陕西省西安中学2020届高三仿真考试（一）数学（文）试题

陕西省西安中学2020届高三仿真考试（一）数学（文）试题

西安中学高2020届仿真考试 文科数学 ‎1、已知复数满足，则复数（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、已知集合 ，则( )‎ ‎ ‎ ‎3、下图是相关变量 的散点图，现对这两个相关变量进行分析：‎ 方案一：根据图中的所有数据，得到线性回归直线方程为 ,相关系数 ;‎ 方案二：剔除点 ，根据剩余数据得到线性回归直线方程为 ,相关系数 ;则（ ）‎ ‎ ‎ ‎4、已知向量，，若，则实数的值为（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎5、已知都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6、已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎7、如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为．则阴影区域的面积约为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．无法计算 ‎8、已知 , ， ，则 的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里． 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图． 若输出的的值为350，则判断框中可填（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎10、已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11、如图1，直线（不与平行）将矩形纸分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折的过程中（平面和不重合），下面说法正确的是（ ）‎ A．存在某一位置，使得平面 B．存在某一位置，使得平面 C．在翻折的过程中，平面恒成立 D．在翻折的过程中，平面恒成立 ‎12.已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是( )‎ 曲线的方程为, ‎ 左焦点到一条渐近线距离为，‎ 直线与曲线有两个公共点； ‎ 过右焦点截双曲线所得弦长为的直线有三条；‎ 正确答案的个数为（ ） ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、曲线 在点处的切线方程为 ;‎ ‎14、已知一组数据分别是 则这组数据的中位数与众数的等比中项为 ；‎ ‎15、圆 关于直线 对称的圆的方程 ；‎ ‎16、关于函数 有下述四个结论：‎ 函数 的图象把圆的面积两等分；是周期为的函数；‎ 函数在区间上有3个零点；函数在区间上单调递减；‎ 则正确结论的序号为 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17、（本题满分12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；（2）若，的面积为，求.‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 如图，已知面，四边形为矩形，‎ 四边形为直角梯形，，‎ ‎（1）求证： 面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ 已知在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预测难度 ‎ ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”‎ 表示答对，“×”表示答错)：‎ ‎(1)根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 实测难度 ‎(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．‎ ‎(3)定义统计量，其中为第 题的实测难度，为第题的预估难度()．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．‎ ‎20、（本题满分12分） 设分别为椭圆 的左右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 成等差数列；‎ ‎（1）求 （2）若直线 的斜率，求 的值；‎ ‎21、（本题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ， ‎ ‎（1）若 ，求在区间 上的单调区间；‎ ‎（2）若 ，证明： 时恒有 ‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做按所做的第一题计分 ‎22、[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系 中， .以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ，点 为 上的动点， 为 的中点。‎ ‎（1）求点 的轨迹 的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点 的极坐标为 ，若直线 经过点 与曲线 交于 ，弦 的中点为 ‎ ‎ 求 的取值范围。‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，使得成立，求实数的取值范围．‎ 西安中学高2020届仿真考试 文科数学答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D D B C A D B A C C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、 14、 15、 16、 (1)(4) ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17、（本题满分12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；（2）若，的面积为，求.‎ 解：（1）在中， ‎ 即： ， 分 ‎(2)由的面积为得： ，所以 ，又 由余弦定理得： 分 ‎18、（本题满分12分）‎ 如图，已知面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，‎ ‎（1）求证： 面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎（1）证明：∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，‎ ‎∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，‎ ‎∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，‎ AD=AF=CD=1，AB=2 ∴AC=BC==，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，‎ ‎∵BC∩BE=B，BC面BCE，BE面BCE，∴AC⊥面BCE．分 ‎（2）∵DC∥AB∥EFDC面BEF，EF面BEF，∴DC∥面BEF，‎ ‎∵AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥AF，又AD⊥AB，AB∩AF=A，AB面ABEF，AF面ABEF，‎ ‎∴AD⊥面ABEF．三棱锥E-BCF的体积：‎ VE-BCF=VC-BEF=VD-BEF===​=．分 ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：‎ 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”‎ 表示答对，“×”表示答错)： ‎ ‎(1)根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 实测难度 ‎(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．‎ ‎(3)定义统计量，其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度()．规定：若S≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．‎ ‎19、解：（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎2‎ 实测难度 ‎0.8‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ ‎0.2‎ 所以估计120人中有 人答对第五题分 ‎（2）记编号为的学生为 ，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种，其中恰好有1人答对第五题的抽取方法为 共6种，‎ 所以恰好有一人答对第五题的概率为 分 ‎（3）由题意知 所以本次测试的难度预估是合理的。分 ‎20、(满分12分) 设分别为椭圆 的左右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 成等差数列；‎ ‎（1）求 ‎ ‎（2）若直线 的斜率，求 的值；‎ 解：（1） ；‎ ‎ 又 成等差数列, 分 ‎（2）依题意知直线方程为 ，联立方程组 ，‎ 消去 整理得： ‎ ‎ ；‎ ‎ ；分 ‎ ；‎ 因为： ，所以 ，即 分 ‎21、（满分12分） 已知函数 ， ‎ ‎（1）若 ，求 在区间 上的单调区间；‎ ‎（2）若 ，证明： 时恒有 ‎ 解：（1） ；‎ ‎ ，令 及 ，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递减 极小 单调递增 极大 单调递减 由上述表格可知： 在递减，在递增，在递减分 ‎（2）证明：，, ,设 ‎ 而 在 为增函数，又 ，‎ 所以存在唯一 ,使得 ，在 上， ， 递减， ，在 上，递增， ‎ 因此在 总有 即 在递减，所以有： 分 ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做按所做的第一题计分 ‎22、[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系 中， .以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ，点 为 上的动点， 为 的中点。‎ ‎（1）求点 的轨迹 的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点 的极坐标为 ，若直线 经过点 与曲线 交于 ，弦 的中点为 ‎ ‎ 求 的取值范围。‎ ‎22、解：（1）设 ，因为的极坐标方程为 ,所以的直角坐标坐标方程为 , ,即 ，点 在半圆 ‎ 上，所以 ，整理得： 分 ‎（2）因为直线 过点 ，所以直线的参数方程为 （ 为参数， 为直线倾斜角， ），代入 方程得： ，则 ，‎ ‎ ，所以分 ‎23、解（1）由，可得，‎ 当时，不成立，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，成立，‎ ‎∴不等式的解集为．分 ‎（2）依题意，，‎ 令，‎ 易知，则有，即实数的取值范围是．分