专题37 两直线位置关系-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题37 两直线位置关系-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 两直线位置关系，是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 两条直线的平行与垂直问题 使用情景：关于两直线的平行于垂直的问题 解题模板：第一步 直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解；‎ 第二步 得出结论.‎ 例1. 若直线和直线互相垂直，则的值为( )‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】C.‎ 考点：若两直线垂直，斜率存在时，其乘积为．‎ ‎【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线垂直其斜率的乘积等于-1.若斜率不存在时，另一直线的斜率为0也满足条件，这是解决这道题的易错点.‎ 例2 若直线与平行，则的值为（ ）‎ A．1 B．‎-3 ‎‎ C．0或 D．1或-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题设可得,解之得或.当 时两直线重合,故应舍去,故应选A.‎ 考点：两直线平行的条件及运用. ‎ ‎【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.‎ ‎【变式演练1】已知直线与直线平行，则的值是（ ）‎ A． B． C．- D． ‎ ‎【答案】A 考点：直线平行的判定 ‎【变式演练2】设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（ ）‎ A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：两直线位置关系（平行）．‎ ‎【变式演练3】已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．‎ ‎(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；‎ ‎(2)若AB⊥BC，求实数m的值．‎ ‎【答案】(1) m＝1或1－或1＋.(2) m的值为2或－3.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由三点共线得斜率相等，列方程求解即可；‎ ‎（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在时两种情况，存在时斜率乘积为-1即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，‎ 则kBC＝kAB，即,解得m＝1或1－或1＋.‎ ‎(2)由已知，得kBC＝，且xA－xB＝m－2.‎ ‎①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；‎ ‎②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝，‎ 由kAB·kBC＝－1，得＝－1，‎ 解得m＝－3. ‎ 综上，可得实数m的值为2或－3.‎ 类型二 关于两条直线的交点问题 使用情景：两直线相交问题 解题模板：第一步 联立两直线的方程并求解；‎ 第二步 其方程组的解即为两直线的交点的坐标；‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【变式演练4】设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：直线过定点，，若直线直线与线段有交点，根据图象可知或，若直线与线段没有交点，则，即，解得：，选B．‎ 考点：直线间的位置关系．‎ ‎【变式演练5】直线l：y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x＋10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有 （ ）‎ ‎（A）6条 （B）7条 （C）8条 （D）无数条 ‎【答案】B 考点：直线交点 ‎【变式演练6】已知三条直线和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为____________．‎ ‎【答案】－1‎ 考点：两条直线的交点坐标.‎ 类型三 对称问题 使用情景：点与点、点与直线、直线与直线的对称问题 解题模板：第一步 确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称；‎ 第二步 运用各自相应的对称模型进行求解；‎ 第三步 得出结论.‎ 例4．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．‎ ‎【答案】直线的方程为x＋4y－4＝0.‎ 考点：点关于点的对称；两直线相交问题．‎ ‎【点评】点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 例5．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标．‎ ‎【答案】.‎ 考点：点关于直线的对称；两直线相交问题．‎ ‎【点评】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．‎ 例6．已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．‎ ‎【答案】9x－46y＋102＝0.‎ ‎【点评】点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ‎【变式演练7】设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x， 则被y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）‎ A．x+2y+3=0 B．x-2y+1=0 C．3x-2y+1=0 D．x-2y-1=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：入射光线和反射光线关于直线y=x对称，所以设入射光线上的任意两个点（0，1），（1，3）其关于直线y=x对称的两个点的坐标分别为（1，0），（3，1）且这两个点在反射光线上，由两点式可求出反射光线所在的直线方程为 x-2y-1=0．‎ 考点：直线的对称性；‚求直线方程．‎ ‎【方法点睛】从光学知识知道，入射光线与反射光线是关于镜面（即直线y=x）对称，因此本题的实质是求直线y=2x+1 关于直线y=x对称的直线方程．方法有二：一、在直线y=2x+1 上任意设两个点并求其关于直线y=x对称的点的坐标，然后利用两点式即可求出所求直线的方程．二、设所求直线上任意一点坐标（x，y），求其关于直线y=x对称的点的坐标（y，x），然后代入已知直线（入射光线的直线方程）求解即可．该法的本质是相关点法求直线方程．‎ ‎【变式演练8】已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．‎ ‎（1）求直线的方程； ‎ ‎（2）求直线关于原点对称的直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 考点：1．直线的方程；2．直线关于点的对称问题．‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2016高考上海文科】已知平行直线，则的距离_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 利用两平行线间距离公式得 考点：两平行线间距离公式.‎ ‎【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力. ‎ ‎2.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5) 2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )‎ ‎(A)(1，3) (B)(1， 4) (C)(2，3) (D)(2，4)‎ ‎【答案】D ‎【解析】不妨设直线l：x＝ty＋m，代入抛物线方程有：y2－4ty－4m＝0,则△＝16t2＋16m＞0‎ 又中点M(2t2＋m，2t)，则kMCkl＝－1,即m＝3－2t2,当t＝0时，若r≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，若0＜r＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t的直线恰有2条即可. 当t≠0时，将m＝3－2t2代入△＝16t2＋16m，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3,又由圆心到直线的距离等于半径，‎ 可得d＝r＝,由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).选D ‎【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.‎ ‎【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.‎ ‎3.【2015高考重庆，文12】若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】圆的切线.‎ ‎【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.‎ 本题属于基础题，注意运算的准确性.‎ ‎4.【2015高考湖北，文16】如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且. ‎ ‎ （Ⅰ）圆的标准方程为_________；‎ ‎ （Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.‎ ‎【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点的横坐标.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】与直线垂直的直线的倾斜角为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可知所求直线的斜率为，故倾斜角为.‎ 考点：直线方程与倾斜角．‎ ‎2．【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】设直线,直线,若,则 ,若,则 ‎ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因,故,即;若,则,故.故应填答案.‎ 考点：两直线平行与垂直条件的运用．‎ ‎3．已知直线， .若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系.‎ ‎ 4．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】＋＝1.‎ ‎【解析】试题分析：设直线的方程，若满足（1）可得，联立可解，即可得方程；‎ ‎（2）若满足，可得，同样可得方程，它们公共的方程即为所求.‎ 试题解析：‎ 设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，‎ 若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，①‎ 又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②‎ 由①②可得5a2－32a＋48＝0，‎ 解得，或.‎ ‎∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，‎ 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.‎ 若满足条件(2)，则ab＝12，③‎ 由题意得，＋＝1，④‎ 由③④整理得a2－6a＋8＝0，‎ 解得，或.‎ ‎∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，‎ 即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.‎ 综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.‎ ‎5．已知两定点A（2，5），B（-2，1），M（在第一象限）和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|=，l∥AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求点C的坐标.‎ ‎【答案】C(0,-3)‎ ‎ 6．一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x＋y＋1＝0上,反射后穿过点Q(1,1).‎ ‎(1)求入射光线的方程;‎ ‎(2)求这条光线从P到Q的长度.‎ ‎【答案】(1) 5x－4y＋2＝0. (2) ‎ 又∵M为QQ′的中点,‎ 由此得解得 ‎∴Q′(－2,－2).‎ 设入射光线与l交点为N,则P、N、Q′共线.‎ 又P(2,3),Q′(－2,－2),得入射光线的方程为,‎ 即5x－4y＋2＝0.‎ ‎(2)∵l是QQ′的垂直平分线,从而|NQ|＝|NQ′|,‎ ‎∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝,‎ 即这条光线从P到Q的长度是.‎ ‎7． 中,边上的中线所在直线方程为,的平分线方程为.‎ ‎（1）求顶点的坐标；‎ ‎（2）求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）； （2）2x+9y-65=0.‎ 考点：直线的交点，直线方程的求法.‎ ‎8．已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，．‎ ‎（Ⅰ）在ABC中，求边AC中线所在直线方程； ‎ ‎（Ⅱ）求平行四边形的顶点D的坐标及边BC的长度; ‎ ‎（Ⅲ）求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）8‎ ‎ ‎ ‎ 8分 ‎ ‎（3） 10分 ‎ 11分 ‎ ‎ 12分 ‎（其它正确答案请酌情给分）‎ 考点：直线的方程 ‎9．【2018陕西省黄陵中学期中】过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0‎ 所截线段 AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，求直线l的方程．‎ ‎【答案】4x－5y＋7＝0．‎ ‎ 10．【2018陕西省黄陵中学期中】在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0．若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．‎ ‎【解析】由方程组解得点A的坐标为(－1,0)．‎ 又直线AB的斜率kAB＝1，x轴是∠A的平分线，‎ 所以kAC＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1)．①‎ 又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，‎ 故直线BC的斜率kBC＝－2，‎ 所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．②‎ 解①②组成的方程组得 即顶点C的坐标为(5，－6)．‎ ‎11.已知点直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）、是轨迹上异于坐标原点的不同两点，轨迹在点、处的切线分别为、，且，、相交于点，求点的纵坐标.‎ ‎【答案】（1）动点的轨迹方程为；（2）点的纵坐标为.‎ ‎ ‎ 考点：1.动点的轨迹方程；2.利用导数求切线方程；3.两直线的位置关系；4.两直线的交点