数学文·山西省大同一中2017届高三上学期质检数学文试卷+Word版含解析

数学文·山西省大同一中2017届高三上学期质检数学文试卷+Word版含解析

‎2016-2017学年山西省大同一中高三（上）质检数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁RN=（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，5} D．{﹣1，1}‎ ‎2．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3．在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F和A（0，b）的连线与C的一条渐近线相交于点P，且=2，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．3 B． C．4 D．2‎ ‎6．若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎7．已知将函数f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（　　）‎ A．9 B．6 C．4 D．8‎ ‎8．已知四棱锥P一ABCD中，平面PAD丄平面ABCD，其中ABCD为正方形，△PAD 为等腰直角三角形，PA=PD=，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（　　）‎ A．10π B．4π C．16π D．8π ‎9．已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（　　）‎ A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（b）＜f（c）＜f（a）‎ ‎10．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．6 D．7‎ ‎12．在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（　　）‎ A．12 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若向量，满足||=2||=2，|﹣4|=2，则向量，的夹角为　　．‎ ‎14．设曲线f（x）=exsinx在（0，0）处的切线与直线x+my+l=0平行，则m=　　．‎ ‎15．已知实数x，y满足不等式组，且目标函数之z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为2，则+的最小值为　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若方程f（x）﹣g（x）=1在[a，+∞）上有三个实根，则正实数a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．‎ ‎18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn=an+n﹣3成立．‎ ‎（Ⅰ）求证：{an﹣1}为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．‎ ‎19．（12分）为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．‎ 男生 女生 合计 优秀 不优秀 合计 ‎（Ⅰ）求a和n的值；‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数和中位数m；‎ ‎（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．‎ 参考公式和数据：K2=．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.50‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.005‎ k ‎0.455‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎7.879‎ ‎20．（12分）如图所示，在多面体EF﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EF∥AO，EA=EC=EF=．‎ ‎（1）若平面ABC∩平面BEF=l，证明：EF∥l；‎ ‎（2）求证：AC⊥BE；‎ ‎（3）若BE=，EO=，求点B到平面AFO的距离．‎ ‎21．（12分）如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．‎ ‎（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省大同一中高三（上）质检数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（2016秋•秀屿区校级期中）已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁RN=（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，5} D．{﹣1，1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】对应思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】化简集合N，求出∁RN，再计算M∩∁RN．‎ ‎【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，‎ N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，‎ ‎∴∁RN={x|﹣1＜x＜2}，‎ ‎∴M∩∁RN={0，1}．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•河南月考）设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．‎ ‎【解答】解：∵a+=a+是纯虚数，‎ ‎∴a=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•河南月考）在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．‎ ‎【分析】先根据d=4，分别求出a2=6，a3=10，则a1，a2，a3不成等比数列，再根据若a1，a2，a3成等比数列，求得d=0，再根据充分必要条件的得以判断即可．‎ ‎【解答】解：a1=2，公差为d，则“d=4”，‎ 则a2=2+4=6，a3=2+8=10，则a1，a2，a3不成等比数列，‎ 若a1，a2，a3成等比数列，‎ ‎∴（2+d）2=2（2+2d），‎ 解得d=0，‎ 故“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”既不充分也不必要条件，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，等差数列的定义，等比数列的定义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•河南月考）从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数，再由列举法求出所取两个数之和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取两个数之和能被3整除的概率．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，‎ 基本事件总数n==10，‎ 所取两个数之和能被3整除包含的基本事件有：‎ ‎（1，2），（1，5），（2，4），（4，5），‎ 共有m=4个，‎ ‎∴所取两个数之和能被3整除的概率p=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．（2016秋•河南月考）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F和A（0，b）的连线与C的一条渐近线相交于点P，且=2，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．3 B． C．4 D．2‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设P（m，n），由=2，可得（c﹣m，﹣n）=2（m，n﹣b），解得m，n，把P坐标代入y=x，即可得出．‎ ‎【解答】解：设P（m，n），由=2，可得（c﹣m，﹣n）=2（m，n﹣b），‎ 解得m=，n=，‎ ‎∴P，代入y=x，可得=2，即e=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（2016秋•河南月考）若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序框图的运行过程，当S≥60时终止循环，输出n的值即可．‎ ‎【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；‎ 输入a=16，A=1，S=0，n=1，S=0+16+1=17，S＜60，‎ n=2，A=2，a=8，S=17+8+2=27，S＜60，‎ n=3，A=4，a=4，S=27+4+4=35，S＜60，‎ n=4，A=8，a=2，S=35+8+2=45，S＜60，‎ n=5，A=16，a=1，S=45+16+1=62，S≥60，‎ 终止循环，输出n=5．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎7．（2016秋•河南月考）已知将函数f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（　　）‎ A．9 B．6 C．4 D．8‎ ‎【考点】正切函数的图象．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由题意得到tan（ωx﹣+）=tan（ωx+），根据周期性求得ω．‎ ‎【解答】解：f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）图象重合，‎ 所以tan（ωx﹣+）=tan（ωx+），‎ 所以ωx+=ωx++kπ，‎ 解得ω=﹣6k，k∈Z，‎ 又2＜ω＜10，所以ω=6；‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了正切函数的图象；关键是由题意得到函数为同一个函数，利用周期性得到所求．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•河南月考）已知四棱锥P一ABCD中，平面PAD丄平面ABCD，其中ABCD为正方形，△PAD 为等腰直角三角形，PA=PD=，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（　　）‎ A．10π B．4π C．16π D．8π ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】确定四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为正方形ABCD的中心O，利用勾股定理求出R，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：取AD的中点E，‎ ‎∵平面PAD丄平面ABC，其中ABCD为正方形，△PAD 为等腰直角三角形，‎ ‎∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为正方形ABCD的中心O，设半径为R，‎ 则∵OE⊥AD，PE=1‎ ‎∴R==，‎ ‎∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为8π．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径是关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•城区校级月考）已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（　　）‎ A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（b）＜f（c）＜f（a）‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．‎ ‎【解答】解：a=（）＞b=（）＞0，c=log2＜0，‎ ‎∴c＜b＜a，‎ ‎∵f（x）=2x﹣2﹣x在R上为增函数，‎ ‎∴f（c）＜f（b）＜f（a），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用指数的运算化简及指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题，‎ ‎　‎ ‎10．（2016秋•河南月考）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，列出方程组求出a=2，b=，从而得到椭圆方程为，再由直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），利用点差法能求出直线l的斜率．‎ ‎【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，‎ ‎∴，解得a=2，b=，‎ ‎∴椭圆方程为，‎ ‎∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），‎ ‎∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，‎ 又，两式相减，得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，‎ ‎∴﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴直线l的斜率k==．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点差法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•河南月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．6 D．7‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【专题】作图题；转化思想；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由题意，通过三视图可知，该几何体是由正方体切去4个相同三棱柱得到的．所以该几何体的体积等于正方体的体积减去4个三棱柱体积．‎ ‎【解答】解：由题意，通过三视图可知，该几何体是由正方体切去4个相同三棱柱得到的．‎ ‎4个三棱柱的体积：=2‎ 正方体的体积为：V=2×2×2=8‎ 那么该几何体的体积为：8﹣2=6‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了对三视图的认识，能通过三视图判断出几何体的形状是解题的关键．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2016秋•河南月考）在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（　　）‎ A．12 B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】题意知an＞0和公比q＞0，由通项公式代入式子：2a4+a3﹣2a2﹣a1同理化简2a5+a4，再把上式代入用q来表示且化简，设=x构造函数y==x﹣x3，再求导、求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入2a5+a4化简后式子求出最小值．‎ ‎【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{an}中，2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，‎ ‎∴由题意知等比数列{an}中an＞0，则公比q＞0，‎ ‎，‎ ‎∴a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，则a1（2q+1）（q2﹣1）=8，‎ 则a1（2q+1）=，‎ ‎∴2a5+a4==q3a1（2q+1）==，‎ 设=x，则y==x﹣x3，‎ 由y′=1﹣3x2=0，得x=﹣或x=．‎ x∈（﹣∞，﹣）时，y′＜0；x∈（﹣，）时，y′＞0；x∈（，+∞）时，y′＜0．‎ ‎∴y=x﹣x3的减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），增区间为（﹣，）．‎ ‎∴当x=时，ymax==，‎ ‎∴2a5+a4的最小值为=12．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式，换元法、构造函数法，以及导数与函数单调性、最值的应用，属于数列与函数结合较难的题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（2016秋•河南月考）若向量，满足||=2||=2，|﹣4|=2，则向量，的夹角为　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】可知，对两边平方进行数量积的运算即可求出，从而便可得出的夹角．‎ ‎【解答】解：根据条件：；‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=28；‎ ‎∴=；‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，已知三角函数值求角，以及向量夹角的范围．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•榕城区校级月考）设曲线f（x）=exsinx在（0，0）处的切线与直线x+my+l=0平行，则m=　﹣1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】常规题型；综合法；导数的综合应用．‎ ‎【分析】首先要判定点是否满足曲线，而后求导求出切线方程的斜率，切线方程与直线x+my+l=0平行，故斜率相等．‎ ‎【解答】解：点（0，0）满足曲线f（x），‎ 对f（x）求导：f'（x）=exsinx+excosx；‎ 过（0，0）的切线方程斜率为：f'（0）=1；‎ ‎∴切线方程为：y﹣0=1×（x﹣0）⇒y=x；‎ 由直线x+my+l=0⇒=‎ ‎∵切线方程与直线x+my+l=0平行；‎ ‎∴⇒m=﹣1．‎ 故答案为：﹣1‎ ‎【点评】本题属于利用导数求某点处的曲线方程，考察了对导数的几何意义的理解．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•河南月考）已知实数x，y满足不等式组，且目标函数之z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为2，则+的最小值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，并找出目标函数取得最大值时的条件，进而利用基本不等式的性质即可求出．‎ ‎【解答】解：由x，y满足线性约束条件，作出可行域．‎ 联立，解得A（2，1）．‎ 由可行域可知：当目标函数经过点A时z取得最大值2，‎ ‎∴a+b=2（a＞0，b＞0），‎ ‎∴+=（+）（a+b）=（3+）≥=，‎ 当且仅当，a+b=2时取等号．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用，确定a+b=2，正确运用基本不等式是关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2016秋•河南月考）已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若方程f（x）﹣g（x）=1在[a，+∞）上有三个实根，则正实数a的取值范围为　（0，]　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】将方程f（x）﹣g（x）=1有三个实根转化为函数y=f（x）﹣1与y=g（x）的图象有三个交点，画出两个函数的图象，然后根据图象确定a的取值范围 ‎【解答】∵f（x）﹣g（x）=1在[a，+∞）上有三个实根 ‎∴f（x）﹣1=g（x）在[a，+∞）上有三个实根 ‎∴函数y=f（x）﹣1与y=g（x）的图象在x∈[a，+∞）上有三个交点 作出y=f（x）﹣1和y=g（x）的图象 从图象可知，0＜xA＜1，yA=0；xB＞1，xC＞1‎ 令f（x）﹣1=|log2x|﹣1=0，得x=，或x=2，故 ‎∴‎ 又∵a为正实数 ‎∴，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了方程根的个数问题以及分段函数的图象，将方程根的个数转化为两函数图象交点的个数，从而利用数形结合思想求出a的取值范围，属于基础题．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）（2016秋•思明区校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和，转化求解B的正切函数值，即可得到结果．‎ ‎（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理求出a+c，利用正弦定理求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0，‎ 得cosAsinB﹣（c﹣sinA）cosB=0，‎ 即sib（A+B）=ccosB，sinC=ccosB，，‎ 因为，所以，则tanB=，B=．‎ ‎（2）由，得ac=2，…（6分）‎ 由及余弦定理得，…（8分）‎ 所以a+c=3，所以…（10分）‎ ‎【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•城区校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn=an+n﹣3成立．‎ ‎（Ⅰ）求证：{an﹣1}为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（I）对任意的正整数n，都有Sn=an+n﹣3成立．n=1时，a1=S1=﹣2，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=3an﹣1﹣2，变形为an﹣1=3（an﹣1﹣1），即可证明．‎ ‎（II）由（I）可得：an﹣1=3n，因此an=3n+1，nan=n•3n+n．再利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】（I）证明：∵对任意的正整数n，都有Sn=an+n﹣3成立．‎ ‎∴n=1时，a1=S1=﹣2，解得a1=4．‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an+n﹣3﹣，化为：an=3an﹣1﹣2，‎ 变形为an﹣1=3（an﹣1﹣1），‎ ‎∴{an﹣1}为等比数列，首项为3，公比为3．‎ ‎（II）解：由（I）可得：an﹣1=3n，因此an=3n+1，∴nan=n•3n+n．‎ ‎∴数列{nan}的前n项和Tn=3+2×32+3×33+…+n•3n+．‎ 设An=3+2×32+3×33+…+n•3n，‎ 则3An=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，‎ ‎∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，‎ 可得An=+，‎ ‎∴数列{nan}的前n项和Tn=++．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•城区校级月考）为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．‎ 男生 女生 合计 优秀 不优秀 合计 ‎（Ⅰ）求a和n的值；‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数和中位数m；‎ ‎（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．‎ 参考公式和数据：K2=．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.50‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.005‎ k ‎0.455‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎7.879‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）10a=1﹣（0.005+0.01+0.015+0.02）×10，求a，即可n的值；‎ ‎（Ⅱ）利用组中值，估计该校高二学生物理成绩的平均数和中位数m；‎ ‎（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）10a=1﹣（0.005+0.01+0.015+0.02）×10，∴a=0.05，‎ n==40‎ 求a和n的值；‎ ‎（Ⅱ）由题意，各组的频率分别为0.05，0.2，0.5，0.15，0.1，‎ ‎∴=55×0.05+65×0.2+75×0.5+85×0.15+95×0.1=75.5．‎ 设中位数为m，则（m﹣70）×0.05=0.5﹣（0.05+0.2），∴m=75；‎ ‎（Ⅲ）由题意，优秀的男生为6人，女生为4人，不优秀的男生为10人，女生为20人，‎ ‎2×2列联表 男生 女生 合计 优秀 ‎6‎ ‎4‎ ‎10‎ 不优秀 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎16‎ ‎24‎ ‎40‎ K2=≈2.222＜3.841，‎ ‎∴没有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．‎ ‎【点评】本题考查频率直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，考查学生的数据处理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•衡水期中）如图所示，在多面体EF﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EF∥AO，EA=EC=EF=．‎ ‎（1）若平面ABC∩平面BEF=l，证明：EF∥l；‎ ‎（2）求证：AC⊥BE；‎ ‎（3）若BE=，EO=，求点B到平面AFO的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）利用直线和平面平行的判定证得EF∥平面ABC，再利用直线和平面平行的性质定理，证得EF∥l．‎ ‎（2）利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面BEH，再利用直线和平面垂直的性质定理，证得AC⊥BE．‎ ‎（3）先求得F﹣BCA的体积，再根据等体积法求得点B到平面AFO的距离．‎ ‎【解答】解：（1）∵EF∥AO，EF⊄平面ABC，AO⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，‎ 又因为平面ABC∩平面BEF=l，所以EF∥l．‎ ‎（2）取AC的中点H，连接EH，BH，∵EA=EC，∴EH⊥AC，‎ 因为△ABC为等边三角形，所以BA=BC，BH⊥AC，‎ 因为BH∩EH=H，所以AC⊥平面BEH，‎ ‎∵BE⊂平面BEH，∴AC⊥BE．‎ ‎（3）∵在△EAC中，，‎ 所以，‎ 因为△ABC为等边三角形，所以，‎ 因为，所以EH2+HB2=BE2，所以EH⊥HB，‎ 因为AC∩HB=H，所以EH⊥平面ABC，‎ 又因为，所以，‎ ‎∵EF∥AO，∴，‎ ‎∵，四边形AOFE为平行四边形，，‎ ‎∴，‎ 设点B到平面AFO的距离为d，‎ 由，得，解得．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定和性质，直线和平面垂直的判定和性质，用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•河南月考）如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的定义可知：|MF|=m+=4，及16=2pm，联立即可求得p的值，求得抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）由题意设直线EA：x=ky﹣1，代入抛物线方程，根据△=0，求得斜率k，求得A点坐标，同理求得B点坐标，求得直线AB的方程，即可求得直线AB是否经过焦点FF（0，2）．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线C的准线方程为，‎ ‎∴|MF|=m+=4，‎ 由M（4，m）在椭圆上，‎ ‎∴16=2pm，‎ ‎∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，‎ ‎∴抛物线C的标准方程为x2=8y…（4分）‎ ‎（2）设EA：x=ky﹣1，联立，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0，‎ ‎∵EA与C相切，‎ ‎∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2，‎ ‎∴，求得，…（7分）‎ 设EB：x=ty﹣1，联立，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，‎ ‎∵EB与圆F相切，‎ ‎∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即，‎ ‎∴，求得，…（10分）‎ ‎∴直线AB的斜率，‎ 可得直线AB的方程为，经过焦点F（0，2）…（12分）‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，直线的方程，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•城区校级月考）设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．‎ ‎（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点即可；‎ ‎（Ⅱ）令F（x）=xex﹣f（x），求出函数的导数，通过讨论函数的单调性，从而证出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得：x∈（0，+∞），‎ f′（x）=﹣2x+1=，‎ 令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，‎ ‎∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ ‎∴x=1是f（x）的极大值点，无极小值点；‎ ‎（Ⅱ）证明：令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），‎ 则F′（x）=•（xex﹣1），‎ 令G（x）=xex﹣1，则∵G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），‎ ‎∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）最多一个零点，‎ ‎∵G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，‎ ‎∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，‎ 故F（x）≥F（c）=c•ec﹣lnc﹣c﹣1，‎ 由G（c）=0，得：c•ec﹣1=0，得lnc+c=0，‎ ‎∴F（c）=0，F（x）≥F（c）=0，‎ 从而证得xex≥f（x）．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．‎