2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章4-3三角函数的图像与性质
第3讲 三角函数的图像与性质
最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
知 识 梳 理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
续表
递增
区间
[2kπ－π，2kπ]
递减
区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称
中心
(kπ，0)
对称轴
方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( )
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( )
解析 (1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z)．
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条．
(3)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．
(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
解析 y＝sin＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数；y＝sin 2x＋cos 2x＝sin是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝sin是最小正周期为2π的非奇非偶函数．
答案 B
3．(2017·郑州模拟)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析 由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
答案 C
4．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－ C. D．0
解析 由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
答案 B
5．(教材改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________．
解析 因为y＝tan x的单调递增区间为
(k∈Z)，
所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，
得＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝－tan的单调递减区间为
(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
考点一 三角函数的定义域及简单的三角不等式
【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________．
(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________．
解析 (1)由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，
即x≠＋(k∈Z)，故选D.
(2)
由＋2cos x≥0，
得cos x≥－，
由余弦函数的图像，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为，
故原不等式的解集为.
(3)由题意，得
由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ
0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
解析 (1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)法一 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的增区间是(k∈Z)．
因为f(x)在上是增函数，
所以⊆.
所以－≥－且≤，所以ω∈.
法二 因为x∈，ω>0.
所以ωx∈，
又f(x)在区间上是增函数，
所以⊆，
则又ω>0，
得0<ω≤.
法三 因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.
答案 (1)(k∈Z) (2)
规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．
命题角度三 三角函数的对称轴或对称中心
【例3－3】 (1)(2017·陕西适应性测试)若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图像关于直线x＝对称，则φ的最大值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析 (1)由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.
(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图像的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N＋)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.
答案 (1)B (2)B
规律方法 (1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
【训练3】 (1)(2017·南昌二检)函数f(x)＝cos的图像关于( )
A．原点对称 B．y轴对称
C．直线x＝对称 D．直线x＝－对称
(2)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)因为f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x，f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以f(x)＝－sin 2x是奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称．故选A.
(2)函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则(k∈Z)，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
答案 (1)A (2)D
[思想方法]
1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
3．数形结合是本讲的重要数学思想．
[易错防范]
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω
＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析 ①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图像知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.
答案 A
2．(2017·石家庄模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.
答案 B
3．(2016·成都诊断)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
答案 D
4．(2016·铜川模拟)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝对称
D．函数f(x)在区间上是增函数
解析 f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图像可知，函数f(x)的图像不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图像易知，函数f(x)在上是增函数，D正确．
答案 C
5．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图像的一个对称中心坐标是( )
A. B.
C. D.
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图像的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图像的对称中心为，故选A.
答案 A
二、填空题
6．(2017·郑州调研)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析 因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案
7．(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________．
解析 ∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴单调递增区间为.
答案
8．(2016·承德模拟)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析 法一 由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二 由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图像可知，ω＝，解得ω＝.
答案
三、解答题
9．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图像知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
10．(2017·昆明调研)设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
解 (1)f(x)＝sin cos －cos sin －cos
＝sin －cos ＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)法一 在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，
它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．
由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，
从而g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤＋≤，
因此y＝g(x)在区间上的最大值为
g(x)max＝cos ＝.
法二 区间关于x＝1的对称区间为，
且y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，
故y＝g(x)在上的最大值为
y＝f(x)在上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值为
g(x)max＝sin ＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析 ∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案 B
12．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A．f(2)0，∴φmin＝，
故f(x)＝Asin(2x＋)．于是f(0)＝Asin ，
f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，
f(－2)＝Asin＝Asin
＝Asin＝Asin.
又∵－＜－4＜4－＜＜.
又f(x)在上单调递增，
∴f(2)0时，∴a＝3－3，b＝5.
(ⅱ)当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
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