得：，‎ 解得b=c=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（2016秋•深圳期末）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B，进而利用正弦定理即可解得BC的值．‎ ‎【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，‎ ‎∴由正弦定理，可得：BC===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为　﹣5　．‎ ‎【考点】数列递推式；对数的运算性质．‎ ‎【分析】由已知数列递推式结合对数的运算性质可得数列{an}是公比为3的等比数列，由已知a2+a4+a6=9，结合等比数列的性质可得a5+a7+a9的值，代入得答案．‎ ‎【解答】解：由，得log3（3an）=log3an+1，‎ ‎∴an+1=3an，且an＞0，‎ ‎∴数列{an}是公比为3的等比数列，‎ 又a2+a4+a6=9，∴ =35．‎ ‎∴=．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了对数的运算性质，考查等比数列的性质，属中档题．‎ ‎　‎ ‎15．设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为　　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合一元二次不等式的解法建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若x∈N是的必要条件，‎ 则M⊆N，‎ 若a=1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．‎ 若a＜1，则N=（a，2﹣a），则满足，得，此时a≤﹣，‎ 若a＞1，则N=（2﹣a，a），则满足，得，此时a≥，‎ 综上，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量等式求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由题意，A（﹣c，），‎ ‎∵=2，∴，且xC﹣c=c，得xC=2c．‎ ‎∴C（2c，），代入椭圆，‎ 得，即5c2=a2，解得e=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2016秋•深圳期末）已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且满足：，（n∈N+）‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值 ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）分别在已知数列递推式中取n=1、2、3，结合an＞0求得a1，a2，a3的值；‎ ‎（2）由+an，得，两式作差后，可得{an}是首项为1，公差为1的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由，取n=1，得，‎ ‎∵an＞0，得a1=1，‎ 取n=2，得，解得a2=2，‎ 取n=3，得，解a3=3；‎ ‎（2）∵+an，①‎ ‎∴，②‎ ‎②﹣①得 （an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，‎ ‎∵an＞0，∴an+1+an＞0，则an+1﹣an=1，‎ ‎∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×1=n．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•深圳期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=2sinAcosB，进而可求，结合B为三角形内角，即可得解B的值．‎ ‎（2）由等差数列的性质可得2b=a+c=6，利用余弦定理可求ac=9，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB，‎ ‎∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，‎ ‎∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）‎ ‎∴sin（B+C）=2sinAcosB，…‎ 又A+B+C=π，‎ ‎∴sinA=2sinAcosB，…‎ ‎∴，‎ 又B为三角形内角 …（5分）‎ ‎∴…（6分）‎ ‎（2）由题意得 2b=a+c=6，…（7分） ‎ ‎ 又 ，‎ ‎∴…（9分）‎ ‎∴ac=9…（10分）‎ ‎∴…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•深圳期末）已知递增的等比数列{an}满足：a2•a3‎ ‎=8，a1+a4=9‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列，求数列{bn}的前n项的和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列的性质得到a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，由此求得首项和公比；根据等比数列的通项公式求得an=2n﹣1；‎ ‎（2）利用“错位相减法求和法”进行解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，‎ 所以a1=1，a4=8，或 a1=8，a4=1，‎ 由{an}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，‎ ‎∴，即an=2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以 所以，‎ 两式相减，得 ‎，‎ 得．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法求和法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•深圳期末）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）根据斜率之积是﹣．可得动点P的轨迹C的方程 ‎（2）设MN的中点坐标为（x0，y0），联立得到（2k2+1）x2+4kx=0，根据根与系数的关系以及点P在直线x+2y=0上即可求出斜率k，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）设，‎ 由，‎ 整理得+y2=1，x≠‎ ‎（2）设MN的中点坐标为（x0，y0），‎ 联立得（2k2+1）x2+4kx=0，‎ 所以，‎ 由x0+2y0=0，得k=1，‎ 所以直线的方程为：y=x+1‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，计算要准确，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•深圳期末）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．‎ ‎（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；‎ ‎（2）证明：CD∥EF ‎（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由AF⊥EF，得AF⊥DF，从而AF⊥平面EFDC，由此能证明平面ABEF⊥平面EFDC．‎ ‎（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．从而∠DFE=∠CEF=60°．由此能证明CD∥EF．‎ ‎（3）以E为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．‎ ‎∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，‎ ‎∵DF∩EF=F，‎ ‎∴AF⊥平面EFDC，‎ ‎∵AF⊂平面ABEF，‎ ‎∴平面ABEF⊥平面EFDC．‎ ‎（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，‎ 可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，‎ 由CE⊥BE，BE⊥EF，‎ 可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．‎ 可得∠DFE=∠CEF=60°．‎ ‎∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，‎ ‎∴AB∥平面EFDC，‎ ‎∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴AB∥CD，∴CD∥EF．‎ 解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，‎ 则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，），A（2a，2a，0），‎ ‎∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，），=（﹣2a，0，0），‎ 设平面BEC的法向量=（x1，y1，z1），‎ 则，取x1=，则=（），‎ 设平面ABC的法向量为=（x，y，z），‎ 则，取y=，得，‎ 设二面角E﹣BC﹣A的平面角为θ．‎ 则cosθ===﹣，‎ ‎∴二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．‎ ‎【点评】本题考查面面垂直、线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016•宁波校级模拟）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．‎ ‎（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求得焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标，运用代入法消去k，即可得到所求轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）求得D，E和G的坐标，|DG|和|ME|的长，以及D点到直线AB的距离，运用四边形的面积公式，结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，‎ 设AB：y=kx+1，‎ 联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y），‎ 则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，‎ 所以，‎ 所以，‎ 消去k，得重心G的轨迹方程为；‎ ‎（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，‎ 因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），‎ ‎，‎ D点到直线AB的距离，‎ 所以四边形DEMG的面积，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 此时四边形DEMG的面积最小，‎ 所求的直线AB的方程为．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查四边形面积的最值的求法，注意运用弦长公式和点到直线的距离和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎