命题角度6-1 利用导数研究函数的单调性问题（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

命题角度6-1 利用导数研究函数的单调性问题（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度1：利用导数研究函数的单调性问题 ‎1.已知函数．‎ ‎（1）求函数图象上所有点处的切线的倾斜角范围；‎ ‎（2）若，讨论的单调性．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增；在上单调递减．‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为，，‎ 当且仅当时，等号成立，切线的倾斜角．‎ ‎（2）．‎ ‎∴，令，‎ ‎，‎ 当时，，方程两实根为，‎ ‎∴时，，∴，所以在上单调递增；‎ 当时，，方程两实根为 ‎，且 所以在上单调递增；‎ 在上单调递减；‎ 当时，，在上恒成立，所以在上单调递增．‎ 故当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递增；‎ 在上单调递减．‎ 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【方法点晴】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错．解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．‎ ‎2.已知函数在处有极值10.‎ ‎（Ⅰ）求实数， 的值；‎ ‎（Ⅱ）设时，讨论函数在区间上的单调性.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ; （Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ） ， 在处有极值10，所以且；‎ ‎（Ⅱ）求导得函数在R上的单调性，再讨论函数定义域在哪个区间即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）定义域为， ，‎ ‎∵在处有极值10.‎ ‎∴且.‎ 即 解得： 或 当， 时， ，‎ 当， 时， ，‎ ‎∴在处处有极值10时， ， .‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其单调性和极值分布情况如表：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大 减 极小 增 ‎①当且，即时， 在区间上单调递减；‎ ‎②当 ，即时， 在区间上的单调递减，在区间上单调递增；‎ 点睛：研究函数极值，首先研究导函数的零点，再结合导数的正负即可确定极值；导数为正时函数单调递增，导数为负时单调递减，若函数单调性确定，定义域不定时，只需讨论定义域与单调区间的关系即可.‎ ‎3.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出当的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程；（Ⅱ）求出函数的导数，求出的零点或，分别对两个零点的大小关系作为分类讨论，即可得到函数的单调性.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）当时， ，∴切线的斜率，‎ 又， 在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）．‎ 令，得或，‎ ‎①当时， 恒成立，∴在上单调递增；‎ ‎②当时， ，‎ 由，得或；由，得．‎ ‎∴单调递增区间为， ；单调减区间为．‎ ‎③当时， ，‎ 由，得或；由，得．‎ ‎∴单调增区间为， ，单调减区间为．‎ 综上所述：当时， 在上单调递增；‎ 当时， 单调增区间为， ，单调减区间为；‎ 当时， 单调增区间为， ，单调减区间为．‎ ‎4.设函数， 的图象在点处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若函数（），且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1) 根据切线的斜率，求出b的值即可;‎ ‎（2）求出的导数， 在上为单调递减函数，等价于在上恒成立，即在上恒成立，构造求最值即可.‎ 试题解析：(1)由题意知，曲线在点处的切线斜率为3，所以，又，即，所以. (2)由（1）知，所以，若 在上为单调递减函数，则在上恒成立， 即，所以. 令， 则，由，得， ，得，故在上是减函数，在上是增函数，则， 无最大值，在上不恒成立，故在不可能是单调减函数. 若在上为单调递增函数，则在上恒成立，即，所以，由前面推理知， 的最小值为， ∴，故的取值范围是.‎ 点晴:本题主要考查用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题. 在上为单调递减函数，等价于在上恒成立，通过变量分离可转化为在上恒成立，先构造即可.‎ ‎4.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，若对， ，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的定义域为，求导数，若，若，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知， 在上单调递增，从而， 等价于， ，令，通过函数的导数求解函数的最值，推出结果.‎ ‎（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知， 在上单调递增，∴.‎ 从而， 等价于， ①，令，则，因此，①等价于在上单调递减，∴对恒成立，∴对恒成立，∴.又，当且仅当，即时，等号成立，∴，故的取值范围为.‎ 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎5.已知函数（）．　‎ ‎（Ⅰ）试判断函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上为增函数，求整数的最大值.‎ ‎（可能要用的数据： ， ， ）.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）6‎ 试题解析:解：（Ⅰ） 在上为增函数，‎ 且，故在上为增函数，‎ 又， ，‎ 则函数在上有唯一零点.‎ ‎（Ⅱ）在上恒成立，‎ 当时显然成立,‎ 当时，可得在上恒成立， ‎ 令，则， ，‎ ‎，‎ 由（Ⅰ）可知： 在上为增函数，故在上有唯一零点，‎ 则在区间上为减函数，‎ 在区间上为增函数，‎ 故时， 有最小值， . ‎ 又，‎ ‎，‎ 则，‎ 有，‎ 所以， ，‎ 令，则最小值 ‎，‎ 因，则的最小值大约在之间，‎ 故整数的最大值为6.‎ ‎6.已知函数，（其中为在点处的导数， 为常数).‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）设函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析: (1)对 求导,令 ,即可求出 ;(2)将代入中,求导后,分别令 ,求出的范围,得到单调增区间,减区间;(3)由已知有 恒成立,且 ,得出 ,令 ‎ ,由 ,求出 的范围.‎ ‎ 试题解析:（1） ‎ ‎ ‎ ‎（3） ‎ ‎ ‎ ‎∵在区间上单调递增， ‎ ‎∴ 恒成立. ‎ ‎ ∵ ∴‎ 设则 ‎， ∴， ∴ ‎ 答： 的取值范围是.‎ 点睛:本题主要考查了导数的计算,导数在求函数单调性上的应用,属于中档题.求函数在某区间为增函数,一般转化为导函数大于或等于零问题.第三问另解: 得出 恒成立, ,分离出常数 ,即 ,当 时, 有最大值为11.所以 .‎ ‎8. 已知函数，其中均为实数， 为自然对数的底数．‎ ‎（I）求函数的极值；‎ ‎（II）设，若对任意的，‎ 恒成立，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）当时， 取得极大值，无极小值；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题对 得，研究其单调性，可得当时， 取得极大值，无极小值；‎ ‎（2）由题当时， ，由单调性可得在区间上为增函数，根据，构造函数，‎ 由单调性可得在区间上为增函数，不妨设，‎ 则等价于，‎ 即，‎ 故又构造函数，‎ 可知在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，‎ 即在区间上恒成立，‎ ‎∴，设 ‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，则在区间上为减函数，‎ ‎∴在区间上的最大值，∴，‎ 试题解析：（1）由题得， ，‎ 令，得．，‎ 列表如下：‎ ‎1‎ 大于0‎ ‎0‎ 小于0‎ 极大值 ‎∴当时， 取得极大值，无极小值；‎ ‎（2）当时， ，‎ ‎∵在区间上恒成立，‎ ‎∴在区间上为增函数，‎ 设，‎ ‎∵在区间上恒成立，‎ ‎∴在区间上为增函数，不妨设，‎ 则等价于，‎ 即，‎ 设，‎ 则在区间上为减函数，‎ ‎∴在区间上恒成立，‎ ‎∴在区间上恒成立，‎ ‎∴，‎ 设，‎ ‎∵，‎ ‎∴，则在区间上为减函数，‎ ‎∴在区间上的最大值，∴，‎ ‎∴实数的最小值为．‎ 点睛：本题考查导数在研究函数性质时的综合应用，属难题.解题时要认真研究题意，进而构造新函数宾研究其性质以达到解决问题的目的 ‎9. 已知函数， (为常数)．‎ ‎（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当函数在处取得极值,求函数的解析式；‎ ‎（Ⅲ)当时，设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）g(x)= (x∈R) ;(3) ，).‎ ‎【解析】试题分析：(1)求出函数的导数,求得切线的斜率和切点,运用点斜式方程即可得到切线方程;‎ ‎(2)求得的导数,根据题意可得, ,解方程即可得到所求解析式;‎ ‎(3)若函数在定义域上存在单调减区间依题存在使， 即存在使,运用参数分离,求得右边的最小值,即可得到所求范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）由 ()，可得 ()，∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是，即，所求切线方程为；‎ ‎（Ⅱ）∵又g(x)= 可得，且g(x)在x=2处取得极值-2．‎ ‎∴，可得解得，．所求g(x)= (x∈R) ． ‎ ‎(3)∵， ()．‎ 依题存在使，∴即存在使，‎ ‎∵不等式等价于 (min)‎ 由基本不等式知，，) ‎ ‎∵存在，不等式(*)成立，∴．所求，)‎ ‎10.已知函数，其中．‎ ‎（1）若曲线与曲线在点处有相同的切线，试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，函数在上为增函数，求证：．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据求得 ，再求 ，导数的两个零点分别是和 ，分 三种情况讨论函数的单调区间；（2）首先求函数的导数，，将问题转化为 ，当 ，即 ，当时，将问题转化为恒成立问题，求所设函数的最值，即可求得结果.‎ ‎③当时，当时，；当时，；‎ 在上递增，在上递减； ‎ ‎（2）由题意可得对恒成立，‎ ‎∵，∴，即对恒成立，‎ ‎∴，即对恒成立， ‎ 设，， ‎ 则，‎ ‎∴在上递增，‎ ‎∴，∴． ‎ 又，∴．‎ ‎【点睛】讨论函数的单调性是导数这道题比较常见的类型，一般求导后，判断函数的类型，有没有恒成立的类型，求函数的极值点，讨论函数的极值点和定义域的关系，得到不同情况下的单调区间，导数的第二问，对于恒成立的类型也比较常见，可通过参变分离后，将问题转化为最值问题求解.‎