数学卷·2017届江苏省泰州市姜堰中学（姜堰区)高三上学期期中考试（2016

数学卷·2017届江苏省泰州市姜堰中学（姜堰区)高三上学期期中考试（2016

‎2016-2017学年度第二学期期中考试 高三数学试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：160分）‎ 命题人、审核：姜堰区高中数学工作室 ‎ 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．）‎ ‎1．设集合，则 ▲ .‎ ‎2．函数的定义域是 ▲ .‎ ‎3．函数的值域为 ▲ .‎ ‎4．已知函数，则导函数值 ▲ .‎ ‎5．若，则 ▲ .‎ ‎6．在中，若，则 ▲ .‎ ‎7．设向量，且，则 ▲ .‎ ‎8．已知为等差数列，为其前项和，若，则 ▲ .‎ ‎9．关于的不等式的解集为，且，则的值为 ▲ .‎ ‎10．函数的最小值为 ▲ .‎ ‎11．已知函数的导函数为，若的图象如图，则函数的单调增区间为 ▲ .‎ ‎12．在矩形中，，边上（包含端点）的动点与延长线上（包含点）的动点满足，则的最小值是 ▲ .‎ ‎13．各项均为正数的等比数列满足，则的取值范围是 ‎ ▲ .‎ ‎14．若实数满足，则的最小值为 ▲ .‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求最小正周期；‎ ‎（2）当时，求函数的值域；‎ ‎（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求的解析式.‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 设的内角所对的边分别为.已知.‎ ‎（1）求的周长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 已知函数，实数满足，设.‎ ‎（1）当函数的定义域为时，求的值域；‎ ‎（2）求函数关系式（无需求函数的定义域）.‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角，其中．现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片(不计损耗) ，，且点在弧上．点在斜边上,分别交于．设.‎ ‎（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式，并写出其定义域；‎ A D O F C H E B θ M N ‎ ‎（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足．‎ ‎①求数列的通项公式；‎ ‎②是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知常数，函数.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎ （2）讨论在上的单调性；‎ ‎ （3）若f (x)在上存在两个极值点，且，求实数的取值范围．（参考公式：）‎ ‎2016-2017学年度第二学期期中考试 高三数学参考答案 ‎1. 2. 3. 4.2 5. 6. 7. ‎ ‎8.6 9. 10.3 11. 或 12. ‎ ‎13． 14. ‎ ‎15．解：‎ ‎ ---4分 ‎ ‎（1）所以最小正周期 ---6分 ‎（2）当时，，，‎ 所以的值域为 ---10分 ‎（3）将函数的图象向右平移个单位，‎ 得到 ---14分 ‎16．解：（1）由余弦定理可得，，‎ 所以 ---4分 所以的周长为5. ---6分 ‎（2）在中，因为，所以 ---7分 由正弦定理，可得, ---10分 由余弦定理得 ---12分 所以 ---14分 ‎17．（1）令，当时，， --3分 函数可化简为，可以判断在上单调递增，所以的值域为，‎ 即的值域在的值域为. --7分 ‎（2）由可得，‎ 化简得， --10分 因为，所以，即，. --14分 ‎18．（1）因为，所以 --4分 所以 --7分 ‎（2） ‎ ‎ ， --9分 当，单调递增, ‎ 当，单调递减, --12分 所以当且仅当时，. --16分 答：当时，梯形铁片ABCD的面积S最大，最大值为 ‎ ‎19． 解：（1）设数列的公差为，则．‎ 由，得，‎ 解得或（舍去），所以 --5分 ‎（2）①因为，‎ 所以，‎ 所以 累加得，所以 --9分 也符合上式．故． --10分 ‎②假设存在正整数，使得成等差数列，则．‎ 又，‎ 所以 ‎ 化简得 --12分 当，即时，（舍去）；‎ 当，即时，，符合题意．‎ 所以存在正整数，，使得成等差数列． --16分 ‎20. 解：(1) 当时，，当 ‎ 所以，在点处的切线方程为 --4分 ‎（2）由题意可知：‎ 当时，，此时，在区间上单调递增． --6分 当0＜a＜1时，由f ¢(x)＝0得：x1＝ （x2＝－＜0舍去） 当x∈(0, x1)时，f ¢(x)＜0；当x∈(x1,＋∞)时，f ¢(x)＞0. 故f (x)在区间(0, x1)上单调递减，在区间(x1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≥1时，f (x)在区间(0,＋∞)上单调递增； --8分 当0‎ ‎＜a＜1时，f (x)在区间(0, )上单调递减，在区间(,＋∞)上单调递增． --10分 （3）由（2）知，当a≥1时，f ¢(x)≥0，此时f (x)不存在极值点， 因而要使得f (x)有两个极值点，必有0＜a＜1. 又∵f (x)的极值点只可能是x1＝和x2＝－， 由g(x)的定义可知，x＞－且x≠－2，∴－＞－且x≠2 解得：0＜a＜或＜a＜1 --12分 此时，由（）式易知，x1, x2分别是f (x)的极小值点和极大值点． 而g(x1)＋g(x2)＝ln(ax1＋1)(ax2＋1)－－ ＝ln[a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1]－＝ln(2a－1)2－ ＝ln(2a－1)2－－2 --14分 令x＝2a－1，由0＜a＜且a≠知，当0＜a＜时，－1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1 ，记h(x)＝lnx2＋－2． ①当－1＜x＜0时，h(x)＝2ln(－x)＋－2， 设t＝－x∈(0,1)，j(t)＝2lnt－－2单调递增 ∴j(t)＜j(1)＝－4＜0 ∴h(x)＜－4＜0，故当0＜a＜时，g(x1)＋g(x2)＜0，不合题意，舍去． ②当0＜x＜1时，h(x)＝2lnx＋－2，∴h¢(x)＝－＝＜0， ∴h(x)在(0,1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)＝0，故当＜a＜1时，g(x1)＋g(x2)＞0． 综上，a的取值范围为． --16分 姜堰区2016-2017学年度第二学期期中考试 高三数学试题（附加题）‎ ‎（考试时间：30分钟 总分：40分）‎ 命题人、审核人：高中数学工作室 ‎ 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.‎ ‎1．（本题满分10分）‎ 已知集合.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎2.（本题满分10分）‎ 已知向量，若，求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）的值.‎ ‎3.（本题满分10分）‎ 已知函数，试求的单调区间；‎ ‎4．（本题满分10分）‎ 已知数列的前项和，是等差数列，且 ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎2016-2017学年度第二学期期中考试 高三数学（附加题）参考答案 ‎1.解：（1）解不等式得，即， ---5分 ‎（2）因为，所以，所以 ---10分 ‎2．因为，且，‎ 所以，所以； ---2分 又因为，所以; ‎ ‎（1） ---4分 ‎（2） ---4分 ‎3.解： 由已知条件可得， ---2分 ‎（1）当时，，函数在上单调递增； ---4分 ‎（2）当时，由，得或，‎ ‎①若，则，此时，‎ 函数在上单调递减； ---6分 ‎②若，则，由，解得，由，解得，所以函数在上单调递增，在与上单调递减； ---8分 ‎③若，则，同理可得，函数在上单调递增，在与上单调递减. ---10分 综上所述①当时，函数在上单调递增；‎ ‎②当时，函数在上单调递减；‎ ‎③当时，函数的增区间为，减区间为与；‎ ‎④当时，函数在上单调递增，在与上单调递减.‎ ‎4. （1）由题意当时，，当时，；‎ 所以； ---2分 设数列的首项为，公差为，由，即，‎ 解得，所以 ---5分 ‎（2）由（1）知，又，即，‎ 所以，‎ 以上两式两边相减得 ‎.‎ 所以. ---10分