2019年新疆中考数学试题（解析版）

2019年新疆中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 9小题，每小题 5 分，合计45分． ‎ ‎{题目}1．（2019年新疆T1）－2的绝对值是（ ）‎ ‎ A．2 B．－2 C．±2 D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了绝对值，一个负数的绝对值等于它的相反数，所以| －2 |=2，因此本题选A．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年新疆T2）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了简单几何体的三视图，选项A：主视图是正方形，选项B：主视图是矩形，选项C：主视图是三角形，选项D：主视图为圆，因此本题选D．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单几何体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年新疆T3）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的度数是（ ）‎ ‎ ‎ A．40° B．50° C．130° D．150°‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了平行线的性质，如图所示，设∠1的对顶角为∠2，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝180°﹣∠A＝130°，‎ ‎∴∠1＝∠2＝130°，因此本题选C．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{考点:两直线平行内错角相等}‎ ‎{考点:两直线平行同旁内角互补}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019年新疆T4）下列计算正确的是（ ）‎ A．a2·a3=a6 B．(－2ab)2=4a2b2 C．x2＋3x2=4x4 D．－6a6÷2a2=－3a3‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了整式的运算，选项A：a2·a3=a5；选项B正确；选项C：x2＋3x2=4x2；选项D：－6a6÷2a2=－3a4，因此本题选B．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:合并同类项}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{考点:同底数幂的除法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年新疆T5）甲、乙两人连续5次射击成绩如图所示，下列说法中正确的是（ ）‎ A．甲的成绩更稳定 B．乙的成绩更稳定 C．甲、乙的成绩一样稳定 D．无法判断谁的成绩更稳定 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了方差的意义，，，‎ ‎，，‎ ‎∵，‎ ‎∴乙的成绩更稳定．‎ 也可以直接根据折线图的波动情况，乙的波动较小，故乙的成绩更稳定，因此本题选B．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{考点:方差的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．（2019年新疆T6）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C．且k≠1 D．且k≠1‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，‎ ‎∵关于x的一元二次方程有两个实数根，‎ ‎∴Δ≥0，‎ 即：12－4×(k－1) ×1≥0，‎ 解得：k≤.‎ 又∵k－1≠0，‎ ‎∴k≠1．‎ ‎∴k的取值范围为且k≠1．‎ 因此本题选D．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-21-2-2]公式法}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7．（2019年新疆T7）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）‎ ‎ A． B． C．x(x－1)=36 D．x(x＋1)=36 ‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用，设有x个队参赛，则每个队都要跟其余的(x－1)个队进 行比赛，但两个队之间只比赛一场 ，故可列方程为：，因此本题选A．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用（球队比赛问题）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019年新疆T8）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）‎ ‎ A．BP是∠ABC的平分线 B．AD=BD ‎ ‎ C．SΔCBD∶SΔABD=1∶3 D．CD=BD ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了含有30°角的直角三角形以及尺规作图，‎ 由画法可知BP是∠ABC的平 分线，选项A正确；‎ ‎∵∠C=90°，∠A=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°． ‎ ‎∵BP是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠ABP=∠DBC=∠A=30°．‎ ‎∴AD=BD．CD选项B正确；‎ ‎∵∠DBC=30°， ‎ ‎∴CD=BD．选项D正确；‎ ‎∵CD=BD，BD=AD，‎ ‎∴CD∶AD=1：2．‎ ‎∵ΔBCD与ΔACD具有相同的高BC，‎ ‎∴SΔCBD∶SΔABD=1∶2．选项C不正确，因此本题选C．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-13-2-2]等边三角形}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{考点:与角平分线有关的作图问题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019年新疆T9）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，‎ F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①SΔABM=4SΔFDM ；②；③tan∠EAF=；④ΔPMN∽ΔDPE．正确的是（ ）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形、相似三角形和解直角三角形，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=2，BE=EC=1．‎ ‎∵AF⊥DE，‎ ‎∴∠DAF+∠ADN=90°，‎ ‎∵∠ADN+∠NDF=90°，‎ ‎∴∠DAF=∠NDF．‎ ‎∵AD=DC，∠ADF=∠C=90°，‎ ‎∴ΔADF≌ΔDCE．‎ ‎∴DF=EC=1．‎ ‎∴AB∶DF=2∶1，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴ΔABM∽ΔFDM，‎ ‎∴‎ ‎∴SΔABM=4SΔFDM ；结论①正确；‎ tan∠DAF=．‎ 设DN=x，则AN=2x x2＋2x2＝22，‎ 解得：‎ ‎∴DN=，AN=．‎ ‎∵DE=．‎ ‎∴EN＝．‎ ‎∴tan∠EAF=．结论③正确；‎ 过点P作PQ⊥ED，垂足为Q，‎ ‎.‎ ‎∵BE∥AD，‎ ‎∴．‎ ‎∵PQ⊥DE，AF⊥DE，‎ ‎∴PQ∥AF．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎．‎ ‎∴，结论②正确；‎ 由计算可知PN≠DN，∴∠NPD≠∠NDP，‎ ‎∴ΔPMN 与ΔDPE不可能相似，故结论④错误．‎ 所以，正确的结论是①②③，因此本题选A．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{考点:由平行判定相似}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，合计30分．‎ ‎{题目}10．（2019年新疆T10）将数526 000 用科学记数法表示为 ．‎ ‎{答案}5.26×105‎ ‎{解析}本题考查了用科学记数表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．526 000=5.26×105，因此本题答案为5.26×105．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}11．（2019年新疆T11）五边形的内角和为 度．‎ ‎{答案}540‎ ‎{解析}本题考查了多边形的内角和，根据n边形的内角和公式为(n－2) ·180°，可得五边形的内角和为：(5－2) ·180°=540°，因此本题答案为540．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}‎ ‎{考点:多边形的内角和}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12．（2019年新疆T12）计算： ．‎ ‎{答案}a＋b ‎{解析}本题考查了分式的加减运算，，因此本题答案为a+b．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．（2019年新疆T13）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了事件的概率，根据题意，列表如下：‎ ‎ 第1枚 第2枚 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 由表格可以看出共有36种结果，其中和小于5的共有6种结果，‎ 所以，P（点数之和小于5）=，因此本题答案为．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:两步事件放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}14．（2019年新疆T14）如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30‎ ‎°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了图形的旋转和解直角三角形，过点C作CF⊥AE，垂足为F，‎ 由△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ACD，‎ 可得∠BAC=∠CAD=30°，AD＝AC＝4，‎ ‎∵AB＝BC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=75°．‎ ‎∴∠E=∠ACB－∠CAE=45°．‎ 在Rt△ACF中，‎ ‎∵∠CAF=30°，AC=4，‎ ‎∴CF=AC=2．‎ ‎∴AF＝．‎ 在Rt△ECF中，‎ ‎∵∠E=45°，‎ ‎∴EF=CF=2．‎ ‎∴DE＝AF＋EF－AD=．‎ 因此本题答案为．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}15．（2019年新疆T15）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=－2x与反比例函数的图象交于A（a，－4），B两点．过原点O的另一条直线l与双曲线交于P，Q两点（P点在第二象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是 ．‎ ‎{答案}（－4，2）或（－1，8）‎ ‎{解析}本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，‎ 如图所示，当点P在点B下方时，过点P作PC⊥x轴，BD⊥x轴，‎ 把A（a，－4） 代入y=－2x，得a=2，‎ ‎∴A（2，－4），点B的坐标为（－2，4）．‎ ‎∴k=2×(－4)= －8，‎ ‎∴反比例函数表达式为．‎ ‎∵S四边形PCOB=S梯形CPBD+S△BOD= S△BOP+ S△POC，S△POC= S△BOD，‎ ‎∴S梯形CPBD= S△BOP．‎ ‎∵点A、B、P、Q都在反比例函数的图 象上，‎ ‎∴OA=OB，OP=OQ．‎ ‎∴四边形APBQ为平行四边形．‎ ‎∴S△BOP＝．‎ 设P（m，）‎ S梯形CPBD＝．‎ 解得：m1=－4，m2=1（舍去）‎ 所以点P坐标为（－4，2），‎ 同理可得，当点P在点B上方时，如图所示：‎ 此时，点P的坐标为（－1，8）．‎ 所以点P的坐标为（－4，2）或（－1，8）．‎ 因此本题答案为（－4，2）或（－1，8）．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的几何意义}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{考点:代数填空压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计75分．‎ ‎{题目}16．（2019年新疆T16）计算：．‎ ‎{解析}本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有理数的乘方、算术平方根的计算，零指数幂及负指数幂的计算．‎ ‎{答案}解： 原式=－4－3＋1＋3=－3‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{考点:算术平方根}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:负指数参与的运算}‎ ‎{题目}17．（2019年新疆T17）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，分别解出两个一元一次不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间，大大小小无处找”得出解集，然后在数轴上表示出来即可．‎ ‎{答案}解： 解不等式①，得：x＜2‎ 解不等式②，得：x＞1‎ 所以，不等式组的解集为 ：1＜x＜2．‎ 在数轴上表示如图所示：‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{题目}18．（2019年新疆T18）某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）：‎ ‎30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45‎ 对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：‎ 表一 时间t（单位：分钟）‎ ‎0≤t＜30‎ ‎30≤t＜60‎ ‎60≤t＜90‎ ‎90≤t＜120‎ 人数 ‎2‎ a ‎10‎ b 表二 平均数 中位数 众数 ‎60‎ c d 根据以上提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）填空：‎ ‎①a= ，b= ；‎ ‎②c= ，d= ．‎ ‎（2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．　　　　‎ ‎{解析}本题考查了平均数、中位数与众数．（1）①直接按照范围数一下即可求出a，b的数值；②把所有20个数据从小到大排序，最中间两个数的平均数即为中位数；这20个数据中出现次数最多的数据即为众数；（2）计算出平均数，然后找出达到平均数及以上的人数，即可估计该校九年级达到平均数及以上的学生人数．‎ ‎{答案}解：（1） ①a=5，b=3；②将这20个数从小到大排序后，位于中间的两个数为60和70，所以中位数，出现次数最多的数据是70，出现在4次，故众数d=70．‎ ‎（2）‎ 这20个人中达到平均水平及以上的学生人数有13人，‎ 所以，（人）‎ 答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为130人．　　　　‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:算术平均数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{题目}19．（2019年T19）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．‎ 求证：（1）△ODE≌△FCE；‎ ‎（2）四边形OCFD是矩形．‎ ‎{解析}本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质以及矩形的判定．（1）由平行线的性质，得到∠DCF=∠ODC，再由E是CD中点，对顶角相等，利用ASA证明三角形全等；（2）先由全等得到对角线互相平分，从而四边形OCFD是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直得到一个直角即可证明．‎ ‎{答案}解：（1） ∵CF∥BD，‎ ‎∴∠DCF=∠ODC，‎ ‎∵E是CD中点，‎ ‎∴EC=ED．‎ ‎∵∠CEF＝∠DEO，‎ ‎∴△ODE≌△FCE ‎（2）∵△ODE≌△FCE，‎ ‎∴OE=EF．‎ ‎∵DE=EC，‎ ‎∴四边形OCFD是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴BD⊥AC．‎ ‎∴∠DOC=90°．‎ ‎∴四边形OCFD是矩形．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{题目}20．（2019年新疆T20）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．‎ ‎（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；‎ ‎（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．（参考数据：，，）‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用，（1）过点P作PC⊥AB，垂足为C，则PC的长度即为所求，由题意可知∠A=45°，用∠A的正弦值可求PC；（2）解Rt△BCP，求出BC，由（1）求出AC，进一步求出AB的长度与5小时所走路程进行比较即可得出结论．‎ ‎{答案}解： 过点P作PC⊥AB，垂足为C．‎ ‎∵海轮位于灯塔P的东北方向，‎ ‎∴∠A=45°，‎ 在Rt△APC中 sin45°=‎ ‎∴PC=APsin45°=．‎ 答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为海里．‎ ‎（2）∵∠A=45°，‎ ‎∴AC=PC=．‎ ‎∵点B位于灯塔P的南偏东30°方向上，‎ ‎∴∠B=30°．‎ 在Rt△BPC中 tan30°=‎ ‎∴BC=．‎ ‎∴（海里）．‎ ‎∵30×5=150（海里）＜154.4（海里），‎ ‎∴海轮不能在5小时内到达B处．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形－方位角}‎ ‎{题目}21．（2019年新疆T21）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．请根据图象提供的信息完成下列问题：‎ ‎（1）降价前苹果的销售单价是 元/千克；‎ ‎（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？‎ ‎{解析}本题考查了一次函数的实际应用．（1）直接根据当x=40千克时，销售金额为640元进行计算即可；（2）根据（1）求得的单价求出降价后的单价，利用“销售金额=销售单价×销售量”列出函数关系式，把y=760代入即可求出购进苹果的总数量，从而写出自变量的取值范围；（3）直接用总销售金额760元减去购进苹果花费的总金额即可求出．‎ ‎{答案}解： （1）640÷40=16（元/千克）；‎ 所以降价前苹果的销售单价是16元/千克；‎ ‎（2）16－4=12元/千克 y=640＋12（x－40）‎ 即：y=12x＋160‎ 令y=760，则12x＋160=760‎ 解得：x=50‎ 所以，降价后y与x的函数关系式为y=12x+160（40＜x≤50）．‎ ‎（3）760－50×8=260（元）‎ 所以，该水果店这次销售盈利260元．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分段函数的应用}‎ ‎{题目}22．（2019年新疆T22）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，CE⊥AB于点E．‎ ‎（1）求证：∠BCE=∠BCD；‎ ‎（2）若AD=10，CE=2BE，求⊙O的半径．‎ ‎{解析}本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质．（1）连接OC，根据切线的性质和直角三角形两锐角互余，结合OB=OC，利用等角的余角相等进行证明；（2）连接AC，证明△ACD∽△CBD和△ACE∽△CBE，利用相似比求出CD的长，再利用比例式求出半径．‎ ‎{答案}解： （1）连接OC，‎ ‎∵CD与⊙O相切于点C，‎ ‎∴∠OCD=90°．‎ ‎∴∠OCB＋∠BCD=90°．‎ ‎∵CE⊥AB，‎ ‎∴∠OBC＋∠BCE=90°．‎ ‎∵OC=OB，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC．‎ ‎∴∠BCE=∠BCD．‎ ‎（2）连接AC ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°．‎ ‎∴∠A+∠ABC=90°．‎ ‎∵∠ABC+∠BCE=90°，‎ ‎∴∠A=∠BCE．‎ ‎∴∠BCE =∠BCD．‎ ‎∴∠A=∠BCD．‎ ‎∵∠D=∠D，‎ ‎∴△ACD∽△CBD．‎ ‎∴．‎ ‎∵∠A=∠BCE，∠BEC=∠AEC=90°，‎ ‎∴△ACE∽△CBE．‎ ‎∴．‎ ‎∵CE=2BE．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵AD=10，‎ ‎∴DC=5．‎ 设⊙O的半径为r，则BD=10－2r．‎ ‎∴‎ 解得：‎ 所以，⊙O的半径为．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:直径所对的圆周角}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}23．（2019年新疆T23）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx+c经过点A（－1，0），B（4，0），C（0，4）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；‎ ‎（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．‎ ‎{解析}本题考查了二次函数与相似三角形判定的综合．（1）直接将三点坐标代入抛物线解析式并化为顶点式即可；（2）用含有字母h的式子表示出平移后顶点D′的坐标，然后求出直线AC的解析式，只要点D′在直线AC的右边即符合题意，从而可以求出h的取值范围；（3）求出∠CPQ=∠ABC=45°，设点P的坐标，利用两边成比例，分两种情况讨论求出m的值，从而求出△PQC的面积．‎ ‎{答案}解：将A（－1，0），B（4，0），C（0，4）三点坐标代入抛物线y=ax2＋bx+c，‎ 得：　‎ 解得 ：‎ 所以，抛物线的解析式为y=－x2＋3x＋4．‎ 化为顶点式为：．‎ 所以顶点D的坐标（，）．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴D′（，）．‎ 设直线AC解析式为：y=kx＋4，‎ 则：－k＋4=0．‎ 解得：k=4‎ ‎∴直线AC的解析式为y=4x＋4．‎ 把代入，得：．‎ 解得 ：．‎ 要使平移后点D′在△ABC内，则．‎ 解得：．‎ 所以h的取值范围为．‎ ‎（3）∵OB=OC=4，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=45°．‎ ‎∵PQ∥OC，‎ ‎∴∠CPQ=∠OCB=45°．‎ ‎∴∠CPQ=∠OBC=45°．‎ 所以，要使△PQC与△ABC相似，只需两组对应边成比例即可．‎ 由B（4，0），C（0，4）可得直线BC：y=－x＋4，‎ 设P（m，－m＋4），则Q（m，－m2＋3m＋4）‎ PQ=（－m2＋3m＋4）－（－m＋4）=－m2＋4m S△PCQ=‎ 过点P作PM⊥y轴，则PM=CM=m，‎ PC=，‎ AB=4－（－1）=5，BC=‎ ‎①若△CPQ∽ABC，‎ 则有，‎ 即 解得 ，m2=0（舍去）‎ 此时S△PCQ=．‎ ‎②若△CPQ∽CBA，‎ 则有，‎ 即 解得 ，m2=0（舍去）‎ 此时S△PCQ=．‎ 所以，△PQC的面积为或．‎ ‎{分值}13‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:二次函数的三种形式}‎ ‎{考点:二次函数图象的平移}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}‎ ‎{考点:代数综合}‎