高考数学考点41 直线与圆锥曲线的位置关系

高考数学考点41 直线与圆锥曲线的位置关系

1 （1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想. 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点 在平面直角坐标系 xOy 中，给定两条曲线 ，已知它们的方程为 ， 求曲线 的交点坐标，即求方程组 的实数解. 方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定 设直线 ，圆锥曲线 ，把二者方程联立得到方程组，消去 得到一 个关于 的方程 . （1）当 时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点. （2）当 a=0 时，方程为一次方程，若 b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点； 若 b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点. （1）直线与椭圆有两个交点 相交；直线与椭圆有一个交点 相切；直线与椭圆没有交点 相离. （2）直线与双曲线有两个交点 相交. 当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直 线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点 相离. （3）直线与抛物线有两个交点 相交. 当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直 线与抛物线的对称轴平行或重合. 1 2,C C 1 2: ( , ) 0, : ( , ) 0C f x y C g x y  1 2,C C ( , ) 0 ( , ) 0 f x y g x y    : 0l Ax By C   : ( , ) 0C f x y  ( )y x ( )x y 2 20( 0)ax bx c ay by c      0a  0   0   0         2 直线与抛物线没有交点 相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 两个不同的点， 则弦长 . （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题 （1）AB 为椭圆 的弦， ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在直 线的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值 . （2）AB 为双曲线 的弦， ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在 直线的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和双曲线中心 O 的连线的斜率之积为定值 . （3）在抛物线 中，以 M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率 . 考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次 方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0. 2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项 系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程；若不为 0,则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解. 典例 1 已知椭圆 ，直线 :y＝x＋m． (1)若 与椭圆有一个公共点，求 的值；  1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 22 1( ) ( ) 1 | | 1 | | ( 0)＝AB x x y y k x x y y kk          2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 0 2 0 b xk a y  2 2 b a 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 0 2 0 b xk a y 2 2 b a 2 2 ( 0)y px p  0 pk y 3 (2)若 与椭圆相交于 P,Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求 m 的值． 典例 2 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ． （1）若过点 的直线 与抛物线 有且只有一个交点，求直线 的方程； （2）若直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 的面积． 【解析】（1）由题意知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ， 所以 ， ， 2: 2 ( 0)C y px p  (1,0)F 2: 2 ( 0)E x py p  M M l C l MF C A B OAB△ 2: 2 ( 0)C y px p  (1,0)F 2: 2 ( 0)E x py p  M 2p  (0,1)M 4 1．已知直线 与双曲线 ．当 k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点； （2）有一个公共点； （3）没有公共点． 考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题 直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： （1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． （2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系 数的关系. y kx 2 24 16x y  5 典例 3 已知抛物线 ： （ ），焦点为 ，直线 交抛物线 于 ， 两点， 为 的中点，且 ． （1）求抛物线 的方程； （2）若 ，求 的最小值． ∴ ， 即 ，∴ ， ∴ ， ， 0x AB 6 典例 4 已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ， 的距 离之和为 ． 学@ （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 ： （ ）与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 ，若点 满足 ，求 的值． 【解析】（1）由已知得 ，则 ， 又 ， ∴ ， ∴椭圆 的方程为 ． （2）由 得 ①. ∵直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，∴ ，得 ， 2 2 112 4 x y  2 2 112 4 y x m x y        7 设 、 ， 则 ， ， 当 时， ， 此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ， 令 ，得 ． 当 时， ， 此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ． 令 ，得 ． 综上所述， 的值为 或 ． 2．直线 与双曲线 相交于 A，B 两点． （1）当 时，求线段 AB 的长； （2）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 a 的值． 考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等 问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参 数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用 1y ax  2 23 1x y  2a  8 特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等. 典例 5 如图，已知点 E(m,0)(m＞0)为抛物线 y2＝4x 内一个定点，过 E 作斜率分别为 k1，k2 的两条直线交 抛物线于点 A，B，C，D，且 M，N 分别是 AB，CD 的中点． （1）若 m＝1，k1k2＝－1，求△EMN 面积的最小值； （2）若 k1＋k2＝1，求证：直线 MN 过定点． 学! 9 典例 6 已知椭圆 E: 与 y 轴的正半轴相交于点 M,点 F1,F2 为椭圆的焦点,且 是边长为 2 的等边三角形,若直线 l:y=kx+2 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B. （1）直线 MA,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由； （2）求 的面积的最大值. 【解析】（1）因为 是边长为 2 的等边三角形,所以 2c=2,b= c,a=2, 所以 a=2,b= , 所以椭圆 E: + =1,点 M(0, ). 将直线 l:y=kx+2 代入椭圆 E 的方程,整理得(3+4k2)x2+16 kx+36=0.　(*) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得 Δ=(16 k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0, 所以 k∈(-∞,- )∪( ,+∞),x1+x2= ,x1x2= . 则直线 MA,MB 的斜率之积为 kMA·kMB= 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    1 2△MF F △ABM 1 2△MF F 2 16 3 3 4 k k  2 36 3 4k   1 21 2 1 2 1 2 3 33 3 kx kxy y x x x x      1 22 1 2 3 3k x xk x x    10 , 学！ 3．已知双曲线 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率 ，虚轴长为 . （1）求双曲线 的标准方程； （2）若直线 与双曲线 相交于 两点（ 均异于左、右顶点），且以 为直径的 圆过双曲线 的左顶点 ，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标. 4．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点 与抛物线 的焦点重合，左顶点为 ， 过 的直线交椭圆于 两点，直线 与直线 交于 两点. （1）求椭圆 的方程； （2）试计算 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 2 2 2 2 2 16 33 33 4 9 36 1 36 36 4 3 4 kk k kk k k            C x 5 2e  2 C :l y kx m  C ,A B ,A B AB C D l 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b    11 1．直线 = 与椭圆 = 的位置关系为 A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．已知直线 与双曲线 的右支有两个交点，则 的取值范围为 A． B． C． D． 3．设 为抛物线 ： 的焦点，过 作倾斜角为 30°的直线交 于 、 两点，则 A． B．16 C．32 D． 4．若平行四边形 内接于椭圆 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率 A． B． C． D． 5．过双曲线 的右顶点 A 作倾斜角为 135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的 交点分别为 B,C,若 ,则双曲线的渐近线方程为 A．( +1)x+y=0 B．( +1)y-x=0 C．( +1)x±y=0 D．( +1)y±x=0 6．已知 O 是坐标原点，F 是椭圆 + =1 的一个焦点，过 F 且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 M,N 两点，则 cos∠MON 的值为 A． B． 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    2 2AB BC  5 13 5 13 12 C． D． 7．直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 两点，若线段 的长分别为 ，则 的最小 值是 A．10 B．9 C．8 D．7 8．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点．若 的 中点坐标为 ，则 的方程为 A． B． C． D． 9．已知双曲线 的一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，则此双曲线的离 心率为 A． B． C． D． 10．过抛物线 上的焦点 ，作直线 与抛物线交于 ， 两点，已知 ，则 A．2 B．3 C． D． 11．若椭圆 与直线 有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 2 13 13 2 13 13 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b    (3,0)F F ,A B AB (1, 1) E 2 2 118 9 x y  2 2 136 27 x y  2 2 127 18 x y  2 2 145 36 x y  2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    10, 2      10, 2      1 ,12      1 ,12     13 12．如图,过抛物线 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且 |AF|=3,则此抛物线的方程为 A． B． C． D．y2= x 13．已知椭圆 C: + =1,过点 M(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,若 =2 ,则直线 l 的斜率为 A． B． C． D． 14．若直线 y=kx-1 与抛物线 y2=4x 有且只有一个公共点,则 k 的值为_________. 15．如图，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 C： 的下焦点，交椭圆 C 于 A，B 两点，则弦 AB 的长 等于__________． 16．如果双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为___________. 17．直线 与椭圆 分别交于点 ， ，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线 2 2 ( 0)y px p  2 9y x 2 6y x 2 3y x 1 14 1 14 14 14 14 14 2 2 18 4 y x  14 的斜率为 ，则 的值为__________． 18．过抛物线 C:y2=x 上一点 A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于 P,Q(异于点 A)两点,则直线 PQ 恒过定点_________. 19．已知椭圆 的离心率 ，焦距是 ． （1）求椭圆的方程； （2）若直线 与椭圆交于 、 两点， ，求 的值． 20．已知抛物线 上的点 P 到点 的距离与到直线 的距离之差为 ，过点 的直 线 交抛物线于 两点. （1）求抛物线的方程； （2）若 的面积为 ，求直线 的方程. 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    6 3e  2 2 2( 0)y kx k   C D 6 2 5CD  k 15 21．设 、 分别为双曲线 的左、右项点，双曲线的实轴长为 ，焦点到渐近 线的距离为 ． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 与双曲线的右支交于 、 两点，且在双曲线的右支上存在点 使 ，求 的值及点 的坐标． 22．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ． （1）求 ， 的值； （2）设 ， 是抛物线上分别位于 轴两侧的两个动点，且 ，其中 为坐标原点．求证： 直线 过定点，并求出该定点的坐标． A B 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    4 3 3 3 23y x  M N D OM ON tOD    t D 2 2 ( 0)y px p  (3, )T t F 4 t p A B x 5OA OB   O AB 16 23．已知点 在双曲线 （ ， ）上，且双曲线的一条渐近线的方程是 ． （1）求双曲线 的方程； （2）若过点 且斜率为 的直线 与双曲线 有两个不同的交点，求实数 的取值范围； （3）设（2）中直线 与双曲线 交于 两个不同的点，若以线段 为直径的圆经过坐标原点， 求实数 的值． 24．已知椭圆 以 ， 为焦点，且离心率 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、 ，求 的取值范围； （3）设椭圆 与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在直线 ，满足（2）中的条件且使 得向量 与 垂直？如果存在，写出 的方程；如果不存在，请说明理由. (1, 2)D :C 2 2 2 2 1x y a b  0a  0b  3 0x y  C (0,1) k l C k l C A B、 AB k 17 25．已知抛物线 的焦点 以及椭圆 的上、下焦点及左、右 顶点均在圆 上． （1）求抛物线 和椭圆 的标准方程； （ 2 ） 过 点 的 直 线 交 抛 物 线 于 不 同 的 两 点 ， 交 轴 于 点 ， 已 知 ， ，求证： 为定值． 26 ． 已 知 椭 圆 的 离 心 率 与 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 互 为 倒 数 关 系 ， 直 线 与以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA、MB 交椭圆于 A、B 两点，设两直线的斜率分别 为 k1、k2，且 ，证明：直线 AB 过定点 ． 1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 ， 两点，则 A．5 B．6 2 1 : 2 ( 0)C y px p  F 2 2 2 2 2: 1( 0)y xC a ba b    2 2: 1O x y  1C 2C F 1C ,A B y N 1NA AF  2NB BF  1 2  2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b    : 2 0l x y   1 2 4k k  1( , 1)2  2: 4C y x F ( 2,0) 2 3 C M N FM FN   18 C．7 D．8 2．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶 点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为 A． B． C． D． 3．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线 与 的两条渐近线的交点分别为 ， ．若 为直角三角形，则 A． B．3 C． D．4 4．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________________． 5．（2018 新课标全国Ⅱ理科）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交 于 ， 两点， ． （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程． 6．（2018 新课标全国Ⅰ理科）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 1F 2F 2 2 2 2 1( 0)x yC a ba b   ： A C P A 3 6 1 2PF F△ 1 2 120F F P   C 2 3 1 2 1 3 1 4 2 2: 13 xC y  O F C F C M N OMN△ | |MN  3 2 2 3 ( 1,1)M  2: 4C y x C k C A B 90AMB   k  2 4C y x： F F ( 0)k k  l C A B | | 8AB  l A B C 2 2: 12 xC y  F F l C ,A B 19 的坐标为 ． （1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）设 为坐标原点，证明： ． 7．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中 点为 ． （1）证明： ； （2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： ， ， 成等差数列， 并求该数列的公差． 8．（2018 北京理科）已知抛物线 经过点 ．过点 的直线 与抛物线 有两个不同 的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． （1）求直线 的斜率的取值范围； （2）设 为原点， ， ，求证： 为定值． M (2,0) l x AM O OMA OMB   k l 2 2 14 3 x yC  ： A B AB   1 0M m m ， 1 2k   F C P C FP FA FB   0   FA FP FB 2: 2C y px (1,2)P (0,1)Q l C A B PA y M PB y N l O QM QO  QN QO  1 1   20 9．（2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 过点 ，焦点 ，圆O 的直径为 ． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 l 的方程． 10．（2018 天津理科）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B．已知椭圆的离心率为 ， 点 A 的坐标为 ，且 ． （1）求椭圆的方程； （2）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q． 若 (O 为原点)，求 k 的值． xOy C 1( 3, )2 1 2( 3,0), ( 3,0)F F 1 2F F ,A B OAB△ 2 6 7 2 2 2 2 1x y a b  5 3 ( ,0)b 6 2FB AB  ( 0)y kx k  5 2 sin4 AQ AOQPQ   21 11．（2017 新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是 以线段 AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程． 12．（2017 新课标全国 I 理科）已知椭圆 C： ，四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上． （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明： l 过定点 (4, 2)P  2 2 2 2 1( )0x y a b a b    3 2 3 2 22 2．【解析】由 消去 y 得 ． 设 ， ，则 ， ． （1） ． 当 时， ． （2）由题意知，OA⊥OB，则 ，即 ， 即 ，即 ，解得 ． 所以当以 AB 为直径的圆经过坐标原点时，a 的值为 或 ． 3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为 ， 由已知得 又 ，解得 ， 2 2 1 3 1 x x y y a       2 2(3 ) 2 2 0a x ax    1 1( ),A x y 2 2( ),B x y 1 2 2 2 3 ax x a   1 2 2 2 3x x a   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) (1 )[( ) 4 ]AB x x y y a x x x x        2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(6 )2 8(1 )[( ) ]3 3 |3 | a aaa a a a        2a  2 2 2 2 2 2 2 (1 )(6 ) 2 (1 2 )(6 2 )| | 2 10|3 | |3 2 | a aAB a        1 2 1 2 0x x y y  1 2 1 2( 1)( 1) 0x x ax ax    2 1 2 1 2(1 ) ( ) 1 0a x x a x x     2 2 2 2 2(1 ) 1 03 3 aa aa a        1a   1 1 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    5 ,2 2,2 c ba   2 2 2a b c  2, 1a b  23 所以双曲线的标准方程为 . （2）设 ，由 得 ， 则 ， ， 学@ 4．【解析】（1）由题意知 ，右焦点 ，即 ，且 ， 解得 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）由（1）知 ， 当直线 的斜率不存在时，即直线 的方程为 ， 易知 ，所以直线 . 令 ，可知： , 2 2 14 x y  1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 14 y kx m x y     2 2 2(1 4 ) 8 4( 1) 0k x mkx m     2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 64 16(1 4 )( 1) 0 8 1 4 4( 1) 1 4 m k k m mkx x k mx x k                2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x mk x x m        2 2 2 4 1 4 m k k   24 1．【答案】A 【解析】由题意得直线 = 恒过定点 ,而点 在椭圆 = 的内部,所以直线与椭圆相 交.选 A． 2．【答案】D 【解析】∵双曲线的渐近线方程为 ，∴当﹣1＜k≤1 时，直线与双曲线的右支只有 1 个交点； 当 k≤﹣1 时，直线与双曲线的右支没有交点. 把 代入 得 ， 令 ，解得 k= 或 k=﹣ （舍去）． ∴直线 与双曲线 的右支有两个交点时，1＜k＜ ．故选 D． 3．【答案】C 【解析】由题意知 ，AB 所在直线的方程为 ，联立 消元得 y x  1y kx  2 2(1 ) 2 5 0k x kx    2 24 20(1 ) 0k k     25 ，设 ，则 ， 所以 ，故选 C． .网 4．【答案】B 5．【答案】C 【解析】由题意知直线过点 A(a,0),且斜率 k=tan 135°=-1, 则直线的方程为 x+y-a=0. 将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得 B( , ),C( ,- ), 则有 , . 因为 ,所以 , 化简得 +1,则双曲线的渐近线方程为( +1)x±y=0.故选 C. 6．【答案】B 【解析】由题意,a2=4,b2=3,故 c= = =1. 2 2 2 2 2 2 2 2( , )a b a bBC a b a b     ( , )ab abAB a b a b   2 2 2 2ab a b a b a b    26 不妨设 M(1,y0),N(1,-y0),所以 + =1,解得 y0=± , 所以|MN|=3,|OM|=|ON|= = . 由余弦定理知 ,故选 B. 7．【答案】B 8．【答案】A 【解析】由题意设 ，所以 ，整理得 ； 因为 的中点坐标为 ，所以 ； 因为 ，所以 ，所以 ； 因为 ，所以 ． 所以 的方程为 ．故选 A． 9．【答案】B 【解析】双曲线 的一条渐近线不妨设为： ， 3 2 2 231 ( )2 2 2 22 2 2 13 13( ) ( ) 3 52 2cos 2 1313 132 2 2 OM ON MNMON OM ON             1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b       1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0x x y y y y a x x b      AB  1, 1 1 2 1 22, 2x x y y     1 2 1 2 1 0 1 1 3 2AB y yk x x       2 2 2 1 2 02a b    2 22a b 2 23c a b   2 218, 9a b  E 2 2 118 9 x y  2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    27 则 ，可得 . 一 条 渐 近 线 截 椭 圆 所 得 弦 长 为 ， 可 得 ， 即 ， 解 得 ．故选 B． 学@ 10．【答案】B 11．【答案】B 【解析】联立方程得 ，消去 y 化简得 ， 由题意得 . 故该椭圆离心率的取值范围是 ，故选 B． 12．【答案】C 2 2 0 14 bx ay x y     2 2 2 2 ±2 4 ±2 4 ax a b by a b         2 2 2 2 4 4 4 4 3 a b a b   28 是 ,选 C. 13．【答案】C 【解析】由题意可得,直线 l 的斜率存在且不为 0,不妨设直线 l:y=k(x-1), 则由 消去 y 化简得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得 x1+x2= ,x1x2= . 因为 =2 ,所以 x1+2x2=3, 所以 x2= ,x1= , 所以 x1x2= · ,化简得 k2= , 解得 k=± ,故选 C. 14．【答案】-1 或 0 【解析】当 k=0 时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点; 当 k≠0 时,将直线方程与抛物线方程联立得 ,得 y2- y- =0,因而 Δ= + =0,即 k=-1. 从而 k=-1 或 0. 15．【答案】 学@ 2 3y x 2 22 8 y kx k x y      2 2 4 1 2 k k 2 2 2 8 1 2 k k   2 2 3 2 1 2 k k   2 1 4 y kx y x     8 2 3 29 16．【答案】 【解析】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 代入抛物线方程 ，整理得 ， ∵渐近线与抛物线相切， ，即 . 故答案为 . 17．【答案】 【解析】设 ，中点 ，则 ， 把点 代入椭圆的方程 ，整理得 ， 两式相减得 ，整理得 ， 即 . 18．【答案】(2,-1)  2 2 2 21 2 1 2 02 x x y y          2 2 1 2 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y y y yy y x x x x x x        30 19．【解析】（1）由题意得 ，所以 ， 又 ，所以 ， ， 所以椭圆的方程为 ． （2）设 ， ， 将 代入 ，整理得 ， 所以 ①， ， ， 又 ， ， 所以 ， 又 ， 代入上式，整理得 ，即 ， 解得 （舍去）或 ，即 ， 经验证， 能使①成立， 故 ． 20．【解析】（1）设 ， 由定义知 ， ， ， 故抛物线的方程为 . （2）设 ，由（1）知 . 若直线 的斜率不存在，则方程为 ， 学@ 2 2 2c  2 2c  6 3 c a  2 3a  2 1b  2 2 13 x y  1 1( , )C x y 2 2( , )D x y 2y kx  2 2 13 x y  2 2(1 3 ) 12 9 0k x kx    2 2(12 ) 36(1 3 ) 0k k     1 2 2 12 1 3 kx x k    1 2 2 9 1 3x x k   2 2 1 2 1 2( ) ( )CD x x y y    1 2 1 2( )y y k x x   2 2 1 2 6 2 1 ( )5 k x x   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 36( ) ( ) 4 (1 3 ) 1 3 kx x x x x x k k       4 27 12 27 0k k   2 2(7 9)( 3) 0k k   2 9 7k   2 3k  3k   3k   3k   31 故直线 的方程为 或 . 21．【解析】（1）由实轴长为 ，得 ，渐近线方程为 ，即 ， 因为焦点到渐近线的距离为 ，所以 ， 又 ， 所以双曲线的方程为 ． （2）设 ， 则 ， 由 ， 所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 22．【解析】（1）由抛物线的定义得， ，解得 ， 4 3 2 3a  2 3 by x  2 3 0bx y  3 2 3 12 bc b   2 2 2 2, 3c b a b    2 2 112 3 x y  1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )M x y N x y D x y 1 2 0 1 2 0,x x tx y y ty    2 1 22 2 3 23 16 3 84 0 16 3 112 3 y x x x x x x y              1 2 1 2 3 ( ) 4 123y y x x     0 0 4 3 3 x y  2 2 0 0 112 3 x y  0 0 4 3 3 x y    4t  (4 3,3)D 3 42 p  2p  32 23．【解析】（1）由题意知， ，解得 ． 因此，所求双曲线 的方程是 ，即 ． （2）∵直线 过点 且斜率为 ，∴直线 的方程为 ． 由 得 ． ∵直线 与双曲线 有两个不同的交点，∴ ， 解得 ． （3）设直线 与双曲线 的交点为 ，由（2）可得 ， 2 2 1 2 1 3 a b b a      2 2 1 3 1 a b     C 2 2 11 1 3 x y  2 23 1x y  l (0,1) k l 1y kx  2 23 1 1 x y y kx       2 2(3 ) 2 2 0k x kx    l C 2 2 2 3 0 ( 2 ) 4(3 )( 2) 0 k k k          ( 6, 3) ( 3, 3) ( 3, 6)k      l C 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3 kx x k x x k        33 24．【解析】（1）设椭圆 的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为 、 、 . 由题设知： . @网 由 ，得 ，则 . ∴椭圆 的方程为 . （2）过点 ，斜率为 的直线 ： ，即 ： . 与椭圆 的方程联立，消去 得 ①， 由 与椭圆 有两个不同的交点，知 ，解得 或 . ∴ 的取值范围是 . （3）设 、 ，可知 、 是①的两根， 2 2k   2 2k  k 2 2, ,2 2                 1 1,P x y  2 2,Q x y 1x 2x 34 ∴不存在满足题设条件的 . 25．【解析】（1）由 的焦点 在圆 上得 ，则 . 所以抛物线 的标准方程为 . 由 椭 圆 的 上 、 下 焦 点 及 左 、 右 顶 点 均 在 圆 上，可解得 ，则 ， 故椭圆 的标准方程为 . （2）设直线 的方程为 ， ， ，则 ． 由 消去 ，得 ， 则 ， . 由 ， ，得 ， ， 整理得 ， 2 1 : 2 ( 0)C y px p  ( ,0)2 pF 2 2: 1O x y  2 14 p  2p  1C 2 4y x 2 2 2 2 2: 1( 0)y xC a ba b    (0, ),(0, )c c ( ,0),( ,0)b b 2 2: 1O x y  1b c  2a  2C 2 2 12 yx   AB ( 1)( 0)y k x k   1 1( , )A x y 2 2( , )B x y (0, )N k 2 4 ( 1) y x y k x      y 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    216 16 0k    2 1 2 1 22 2 4 , 1kx x x xk    1NA AF  2NB BF  1 1 1(1 )x x   2 2 2(1 )x x   1 2 1 2 1 2 ,1 1 x x x x    35 故 . 故 为定值 . 26．【解析】（1）易知等轴双曲线的离心率为 ，则椭圆的离心率为 ， 学@ 此时直线 的方程为 ，显然过点 ． ②若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，易知 ． 设 ，由 得 ， 则 ， .（1） ∵ ，∴ ， 即 ，即 . 把（1）代入得 ，则 ，故 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 11 1 1 ( ) x x x x x x x x x x x x             1 2  1 2 1 2 ce a  AB 1 2x   1( , 1)2  AB AB y kx m  1m   1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 22 2 y kx m x y      2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     1 2 2 4 1 2 kmx x k    2 1 2 2 2 2 1 2 mx x k   1 2 4k k  1 2 1 2 1 1 4y y x x    1 2 1 2 1 1 4kx m kx m x x      1 2 1 2 2 ( 1) 4x xk m x x    21 kmk m  2( 1)k m  12 km   36 则直线 的方程为 ，即 ， 故直线 AB 过定点 ． 1．【答案】D 2．【答案】D 【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ，由 的斜率为 可 得 ，所以 ， ，由正弦定理得 ， 所以 ，所以 ， ，故选 D． 3．【答案】B 【解析】由题可知双曲线 的渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，从而可得 ， 所以直线 的倾斜角为 或 ，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，可以得出直线 的 方 程 为 ， 分 别 与 两 条 渐 近 线 和 联 立 ， 求 得 ， ，所以 ，故选 B． 4．【答案】2 【解析】设 ， ，则 ，所以 ，所以 ， 取 的 中 点 ， 分 别 过 点 ， 作 准 线 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 ， ， 因 为 AB 12 ky kx   1( ) 12y k x   1( , 1)2  1 2PF F△ 1 2 120F F P   2 1 2 2PF F F c  AP 3 6 2 3tan 6PAF  2 1sin 13 PAF  2 12cos 13 PAF  2 2 2 2 sin sin PF PAF AF APF   2 1 1 2 213 13=π 53 12 1 1sin( )3 2 213 13 c a c PAF        4a c 1 4e  C 3 3 (2,0)F 30FON   MN 60 120 60 MN 3( 2)y x  3 3y x 3 3y x  (3, 3)M 3 3( , )2 2N  2 23 3| | (3 ) ( 3 ) 32 2MN      1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x     2 2 1 2 1 24 4y y x x   1 2 1 2 1 2 4y yk x x y y    AB 0 0( , )M' x y A B 1x   A B' 37 ，所以 ，因为 为 的中点， 所以 平行于 轴，因为 ，所以 ，则 ，所以 ． 5．【解析】（1）由题意得 ，l 的方程为 ．设 ， 6．【解析】（1）由已知得 ，l 的方程为 x=1． 由 已 知 可 得 ， 点 A 的 坐 标 为 或 ， 所 以 AM 的 方 程 为 或 ． （2）当 l 与 x 轴重合时， ． 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 ． 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ， ， 则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 ． 由 得 ． 90AMB   1 1 1| | | | (| | | |) (| | | |)2 2 2MM' AB AF BF AA BB'     M' AB MM' x 1( )1,M  0 1y  1 2 2y y  2k  (1,0)F ( 1)( 0)y k x k   1 2 21( , ), ( , )A y x yx B (1,0)F 2(1, )2 2(1, )2 2 22y x   2 22y x  0OMA OMB     OMA OMB   ( 1)( 0)y k x k   1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 1 22, 2x x  2 1 2 1 2 2MA MB x x y yk k    11 22,y k k xy kx k    1 2 1 2 1 2( 2 3 ( ) 4 2)( 2)MA MB x x x xk k x x kk k       38 将 代入 得 ． 所 以 ， 则 ． 从而 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 ． 综上， ． 7．【解析】（1）设 ，则 ． 两式相减，并由 得 ． 由题设知 ，于是 ．由题设得 ，故 ． （2）由题意得 ，设 ，则 ． 由（1）及题设得 ． 又点 P 在 C 上，所以 ，从而 ， ． 于是 ，同理 ， 所以 ，故 ，即 成等差数列． ( 1)y k x  2 2 12 x y  2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k     2 1 22 1 2 22 4 2 2,2 1 2 1x x xk k k x k     3 1 3 1 3 2 2 2 4 4 12 8 42 3 ( ) 4 02 1 k k k k kk k k kx x x x         0MA MBk k  OMA OMB   OMA OMB   1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 2 2 2 2 1 21 21, 14 3 4 3 y x yx     1 2 2 1y x y kx   11 2 2 04 3 yx y kx    1 2 1 21,2 2 x yx y m   3 4k m  30 2m  1 2k   (1,0)F 3 3( , )P x y 3 3 1 1 2 2( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) (0,0)y x x yx y      3 32 1 213 ( ) 1, ( ) 2 0y yx x yx m          3 4m  3(1, )2P  3| | 2FP  2 2 2 2 1 1 1 1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2 x xFA x xy         2| | 2 2 xFB   1 2 1| | | | 4 ( ) 32FA FB x x      2 | | | | | |FP FA FB    | |,| |,| |FA FP FB   39 8．【解析】（1）因为抛物线 经过点 ， 所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为 ． 由题意可知直线 的斜率存在且不为 ，设直线 的方程为 ． 由 可得 ． 依题意 ，解得 或 ． 又 ， 与 轴相交，故直线 不过点 ．从而 ． ￥%网 2 2y px (1,2)P 4 2p 2p  2 4y x l 0 l 1( 0)y kx k   2 4 1 y x y kx      2 2 (2 4) 1 0k x k x    2 2(2 4) 4 1 0k k       0k  0 1k  PA PB y l (1, 2) 3k   40 9 ．【 解 析 】（ 1 ） 因 为 椭 圆 C 的 焦 点 为 ，可 设 椭 圆 C 的 方 程 为 ． 又点 在椭圆 C 上，所以 ，解得 因此椭圆 C 的方程为 ． 因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为 ． （2）①设直线 l 与圆 O 相切于 ，则 ， 所以直线 l 的方程为 ，即 ． 由 消去 y，得 ．（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 ． 因为 ，所以 ．因此点 P 的坐标为 ． 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    1( 3, )2 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b       2 2 4, 1, a b    2 2 14 x y  1 2F F 2 2 3x y  0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y  2 2 0 0 3x y  0 0 0 0 ( )xy x x yy    0 0 0 3xy xy y   2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y        2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y     2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 ) (4 4 36 4 8 2 0)4x x y y y x         0 0, 0x y  0 02, 1x y  ( 2,1) 41 10．【解析】（1）设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b． 由已知可得， ， ，由 ，可得 ab=6， 从而 a=3，b=2，所以椭圆的方程为 ． （ 2 ） 设 点 P 的 坐 标 为 （ x1 ， y1 ），点 Q 的 坐 标 为 （ x2 ， y2 ）．由 已 知 有 y1>y2>0 ， 故 ． 又 因 为 ， 而 ∠ OAB= ， 故 ． 由 ，可得 5y1=9y2． 由方程组 消去 x，可得 ．易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0，由方程组 消去 x，可得 ．由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= ，两边平方，整理得 ，解得 ，或 ． 所以 k 的值为 11．【解析】（1）设 ， ． 2 2 5 9 c a  FB a 2AB b 6 2FB AB  2 2 19 4 x y  1 2sinPQ AOQ y y   2 sin yAQ OAB  π 4 22AQ y 5 2 sin4 AQ AOQPQ   2 2 19 4 y kx x y    ， ， 1 2 6 9 4 ky k   2 0 y kx x y      ， ， 2 2 1 ky k  23 9 4k  256 50 11 0k k   1 2k  11 28k  1 11 2 28 或 ． 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y : 2l x my  42 由（1）可得 ． 所以 ，解得 或 ． 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方 程为 ． 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 ． 【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的 关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问 题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证 或说明中点在曲线内部. 12．【解析】（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点． 又由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上． 因此 ，解得 ，故 C 的方程为 ． 1 2 1 24, 4y y x x   22 1 0m m   1m  1 2m   1m  l 2 0x y   M (3,1) M 10 M 2 2( 3) ( 1) 10x y    1 2m   l 2 4 0x y   M 9 1( , )4 2 M 85 4 M 2 29 1 85( ) ( )4 2 16x y    0  3P 4P 3P 4P 2 2 2 2 1 1 1 3 4a b a b   2 2 2 1 1 1 3 14 b a b      2 2 4 1 a b    2 2 14 x y  43 而 ． 由题设 ，故 ， 即 ，解得 ， 当且仅当 时 ，于是 l： ，即 ， 所以 l 过定点（2， ）． 【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判 断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而 可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和 存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简． 1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x     1 2 1 2 1 1kx m kx m x x      1 2 1 2 1 2 2 ( 1)( )kx x m x x x x    1 2 1k k   1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x     2 2 2 4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1 m kmk mk k         1 2 mk   1m   0  1 2 my x m   11 ( 2)2 my x    1