2010年湖北省黄石市中考数学试卷

2010年湖北省黄石市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2010•黄石）﹣2的相反数是（　　）‎ ‎ A、﹣2 B、﹣‎‎1‎‎2‎ ‎ C、‎1‎‎2‎ D、2‎ 考点：相反数。‎ 分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．‎ 解答：解：﹣2的相反数是2．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎2、（2010•黄石）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、a2•a3=a6 B、（a2）3=a5‎ ‎ C、a2+a2=2a2 D、a3÷a=a3‎ 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；加法的看是不是同类项，是同类项的只把系数相加减，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变，指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、应为a2•a3=a5，故本选项错误；‎ B、应为（a2）3=a6，故本选项错误；‎ C、a2+a2=2a2，正确；‎ D、应为a3÷a=a2，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．‎ ‎3、（2010•黄石）已知x＜1，则x‎2‎‎﹣2x+1‎化简的结果是（　　）‎ ‎ A、x﹣1 B、x+1‎ ‎ C、﹣x﹣1 D、1﹣x 考点：二次根式的性质与化简。‎ 分析：先进行因式分解，x2﹣2x+1=（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．‎ 解答：解：‎x‎2‎‎﹣2x+1‎ ‎=‎‎（x﹣1）‎‎2‎ ‎=|x﹣1|‎ ‎∵x＜1，‎ ‎∴原式=﹣（x﹣1）=1﹣x，‎ 故选D．‎ 点评：根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．‎ ‎4、（2010•黄石）不等式组‎&﹣x＜0‎‎&5﹣x＞0‎的正整数解的个数是（　　）‎ ‎ A、2个 B、3个 ‎ C、4个 D、5个 考点：一元一次不等式组的整数解。‎ 分析：首先求得不等式的解集，再在解集中找到正整数即可．‎ 解答：解：不等式组‎&﹣x＜0‎‎&5﹣x＞0‎得到：0＜x＜5．‎ 因而正整数解是：1，2，3，4共4个．‎ 故选C．‎ 点评：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎5、（2010•黄石）下面既是轴对称又是中心对称的几何图形是（　　）‎ ‎ A、角 B、等腰三角形 ‎ C、平行四边形 D、正方形 考点：中心对称图形；轴对称图形。‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念和角、等腰三角形、平行四边形、正方形的性质求解．‎ 解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形．‎ 故选D．‎ 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎6、（2010•黄石）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，则在该正方体中，和“崇”相对的面上写的汉字是（　　）‎ ‎ A、低 B、碳 ‎ C、生 D、活 考点：专题：正方体相对两个面上的文字。‎ 分析：根据正方形展开图相对的面应相隔一个面作答．‎ 解答：解：和“崇”相隔一个面的面为“低”，故选A．‎ 点评：解决本题的关键是理解正方体侧面展开图相对的面之间应相隔一个面．‎ ‎7、（2010•黄石）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=‎3‎，则AD的长为（　　）‎ ‎ A、‎3‎‎2‎‎3‎ B、2‎ ‎ C、3 D、‎‎2‎‎3‎ 考点：直角梯形。‎ 分析：设所求边AD=x，利用勾股定理求AC，再根据条件证明△ABC∽△DCA，利用相似三角形对应边的比相等，列方程求x即可．‎ 解答：解：设AD=x，在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AC=‎x‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACB，‎ 又∵∠ADC=∠BAC=90°，‎ ‎∴△ABC∽△DCA，‎ ‎∴ABCD=ACAD，即‎2‎‎3‎=x‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎x，‎ 解得x=3（舍去负值），即AD=3，故选C．‎ 点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质在梯形中的运用．‎ ‎8、（2010•黄石）如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎3‎ B、‎‎3‎‎6‎ ‎ C、‎3‎‎3‎ D、‎‎3‎‎4‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：易得圆的半径为1，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．‎ 解答：解：易得AC=2OA×cos30°=‎3‎，‎ ‎∴BC=‎60π×‎‎3‎‎180‎=‎3‎‎3‎π，‎ ‎∴圆锥的底面圆的半径=‎3‎‎3‎π÷2π=‎3‎‎6‎，故选B．‎ 点评：应用的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；难点是得到扇形的半径．‎ ‎9、（2010•黄石）同时投掷两个质地均匀的骰子，出现的点数之和为3的倍数的概率为（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎2‎ B、‎‎1‎‎3‎ ‎ C、‎2‎‎9‎ D、‎‎7‎‎18‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，看点数之和为3的倍数的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：列表得：共有36种情况，点数之和为3的倍数的情况有12种情况，所以出现的点数之和为3的倍数的概率为‎1‎‎3‎，故选B．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验；易错点是准确找到所求情况的多少．‎ ‎10、（2010•黄石）如图，反比例函数y=‎kx（k＞0）与一次函数y=‎1‎‎2‎x+b的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1﹣x2|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为（　　）‎ ‎ A、k=‎1‎‎2‎，b=2 B、k=‎4‎‎9‎，b=1‎ ‎ C、k=‎1‎‎3‎，b=‎1‎‎3‎ D、k=‎4‎‎9‎，b=‎‎1‎‎3‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：首先由AC=2BC，可得出A点的横坐标是B点横坐标的两倍．再由|x1﹣x2|=2，可求出A点与B点的横坐标，然后根据点A、点B既在一次函数y=‎1‎‎2‎x+b的图象上，又在反比例函数y=‎kx（k＞0）的图象上，可求出k、b的值．‎ 解答：解：∵AC=2BC，‎ ‎∴A点的横坐标是B点横坐标的两倍．‎ ‎∵点A、点B都在一次函数y=‎1‎‎2‎x+b的图象上，‎ ‎∴可设B（m，‎1‎‎2‎m+b），则A（﹣2m，﹣m+b）．‎ ‎∵|x1﹣x2|=2，‎ ‎∴m﹣（﹣2m）=2，‎ ‎∴m=‎2‎‎3‎．‎ 又∵点A、点B都在反比例函数y=‎kx（k＞0）的图象上，‎ ‎∴‎2‎‎3‎（‎1‎‎3‎+b）=（﹣‎4‎‎3‎）（﹣‎2‎‎3‎+b），‎ ‎∴b=‎1‎‎3‎；‎ ‎∴k=‎2‎‎3‎（‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎）=‎4‎‎9‎．‎ 故选D．‎ 点评：此题综合考查了反比例函数、一次函数的性质，注意通过解方程组求出k、b的值．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11、（2010•黄石）分解因式：4x2﹣9= ．‎ 考点：因式分解-运用公式法。‎ 分析：先整理成平方差公式的形式．再利用平方差公式进行分解因式．‎ 解答：解：4x2﹣9=（2x﹣3）（2x+3）．‎ 点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．‎ ‎12、（2010•黄石）盒子中装有7个红球，2个黄球和1个蓝球，每个球除颜色外没有其它的区别，从中任意摸出一个球，这个球不是红球的概率为 ．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：从袋子中随机摸出一个球，摸到不是同一个球即认为是不同的情况，则有10种情况，而摸到的球不是红球的有3种，根据概率公式即可求解．‎ 解答：解：摸到的球不是红球的概率是‎3‎‎10‎．‎ 点评：一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．理解：摸到不是同一个球即认为是不同的情况，是解决本题的关键．‎ ‎13、（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为 °．‎ 考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。‎ 分析：根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．‎ 解答：解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=75°，‎ ‎∵AB的垂直平分线交AC于D，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴∠A=∠ABD=30°，‎ ‎∴∠BDC=60°，‎ ‎∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．‎ 故填45．‎ 点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．‎ ‎14、（2010•黄石）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=60°，则sin∠ADC= ．‎ 考点：锐角三角函数的定义；垂径定理；圆周角定理。‎ 分析：根据OA⊥BC，可以得到弧AB=弧AC，根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得∠ADC的度数，即可求得三角函数值．‎ 解答：解：∵OA⊥BC，‎ ‎∴弧AB=弧AC．‎ ‎∴∠ADC=‎1‎‎2‎∠AOB=30°．‎ ‎∴sin∠ADC=sin30°=‎1‎‎2‎．‎ 点评：本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，以及特殊角的三角函数值．‎ ‎15、（2010•黄石）将函数y=﹣6x的图象l1向上平移5个单位得直线l2，则直线l2与坐标轴围成的三角形面积为 ．‎ 考点：一次函数图象与几何变换。‎ 专题：计算题。‎ 分析：易得l2的解析式，那么常数项为y轴上的截距，让纵坐标为0可得与x轴的交点，围成三角形的面积=‎1‎‎2‎×x轴交点的绝对值×y轴交点的绝对值．‎ 解答：解：由题意得l2的解析式为：y=﹣6x+5，‎ ‎∴与y轴的交点为（0，5），‎ 与x轴的交点为（‎5‎‎6‎，0），‎ ‎∴所求三角形的面积=‎1‎‎2‎×5×‎5‎‎6‎=‎25‎‎12‎．‎ 点评：考查的知识点为：一次函数向上平移，常数项加相应的单位，注意熟练掌握直线与坐标轴围成三角形的面积=‎1‎‎2‎×x轴交点的绝对值×y轴交点的绝对值．‎ ‎16、（2010•黄石）若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为 ．‎ 考点：一元一次不等式的应用。‎ 分析：首先理解“可连数”的概念，再分别考虑个位、十位、百位满足的数，用排列组合的思想求解．‎ 解答：解：个位需要满足：n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，n可取0，1，2，三个数．‎ 十位需要满足：n+n+n＜10，即n＜3.3，n可取0，1，2，3，四个数（假设0n就是n）‎ 因为是小于200的“可连数”，故百位需要满足：小于2，则n可取0，1两个数．‎ 故小于200的“可连数”共有的个数=4×3×2=24．‎ 点评：解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解，还要掌握排列组合的解法．‎ 三、解答题（共9小题，满分72分）‎ ‎17、（2010•黄石）计算：（2﹣‎3‎）（2+‎3‎）+（﹣1）2010‎‎（‎2‎﹣π‎）‎‎0‎﹣（‎‎1‎‎2‎‎）‎‎﹣1‎ 考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂。‎ 分析：本题涉及零指数幂、乘方、负指数、二次根式四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：解：原式=4﹣3+1×1﹣2=1+1﹣2=0．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎18、（2010•黄石）先化简，再求值：‎（‎1‎a﹣b+‎1‎b+a）÷‎aba+b，其中a=‎2‎+1，b=‎2‎．‎ 考点：二次根式的化简求值；分式的化简求值。‎ 分析：先计算括号里的，再把分子分母分解因式，然后约分即可．‎ 解答：原式=‎‎（b+a）+（a﹣b）‎‎（a﹣b）（b+a）‎‎•‎a+bab ‎=‎2‎‎（a﹣b）b，‎ ‎∵‎a=‎2‎+1，b=‎‎2‎ ‎∴原式=‎2‎‎（‎2‎+1﹣‎2‎）‎‎2‎=‎2‎‎2‎=‎‎2‎．‎ 点评：注意做这类题一定要先化简再求值．‎ ‎19、（2010•黄石）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，求证AF⊥DE．‎ 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：由题意先证明△ADE≌△BAF，得出∠EDA=∠FAB，再根据∠ADE+∠AED=90°，推得∠FAE+∠AED=90°，从而证出AF⊥DE．‎ 解答：证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴DA=AB∠DAE=∠ABF=90°，‎ 又∵AE=BF，‎ ‎∴△DAE≌△ABE，‎ ‎∴∠ADE=∠BAF，（4分）‎ ‎∵∠ADE+∠AED=90°，‎ ‎∴∠FAE+∠AED=90°，‎ ‎∴AF⊥DE ．（3分）‎ 点评：本题考查了正方形的性质以及全等三角形．‎ ‎20、（2010•黄石）解方程组：‎&x‎2‎+y‎2‎﹣2x﹣4y=0‎‎&2x﹣y﹣4=0‎．‎ 考点：高次方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：由第二个方程可知y=2x﹣4，代入第一个方程可得一个关于y的一元二次方程，进行解答，求出y值，再进一步求x的值，综合即可得答案．‎ 解答：解：原方程组可变形为：‎‎&x‎2‎‎+y‎2‎﹣2x﹣4y=0①‎‎&y=2x﹣4②‎ 将②代入①并整理得：5x2﹣26x+32=0；‎ 解之得x=2或‎16‎‎5‎；‎ 分别代入y=2x﹣4可得：y=0或‎12‎‎5‎；‎ 故方程组的解为：‎&x=2‎‎&y=0‎，或‎&x=‎‎16‎‎5‎‎&y=‎‎12‎‎5‎．‎ 点评：本题考查高次方程组的解法，首先分析两方程后，一般从最简单的方程入手来找突破口．‎ ‎21、（2010•黄石）某校今年有300名初中毕业生，毕业前该校进行了一次模拟考试．学校随即抽取了50名学生的数学成绩进行了分段统计（统计图表如下），已知数学试卷满分为120分，若规定得分率：低于60%为不及格；不小于80%为优秀；不小于90%为拔尖．‎ ‎（1）请结合扇形图和统计表填写图表中缺失的数据；‎ ‎（2）根据统计数据在所给的坐标系中画出直方图；‎ ‎（3）根据样本统计的有关数据，估计在整个毕业生中，大约有多少人不及格？优秀率约为多少．‎ 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）由某类人数=总人数×所占比例，即可计算出所缺的数据；‎ ‎（2）由频率=某段人数÷总人数计算后，画出直方图．‎ ‎（2）用样本估计总体．‎ 解答：解：（1）优秀但不拔尖的人数占的比例=1﹣10%﹣20%﹣54%=16%；‎ ‎60﹣72的人数=50×20%﹣4=10﹣4=6人；‎ ‎84﹣96的人数=50×54%﹣12=15人；‎ ‎108﹣120的人数=50×10%=5人．‎ ‎（2）48﹣60的频率=4÷50=0.08‎ ‎60﹣72的频率=6÷50=0.12‎ ‎72﹣84的频率=12÷50=0.24‎ ‎84﹣96的频率=15÷50=0.3‎ ‎96﹣108的频率=8÷50=0.16‎ ‎108﹣120的频率=5÷50=0.10‎ 如图．‎ ‎（3）不及格人数约为300×20%=60（人）优秀率约为10%+16%=26%．‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎22、（2010•黄石）某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔．甲、乙两位同学想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼顶A处测得塔尖M的仰角为α，塔座N的的仰角为β；乙在一楼B处只能望到塔尖M，测得仰角为θ（望不到底座），他们知道楼高AB=20m，通过查表得：tanα=0.5723，tanβ=0.2191，tanθ=0.7489；请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度MN的值．‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：构造所给的三个角所在的直角三角形，利用相等的线段及相应的三角函数表示出MN，MD，ME，进而用MD，ME表示出楼高AB，求得相等的线段的长度，进而求得塔高即可．‎ 解答：解：如图，设地平线BD，水平线AE分别交直线MN与D，E．‎ 显然AE=BD，不妨设为m，则在Rt△AEM中，ME=mtana．‎ 在Rt△AEN中，NE=mtanβ，‎ ‎∴MN=m（tana﹣tanβ）．‎ 在Rt△BDM中，MD=mtanθ，‎ 而AB=DE=MD﹣ME=m（tanθ﹣tana），‎ ‎∴m=‎ABtanθ﹣tana，‎ ‎∴MN=AB（tana﹣tanβ）‎tanθ﹣tana．‎ ‎∵AB=20，tana=0.5723，tanβ=0.2191 tanθ=0.7489，‎ ‎∴MN=40（m）．‎ ‎∴可测得铁塔的高度MN=40m．‎ 点评：解决本题的难点是构造所给角所在的直角三角形，关键是利用相等的线段表示出已知线段的长度．‎ ‎23、（2010•黄石）甲、乙两位同学住在同一小区，在同一中学读书，一天恰好在同一时间骑自行车沿同一线路上学，小区离学校有9km，甲以匀速行驶，花了30min到校，乙的行程信息如图中折线O﹣A﹣B﹣C所示，分别用y1，y2表示甲、乙在时间x（min）时的行程，请回答下列问题：‎ ‎（1）分别用含x的解析式表示y1，y2（标明x的范围），并在图中画出函数y1的图象；‎ ‎（2）甲、乙两人在途中有几次相遇？分别是出发后的多长时间相遇．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）小区离学校有9km，甲以匀速行驶，花了30min到校，故y1行程与时间的函数关系式是正比例函数．由图形可以看出y2图象由三部分组成，写出该定义域各个函数关系式．（2）若要途中相遇，则路程相等，联合函数解析式解出交点，就能求出时间．‎ 解答：解：（1）y‎1‎‎=‎3‎‎10‎x（0≤x≤30）‎甲的图象为线段OD，‎ 解A（5，2），B（13，2），C（27，9）得 y‎2‎‎=‎‎&‎2‎‎5‎x（0≤x＜5‎‎&）‎‎&‎1‎‎2‎x﹣‎9‎‎2‎（13≤x≤27）‎‎，当5≤x≤13，y2=2；‎ ‎（2）由‎&y=2‎‎&y=‎3‎‎10‎x得x=‎‎20‎‎3‎，‎ 由‎&y=‎3‎‎10‎x‎&y=‎1‎‎2‎x﹣‎‎9‎‎2‎得x=‎‎45‎‎2‎，甲，乙在途中有两次相遇，相遇时间分别为出发后6分40秒，22分30‎ 秒．‎ 点评：本题主要考查一次函数的应用，由图象写出函数解析式，联合函数解析式求出交点．‎ ‎24、（2010•黄石）在△ABC中，分别以AB、BC为直径⊙O1、⊙O2，交于另一点D．‎ ‎（1）证明：交点D必在AC上；‎ ‎（2）如图甲，当⊙O1与⊙O2半径之比为4：3，且DO2与⊙O1相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠O2DB的值；‎ ‎（3）如图乙，当⊙O1经过点O2，AB、DO2的延长线交于E，且BE=BD时，求∠A的度数．‎ 考点：切线的性质；三角形的外角性质；三角形中位线定理；圆周角定理。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：（1）由于AB、BC分别是两个圆的直径，根据圆周角定理知∠ADB、∠BDC都是直角，因此A、D、C三点共线，即D必在AC上．‎ ‎（2）根据等边对等角以及弦切角定理，可证得∠O2BD=∠O2DB=∠A，而∠A+∠ABD=90°，故∠O2B+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，因此△ABC是直角三角形；‎ 上面已经证得∠O2DB=∠A，那么它们的正切值相同，已知了两圆的半径比，即可在Rt△ABC中，求出∠A的正切值，由此得解．‎ ‎（3）连接O1O2，则O1O2是△ABC的中位线，所以AC=2O1O2=AB，即∠ACB=∠ABC；在△BDE中，BD=BE，可设∠O2BD=x，则∠O2DB=∠E=x，而△BDE的外角∠ABD=2x，∠ABC=∠C=3x，在Rt△CBD中，由于∠C与∠DBC互余，由此可求出x的度数，即可得到∠C、∠ABC的度数，根据三角形内角和定理即可求得∠A的度数．‎ 解答：（1）证明：∵AB为⊙O1的直径，‎ ‎∴∠AOB=90°，同理∠BDC=90°，‎ ‎∴∠ADC=180°，‎ ‎∴点D在AC上．‎ ‎（2）解：如图甲，△ABC是以∠B为直角的直角三角形．‎ 连接O1D，O1O2，∵DO2是⊙O1的切线，‎ ‎∴∠O1DO2=90°，‎ ‎∵O1D=O1B，O2D=O2B，O1O2公共，‎ ‎∴△O1BO2≌△O1DO2，‎ ‎∴∠O1BO2=∠O1DO2=90°，∴△ABC为直角三角形．‎ 又∵BD⊥AC，‎ ‎∴∠O2DB=∠O2BD=∠A，‎ ‎∴tan∠O2DB=tan∠A=BCAC=‎3‎‎4‎．‎ ‎（3）解：如图乙，连接O1O2，则AC=2O1O2=AB；‎ 令∠O2BD=x，则∠O2BD=∠O2DB=x，‎ ‎∵BD=BE，‎ ‎∴∠E=x，‎ ‎∴∠ABD=∠E+∠BDE=2x，∠ACB=∠ABC=3x；‎ ‎∵BC为⊙O2直径，∴∠DBC+∠C=4x=90°，‎ ‎∴∠A=180°﹣6x=45°．‎ 点评：此题考查了圆周角定理、切线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理以及切线的性质等重要知识点，综合性强，难度较大．‎ ‎25、（2010•黄石）已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．‎ ‎（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；‎ ‎（2）当AB=2‎2‎，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；‎ ‎（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．‎ ‎①当AB=2‎2‎，且抛物线与直线的一个交点在y轴时，求S（t）的最大值，以及此时点P的坐标；‎ ‎②当AB=m（正常数）时，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此时点P的坐标（t，T）满足的关系，若不存在说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）若AB的中点落在y轴上，那么A、B的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A、B的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c的取值范围；‎ ‎（2）由于直线AB的斜率为1，当AB=2‎2‎时，A、B两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x的方程，那么A、B的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b、c的关系式，即可得到c的最小值以及对应的b的值，由此可确定抛物线的解析式；‎ ‎（3）①在（2）中已经求得了b、c的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y轴，那么c=1，可据此求出b的值；进而可确定抛物线的解析式，过P作PQ∥y轴，交AB于Q，可根据抛物线和直线AB的解析式表示出P、Q的纵坐标，进而可求出PQ的表达式，以PQ为底，A、B横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB的面积，进而可得出关于S（t）和t的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB的最大面积及对应的P点坐标；‎ ‎②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．‎ 解答：解：（1）由x2+bx+c=x+1得x2+（b﹣1）x+c﹣1=0①‎ 设交点A（x1，y1）B（x2，y2） （x1＜x2）‎ 由题意x1，x2是方程①的两个不同的实根，‎ 且x1+x2=0，‎ 故‎&b﹣1=0‎‎&△=（b﹣1‎）‎‎2‎﹣4（c﹣1）＞0‎ ‎∴c＜1；（3分）‎ ‎（2）∵AB=2‎‎2‎，如图可知 ‎|x1﹣x2|=2即（x1+x2）2﹣4x1x2=4‎ 由（1）可知x1+x2=﹣（b﹣1），x1x2=c﹣1.‎ 代入上式得：（b﹣1）2﹣4（c﹣1）=4‎ ‎∴c=‎1‎‎4‎（b﹣1‎）‎‎2‎≥0∴c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x‎2‎+x（3分）‎ ‎（3）①∵AB=2‎2‎由（2）知c=‎1‎‎4‎（b﹣1‎）‎‎2‎成立．‎ 又抛物线与直线的交点在y轴时这一交点为（0，1）即c=1；‎ ‎∴‎1‎‎4‎‎（b﹣1‎）‎‎2‎=1∴b=﹣1或3‎；‎ 当b=﹣1时，y=x2﹣x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：‎ P（t，t2﹣t+1），Q（t，t+2）；‎ ‎∴PQ=t+1﹣（t2﹣t+1）=﹣t2+2t；‎ ‎∴S（t）=‎1‎‎2‎PQ×‎2‎‎2‎AB=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1；‎ 当t=1时，S（t）有最大值，且S（t）最大=1，此时P（1，1）；‎ 当b=3时，y=x2+3x+1，同上可求得：‎ S（t）=‎1‎‎2‎PQ×‎2‎‎2‎AB=﹣t2﹣2t=﹣（t+1）2+1；‎ 当t=﹣1时，S（t）有最大值，且S（t）最大=1，此时P（﹣1，﹣1）；‎ 故当P点坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）时，S（t）最大，且最大值为1；‎ ‎②同（2）可得：（b﹣1）2﹣4（c﹣1）=m‎2‎‎2‎，‎ 由题意知：c=1，则有：‎ ‎（b﹣1）2=m‎2‎‎2‎，即b=1±‎2‎m‎2‎；‎ 当b=1+‎2‎m‎2‎时，y=x2+（1+‎2‎‎2‎m）x+1，‎ ‎∴P（t，t2+（1+‎2‎m‎2‎）t+1），Q（t，t+1）；‎ ‎∴PQ=t+1﹣[t2+（1+‎2‎m‎2‎）t+1]=﹣t2﹣‎2‎‎2‎mt；‎ ‎∴S（t）=‎1‎‎2‎PQ×‎2‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎（﹣t2﹣‎2‎‎2‎mt）×‎2‎‎2‎m=﹣‎2‎‎4‎m（t+‎2‎‎4‎m）2+‎2‎‎8‎m3；‎ ‎∴当t=﹣‎2‎‎4‎m时，S（t）最大=‎2‎‎8‎m3，‎ 此时P（﹣‎2‎‎4‎m，﹣m‎2‎‎8‎﹣‎2‎‎4‎m+1）；‎ 当b=1﹣‎2‎m‎2‎时，y=x2+（1﹣‎2‎m‎2‎）x+1，同上可求得：‎ S（t）=﹣‎2‎‎4‎m（t﹣‎2‎‎4‎m）2+‎2‎‎8‎m3；‎ ‎∴当t=‎2‎‎4‎m时，S（t）最大=‎2‎‎8‎m3，‎ 此时P（‎2‎‎4‎m，﹣m‎2‎‎8‎+‎2‎‎4‎m+1）；‎ 故当P（﹣‎2‎‎4‎m，﹣m‎2‎‎8‎﹣‎2‎‎4‎m+1）或（‎2‎‎4‎m，﹣m‎2‎‎8‎+‎2‎‎4‎m+1）时，S（t）有最大值，且最大值为‎2‎‎8‎m3．‎ 点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；zhehe；lzhzkkxx；张伟东；zhjh；lanchong；MMCH；zhangCF；haoyujun；lbz；bjy；wdyzwbf；nhx600；yangjigang；huangling；lanyuemeng；HJJ；路斐斐。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日