专题37 两直线位置关系-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

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文档介绍

专题37 两直线位置关系-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 两直线位置关系,是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高,一般从下面三个方面命题:一是利用直线方程判定两条直线的位置关系;二是利用两条直线间的位置关系求直线方程;三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目,但大都是客观题出现.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 两条直线的平行与垂直问题 使用情景:关于两直线的平行于垂直的问题 解题模板:第一步 直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解;‎ 第二步 得出结论.‎ 例1. 若直线和直线互相垂直,则的值为( )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】C.‎ 考点:若两直线垂直,斜率存在时,其乘积为.‎ ‎【点评】在两直线的斜率存在的情况下,两直线垂直其斜率的乘积等于-1.若斜率不存在时,另一直线的斜率为0也满足条件,这是解决这道题的易错点.‎ 例2 若直线与平行,则的值为( )‎ A.1 B.‎-3 ‎‎ C.0或 D.1或-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由题设可得,解之得或.当 时两直线重合,故应舍去,故应选A.‎ 考点:两直线平行的条件及运用. ‎ ‎【点评】在两直线的斜率存在的情况下,两直线平行其斜率相等.‎ ‎【变式演练1】已知直线与直线平行,则的值是( )‎ A. B. C.- D. ‎ ‎【答案】A 考点:直线平行的判定 ‎【变式演练2】设直线和直线,则直线与直线的位置关系为( )‎ A.平行 B.重合 C.垂直 D.以上都不是 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点:两直线位置关系(平行).‎ ‎【变式演练3】已知点A(m-1,2),B(1,1),C(3,m2-m-1).‎ ‎(1)若A,B,C三点共线,求实数m的值;‎ ‎(2)若AB⊥BC,求实数m的值.‎ ‎【答案】(1) m=1或1-或1+.(2) m的值为2或-3.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由三点共线得斜率相等,列方程求解即可;‎ ‎(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在时两种情况,存在时斜率乘积为-1即可.‎ 试题解析:‎ ‎(1)因为A,B,C三点共线,且xB≠xC,则该直线斜率存在,‎ 则kBC=kAB,即,解得m=1或1-或1+.‎ ‎(2)由已知,得kBC=,且xA-xB=m-2.‎ ‎①当m-2=0,即m=2时,直线AB的斜率不存在,此时kBC=0,于是AB⊥BC;‎ ‎②当m-2≠0,即m≠2时,kAB=,‎ 由kAB·kBC=-1,得=-1,‎ 解得m=-3. ‎ 综上,可得实数m的值为2或-3.‎ 类型二 关于两条直线的交点问题 使用情景:两直线相交问题 解题模板:第一步 联立两直线的方程并求解;‎ 第二步 其方程组的解即为两直线的交点的坐标;‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 过两直线和的交点和原点的直线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【变式演练4】设点,若直线与线段没有交点,则的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:直线过定点,,若直线直线与线段有交点,根据图象可知或,若直线与线段没有交点,则,即,解得:,选B.‎ 考点:直线间的位置关系.‎ ‎【变式演练5】直线l:y=px(p是不等于0的整数)与直线y=x+10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数),那么满足条件的直线l有 ( )‎ ‎(A)6条 (B)7条 (C)8条 (D)无数条 ‎【答案】B 考点:直线交点 ‎【变式演练6】已知三条直线和中没有任何两条平行,但它们不能构成三角形的三边,则实数的值为____________.‎ ‎【答案】-1‎ 考点:两条直线的交点坐标.‎ 类型三 对称问题 使用情景:点与点、点与直线、直线与直线的对称问题 解题模板:第一步 确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称;‎ 第二步 运用各自相应的对称模型进行求解;‎ 第三步 得出结论.‎ 例4.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.‎ ‎【答案】直线的方程为x+4y-4=0.‎ 考点:点关于点的对称;两直线相交问题.‎ ‎【点评】点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足 例5.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求点A关于直线l的对称点A′的坐标.‎ ‎【答案】.‎ 考点:点关于直线的对称;两直线相交问题.‎ ‎【点评】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.‎ 例6.已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.‎ ‎【答案】9x-46y+102=0.‎ ‎【点评】点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有 ‎【变式演练7】设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x, 则被y=x 反射后,反射光线所在的直线方程是( )‎ A.x+2y+3=0 B.x-2y+1=0 C.3x-2y+1=0 D.x-2y-1=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:入射光线和反射光线关于直线y=x对称,所以设入射光线上的任意两个点(0,1),(1,3)其关于直线y=x对称的两个点的坐标分别为(1,0),(3,1)且这两个点在反射光线上,由两点式可求出反射光线所在的直线方程为 x-2y-1=0.‎ 考点:直线的对称性;‚求直线方程.‎ ‎【方法点睛】从光学知识知道,入射光线与反射光线是关于镜面(即直线y=x)对称,因此本题的实质是求直线y=2x+1 关于直线y=x对称的直线方程.方法有二:一、在直线y=2x+1 上任意设两个点并求其关于直线y=x对称的点的坐标,然后利用两点式即可求出所求直线的方程.二、设所求直线上任意一点坐标(x,y),求其关于直线y=x对称的点的坐标(y,x),然后代入已知直线(入射光线的直线方程)求解即可.该法的本质是相关点法求直线方程.‎ ‎【变式演练8】已知直线经过直线与直线的交点,且垂直于直线.‎ ‎(1)求直线的方程; ‎ ‎(2)求直线关于原点对称的直线方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 考点:1.直线的方程;2.直线关于点的对称问题.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2016高考上海文科】已知平行直线,则的距离_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:‎ 利用两平行线间距离公式得 考点:两平行线间距离公式.‎ ‎【名师点睛】确定两平行线间距离,关键是注意应用公式的条件,即的系数应该分别相同,本题较为容易,主要考查考生的基本运算能力. ‎ ‎2.【2015高考四川,文10】设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆C:(x-5) 2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )‎ ‎(A)(1,3) (B)(1, 4) (C)(2,3) (D)(2,4)‎ ‎【答案】D ‎【解析】不妨设直线l:x=ty+m,代入抛物线方程有:y2-4ty-4m=0,则△=16t2+16m>0‎ 又中点M(2t2+m,2t),则kMCkl=-1,即m=3-2t2,当t=0时,若r≥5,满足条件的直线只有1条,不合题意,若0<r<5,则斜率不存在的直线有2条,此时只需对应非零的t的直线恰有2条即可. 当t≠0时,将m=3-2t2代入△=16t2+16m,可得3-t2>0,即0<t2<3,又由圆心到直线的距离等于半径,‎ 可得d=r=,由0<t2<3,可得r∈(2,4).选D ‎【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念,考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题,考查数形结合和分类与整合的思想,考查学生分析问题和处理问题的能力.‎ ‎【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题,注意到弦的斜率不可能为0,但有可能不存在,故将直线方程设为x=ty+m,可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中,要注意图形的对称性,斜率存在时,直线必定是成对出现,因此,斜率不存在(t=0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.‎ ‎3.【2015高考重庆,文12】若点在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】圆的切线.‎ ‎【名师点睛】本题考查复数的概念和运算,采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.‎ 本题属于基础题,注意运算的准确性.‎ ‎4.【2015高考湖北,文16】如图,已知圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且. ‎ ‎ (Ⅰ)圆的标准方程为_________;‎ ‎ (Ⅱ)圆在点处的切线在轴上的截距为_________.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.‎ ‎【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来,注重实际问题的特殊性,合理的挖掘问题的实质,充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系,渗透着方程的数学思想,能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点的横坐标.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学(理)试题】与直线垂直的直线的倾斜角为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:依题意可知所求直线的斜率为,故倾斜角为.‎ 考点:直线方程与倾斜角.‎ ‎2.【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测(二模)数学(理)试题】设直线,直线,若,则 ,若,则 ‎ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因,故,即;若,则,故.故应填答案.‎ 考点:两直线平行与垂直条件的运用.‎ ‎3.已知直线, .若坐标原点到直线的距离为,判断与的位置关系.‎ ‎ 4.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】+=1.‎ ‎【解析】试题分析:设直线的方程,若满足(1)可得,联立可解,即可得方程;‎ ‎(2)若满足,可得,同样可得方程,它们公共的方程即为所求.‎ 试题解析:‎ 设直线方程为+=1(a>0,b>0),‎ 若满足条件(1),则a+b+=12,①‎ 又∵直线过点P(,2),∵+=1.②‎ 由①②可得5a2-32a+48=0,‎ 解得,或.‎ ‎∴所求直线的方程为+=1或+=1,‎ 即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.‎ 若满足条件(2),则ab=12,③‎ 由题意得,+=1,④‎ 由③④整理得a2-6a+8=0,‎ 解得,或.‎ ‎∴所求直线的方程为+=1或+=1,‎ 即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.‎ 综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.‎ ‎5.已知两定点A(2,5),B(-2,1),M(在第一象限)和N是过原点的直线l上的两个动点,且|MN|=,l∥AB,如果直线AM和BN的交点C在y轴上,求点C的坐标.‎ ‎【答案】C(0,-3)‎ ‎ 6.一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x+y+1=0上,反射后穿过点Q(1,1).‎ ‎(1)求入射光线的方程;‎ ‎(2)求这条光线从P到Q的长度.‎ ‎【答案】(1) 5x-4y+2=0. (2) ‎ 又∵M为QQ′的中点,‎ 由此得解得 ‎∴Q′(-2,-2).‎ 设入射光线与l交点为N,则P、N、Q′共线.‎ 又P(2,3),Q′(-2,-2),得入射光线的方程为,‎ 即5x-4y+2=0.‎ ‎(2)∵l是QQ′的垂直平分线,从而|NQ|=|NQ′|,‎ ‎∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=,‎ 即这条光线从P到Q的长度是.‎ ‎7. 中,边上的中线所在直线方程为,的平分线方程为.‎ ‎(1)求顶点的坐标;‎ ‎(2)求直线的方程.‎ ‎【答案】(1); (2)2x+9y-65=0.‎ 考点:直线的交点,直线方程的求法.‎ ‎8.已知平行四边形的三个顶点的坐标为,,.‎ ‎(Ⅰ)在ABC中,求边AC中线所在直线方程; ‎ ‎(Ⅱ)求平行四边形的顶点D的坐标及边BC的长度; ‎ ‎(Ⅲ)求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)8‎ ‎ ‎ ‎ 8分 ‎ ‎(3) 10分 ‎ 11分 ‎ ‎ 12分 ‎(其它正确答案请酌情给分)‎ 考点:直线的方程 ‎9.【2018陕西省黄陵中学期中】过点(2,3)的直线l被两平行直线l1:2x-5y+9=0与l2:2x-5y-7=0‎ 所截线段 AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求直线l的方程.‎ ‎【答案】4x-5y+7=0.‎ ‎ 10.【2018陕西省黄陵中学期中】在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.‎ ‎【解析】由方程组解得点A的坐标为(-1,0).‎ 又直线AB的斜率kAB=1,x轴是∠A的平分线,‎ 所以kAC=-1,则AC边所在的直线方程为y=-(x+1).①‎ 又已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,‎ 故直线BC的斜率kBC=-2,‎ 所以BC边所在的直线方程为y-2=-2(x-1).②‎ 解①②组成的方程组得 即顶点C的坐标为(5,-6).‎ ‎11.已知点直线,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.‎ ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)、是轨迹上异于坐标原点的不同两点,轨迹在点、处的切线分别为、,且,、相交于点,求点的纵坐标.‎ ‎【答案】(1)动点的轨迹方程为;(2)点的纵坐标为.‎ ‎ ‎ 考点:1.动点的轨迹方程;2.利用导数求切线方程;3.两直线的位置关系;4.两直线的交点
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