2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§2-4 指数和指数函数（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§2-4 指数和指数函数（讲解部分）

考点一　指数幂的运算 考点清单 考向基础 1.指数幂的概念 (1)根式 如果一个数的 n 次方等于 a ( n >1且 n ∈N * ),那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也就 是说,若 x n = a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1且 n ∈N * .式子   叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这 时, a 的 n 次方根用符号   表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根用符号   表示,负的 n 次方根用符号-   表示.正负两个 n 次方根可以 合写为 ±   ( a >0). ③ (   ) n = a (注意 a 必须使   有意义). ④ 当 n 为奇数时,   = a ; 当 n 为偶数时,   =| a |=   ⑤负数没有偶次方根. ⑥零的任何次方根都是零. 2.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂:   =   ( a >0, m , n ∈N * , n >1). ②正数的负分数指数幂:   =   =   ( a >0, m , n ∈N * , n >1). ③ 0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质 ① a r a s = a r + s ( a >0, r , s ∈Q). ②( a r ) s = a rs ( a >0, r , s ∈Q). ③( ab ) r = a r b r ( a >0, b >0, r ∈Q). 考向　指数幂的运算 考向突破 例1    (2018湖北荆州中学月考,14)化简   ·(-3   b -1 ) ÷ (4   b -3   ·   =      　　     . 解析　原式=   ·   ·   =-   . 答案　-   考点二　指数函数的图象及性质 考向基础 y = a x ( a >1) y = a x (0< a <1) 图象     定义域 R 值域 (0,+ ∞ ) 性质 过定点(0,1) 当 x >0时, y >1; 当 x <0时,0< y <1 当 x >0时,0< y <1; 当 x <0时, y >1 在(- ∞ ,+ ∞ )上是单调递增函数 在(- ∞ ,+ ∞ )上是单调递减函数 【知识拓展】 1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性, x 轴是函 数图象的渐近线.当0< a <1时, x →+ ∞ , y →0;当 a >1时, x →- ∞ , y →0;当 a >1时, a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增的速度越快;当0< a <1时, a 的值越小,图象越 靠近 y 轴,递减的速度越快. 2.画指数函数 y = a x ( a >0且 a ≠ 1)的图象,应抓住三个关键点:(1, a )、(0,1)、   . 3.熟记指数函数 y =10 x , y =2 x , y =   , y =   在同一坐标系中图象的相对位 置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系. 4.指数函数 y = a x , y = b x , y = c x , y = d x 在同一直角坐标系中的图象如图所示,则0< c < d <1< a < b .   在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小. (无论是在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大) 5. 指数函数 y = a x 与 y =   ( a >0且 a ≠ 1)的图象关于 y 轴对称. 考向　比较大小 考向突破 例2　设 x , y , z 均大于1,且log   x =log   y =log   z ,令 a =   , b =   , c =   ,则 a , b , c 的 大小关系是   (　　) A. a > b > c 　    B. b > c > a 　    C. c > a > b 　    D. c > b > a 解析　令log   x =log   y =log   z = t ( t >0),则 x =(   ) t , y =(   ) t , z =(   ) t ,∴ a =   , b =   , c =   . ∵2 3 <3 2 ,∴   <   ⇒ a < b , ∵3 4 <5 3 ,∴   <   ⇒ b < c ,∴ a < b < c ,选D. 答案    D   方法总结    比较大小常用的方法: (1)作差法(作商法); (2)利用函数单调性比较大小; (3)借助中间量比较大小. 方法1 　指数函数的图象及其应用 1.对于指数型复合函数的图象问题,一般从最基本的指数函数的图象入手, 通过平移、伸缩、对称变换而得到. 2.对于图象问题的选择题,可以考虑特殊值法. 3.需特别注意底数 a >1与0< a <1两种不同情况. 方法技巧 例1    (2019湖南师范大学附属中学月考(五),12)设平行于 x 轴的直线 l 分别 与函数 y =2 x 和 y =2 x +1 的图象相交于点 A , B ,若在函数 y =2 x 的图象上存在点 C ,使 得△ ABC 为等边三角形,则这样的直线 l   (　　) A.至少有一条　     B.至多有一条 C.有且只有一条　    D.有无数条   解析　设直线 l 的方程为 y = a ( a >0), 由2 x = a ,得 x =log 2 a ,所以点 A 的坐标为(log 2 a , a ). 由2 x +1 = a ,得 x =log 2 a -1,所以点 B 的坐标为(log 2 a -1, a ), 从而| AB |=1. 如图,取 AB 的中点 D ,连接 CD ,因为△ ABC 为等边三角形, 所以 CD ⊥ AB ,且| AD |=   ,| CD |=   , 所以点 C 的坐标为   . 因为点 C 在函数 y =2 x 的图象上, 所以 a -   =   =   ,解得 a =   , 所以这样的直线 l 有且只有一条,选C.   答案    C   解题关键    熟记指数函数的图象与性质以及等边三角形的性质,列出关 于实数 a 的方程是解答本题的关键. 方法2 　指数函数的性质及其应用 1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数 y = a f ( x ) ( a >0,且 a ≠ 1)的定义域与 y = f ( x )的定义域相同; (2)先确定 f ( x )的值域,再根据指数函数的单调性可确定 y = a f ( x ) ( a >0,且 a ≠ 1)的 值域. 2.与指数函数有关的复合函数的单调性问题的解题方法 利用复合函数的单调性判断形如 y = a f ( x ) ( a >0,且 a ≠ 1)的函数的单调性.若 a > 1,则函数 y = f ( x )的单调增(减)区间即为 y = a f ( x ) 的单调增(减)区间;若0< a <1,则 函数 y = f ( x )的单调增(减)区间即为函数 y = a f ( x ) 的单调减(增)区间. 3.与指数函数有关的复合函数的最值问题,往往转化为二次函数的最值问 题. 例2　(1)(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数 y =2 x -2 - x 的定义 域、单调性与奇偶性均一致的是   (　　) A. y =sin x 　     B. y = x 3 C. y =   　     D. y =log 2 x (2)函数 f ( x )= x 2 - bx + c 满足 f ( x +1)= f (1- x ),且 f (0)=3,则 f ( b x )与 f ( c x )的大小关系是   (　　) A. f ( b x ) ≤ f ( c x )　    B. f ( b x ) ≥ f ( c x ) C. f ( b x )> f ( c x )　     D.与 x 有关,不确定 解析　(1) y =2 x -2 - x 是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数. 而 y =sin x 不是单调递增函数,不符合题意; y =   是非奇非偶函数,且为单调减函数,不符合题意; y =log 2 x 的定义域是(0,+ ∞ ),不符合题意; y = x 3 是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数,符合题意.故选B. (2)由 f ( x +1)= f (1- x )知函数 f ( x )的图象关于直线 x =1对称,∴ b =2.由 f (0)=3知 c = 3, ∴ f ( b x )= f (2 x ), f ( c x )= f (3 x ). 当 x >0时,3 x >2 x >1,又函数 f ( x )在[1,+ ∞ )上单调递增, ∴ f (3 x )> f (2 x ),即 f ( b x )< f ( c x ); 当 x =0时,3 x =2 x =1,∴ f (3 x )= f (2 x ),即 f ( b x )= f ( c x ); 当 x <0时,0<3 x <2 x <1,又函数 f ( x )在(- ∞ ,1)上单调递减, ∴ f (3 x )> f (2 x ),即 f ( b x )< f ( c x ). 综上, f ( b x ) ≤ f ( c x ).故选A. 答案　(1)B　(2)A