2018届二轮复习（理）专题六 概率与统计第2讲学案（全国通用）
第2讲 概率、随机变量及其分布列
高考定位 1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等.
真 题 感 悟
1.(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
解析 由题意得，所求概率p＝＝，故选C.
答案 C
2.(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B. C. D.
解析 如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.
答案 B
3.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D(X)＝
np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案 1.96
4.(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
解 (1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，
由表格数据知
P(X＝200)＝＝0.2，
P(X＝300)＝＝0.4，
P(X＝500)＝＝0.4.
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；
因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.
当200≤n<300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；
因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
考 点 整 合
1.概率模型公式及相关结论
(1)古典概型的概率公式.
P(A)＝＝.
(2)几何概型的概率公式.
P(A)＝.
(3)条件概率.
在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.
(4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).
(5)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
P()＝1－P(A).
2.独立重复试验与二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.
3.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝
，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.
4.离散型随机变量的均值、方差
(1)离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
n
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).
(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值.
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差.
(3)数学期望、方差的性质.
①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).
②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
热点一 古典概型与几何概型
【例1】 (1)(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.
解析 (1)把5名同学依次编号为甲乙丙丁戊，基本事件空间Ω＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊}，包含基本事件总数n＝10.设A表示事件“甲被选中”，则A＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，包含基本事件数m＝4.所以概率为P＝＝.
(2)若直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，则有圆心到直线的距离d＝<3，解之得－
3.841，
所以有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响.
(2)依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2.
则P(X＝0)＝(1－p1)(1－p2)，P(X＝2)＝p1p2，
P(X＝1)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)，
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
(1－p1)(1－p2)
(1－p1)p2＋p1(1－p2)
p1p2
∴E(X)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)＋2p1p2＝p1＋p2＝1.12，所以p1＝1.12－p2＝0.72，
因此p1－p2＝0.72－0.4＝0.32≥0.3，两人适合结为“师徒”.
探究提高 1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.
2.联系高中生使用手机这一生活现象，利用数学中列联表、独立性检验，
予以研究二者的相关性，考查了茎叶图、相互独立事件同时发生、分布列.题目主旨，引导学生正确对待使用手机，切勿玩物丧志，并倡导互帮互助的学习风气.
【训练4】 (2017·全国Ⅰ卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2).
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ(精确到0.01).
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σm)＝0.3，
则P(X>8－m)＝( )
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.与σ的值有关
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，
∴正态曲线的对称轴是x＝4，
∵P(X>m)＝0.3，且m与8－m关于x＝4对称，
由正态曲线的对称性，
得P(X>m)＝P(X<8－m)＝0.3，
故P(X>8－m)＝1－0.3＝0.7.
答案 C
5.(2017·浙江卷)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则( )
A.E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
B.E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C.E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
D.E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
解析 由题设可知E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，从而E(ξ1)＜E(ξ2)，
又D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
所以D(ξ1)－D(ξ2)＝(p1－p2)(1－p1－p2)＜0.
故D(ξ1)＜D(ξ2).
答案 A
二、填空题
6.(2017·潍坊三模)在[0，a](a>0)上随机抽取一个实数x，若x满足<0的概率为，则实数a的值为____________.
解析 由<0，得－10)，
因此所求事件的概率P＝＝，则a＝4.
答案 4
7.(2017·天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答).
解析 当不含偶数时，有A＝120个，
当含有一个偶数时，有CCA＝960个，
所以这样的四位数共有1 080个.
答案 1 080
8.(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________.
解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－×＝，依题意X～B，则E(X)＝2×＝.
答案
三、解答题
9.(2017·成都二诊)甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响.
(1)若每人投球3次(必须投完)，投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；
(2)若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标.达标或能断定不达标，则终止投篮.记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X).
解 (1)记“甲达标”为事件A，则P(A)＝C××＋＝.
(2)X的所有可能的值为2，3，4.
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝××＋××＋＋××＝，
P(X＝4)＝××＋××＝.
所以X的分布列为：
X
2
3
4
P
∴E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
10.(2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
解 (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3.
(2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.
所以ξ的所有可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大.
11.(2017·新乡三模)为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
甲班频数
5
6
4
4
1
乙班频数
1
3
6
5
5
(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.
解 (1)由统计数据得2×2列联表：
甲班
乙班
总计
成绩优良
9
16
25
成绩不优良
11
4
15
总计
20
20
40
根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈5.227>5.024，
∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为×8＝3，则X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
