北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测 数学试题（PDF版）

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东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 2020.1 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束 后，将答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 { | 1}A x x ≤ ，    {|210}Bxxx ，那么 AB (A) { | 1 2 }xx   (B) { | 1 1}xx≤ (C) { |1 2 }xx≤ (D) { | 1 1}xx ≤ (2)复数 z= i( i 1) 在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)下列函数中，是偶函数，且在区间 (0 + )， 上单调递增的为 (A) 1y x (B) lnyx (C) 2 xy  (D) 1yx (4)设 ,ab为实数，则“ 0ab”是“ ab   ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设 ,是两个不同的平面， ,mn是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A) 若 m  ， mn ，则 n ∥ (B) 若 ， ， n  ，则 (C) 若 ， ，则 (D) 若∥ ， m   ， n  ，则 mn∥ (6)从数字 1,2,3,4,5 中，取出3 个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 13 (7)设， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是 (A) 若 2 ，则sinsin2 (B) 若 ，则 cos cos 2 (C) 若 2 ，则 sin sin 1 (D) 若 ，则 coscos1 (8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家 Dandelin 创立的双 球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且 与圆柱面和 均相切.给出下列三个结论： - 1 - ①两个球与  的切点是所得椭圆的两个焦点； ②若球心距 12 4OO  ，球的半径为 3 ，则所得椭圆的焦距为 2 ； ③当圆柱的轴与  所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B) ② ③ (C) ① ② (D) ① ② ③ 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9) 若双曲线 2 2 1x ym 与 22 132 xy有相同的焦点，则实数 m  . (10) 已知{ na }是各项均为正的等比数列， nS 为其前 项和，若 1 6a  ， 2326aa，则 公比 q  ____， 4 =S ____． (11) 能说明“直线 0xym 与圆 22420xyxy 有两个不同的交点”是真命题的一个 m 的值为 . (12) 在平行四边形 A B CD 中，已知 uuuruuuruuuruuur ABACACAD ， 4AC  uuur ， 2BD  uuur ，则四边形 A B CD 的面积是____． (13) 已知函数 ()2sin()(0)fxx  ，.曲线 ()yfx 与直线 3y  相交，若存在相邻两个交点间的距离为 6  ，则 的所有可能值为_____. (14) 将初始温度为 0C的物体放在室温恒定为 3 0 C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第 n 次测量得到 的物体温度记为 nt ，已知 1 0Ct  .已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）. 给 出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；(填写模型对应的序号） ① 1 30nn n kttt  ； ② 1 (30)nnnttkt  ； ③ +1 =(30)nntkt  . 在上述模型下，设物体温度从5C上升到10C 所需时间为 mina ，从 上升到15C 所需时间为 minb ， 从 上升到 20C 所需时间为 minC ，那么 a b 与 b c 的大小关系是 .(用 “ ”， “ ”或 “ ”号填 空） n - 2 - 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题 13 分） 在△ ABC 中，已知 sin3cos0cAaC ． （Ⅰ）求 C 的大小； （Ⅱ）若 =2 2 3bc， ，求△ 的面积. (16)（本小题 13 分） 2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放.从 2G 到 5G，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间，完 成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 5G 的消费意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机 抽取了 1000 人进行调查，样本中各类用户分布情况如下： 用户分类 预计升级到 5G 的时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早 期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40%). （I）从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率； （II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数，求 的分布列和数学期望； （III）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐，能否认为样本中早期体验用 户的人数有变化？说明理由. - 3 - (17)（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111A B C A B C 中， 1BB  平面 ABC ， A B B C ， 1 2AAABBC ． （Ⅰ）求证： 1BC  平面 11A B C ； （Ⅱ）求异面直线 1BC 与 1AB 所成角的大小； （Ⅲ）点 M 在线段 上，且 1 1 ((0,1))BM BC  ，点 N 在线段 1AB 上， 若 MN ∥ 平面 11A ACC ，求 1 1 AN AB 的值(用含  的代数式表示)． (18)（本小题 13 分） 已知函数 321()3() 3fxxxaxa R . （Ⅰ）若 ()fx在 1x  时，有极值，求 a 的值； （Ⅱ）在直线 1x  上是否存在点 P ，使得过点 至少有两条直线与曲线 ()y f x 相切？若存在，求出 点坐标；若 不存在，说明理由. (19)（本小题 14 分） 已知椭圆 2 2 2:1xCya  1a  的离心率是 2 2 ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知 1F ， 2F 分别是椭圆 的左、右焦点，过 作斜率为 k 的直线 l ，交椭圆 于 ,AB两点，直线 11,FAFB 分别交 y 轴于不同的两点 ,MN. 如果 1M F N 为锐角，求 的取值范围． (20)（本小题 13 分） 已知数列  na ，记集合  1( , )( , ),1, , iijTS i j S i jaaaij i j   N≤L ． （Ⅰ）对于数列  na ：1234，，， ，写出集合T ； （Ⅱ）若 2nan ，是否存在 ,ij N ，使得 ( , ) 1024S i j  ？若存在，求出一组符合条件的 ,ij；若不存在，说 明理由； （III）若 22nan，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 12: mB b b b， ， ， ，LL. 若 2020mb  ，求 m 的最大值． - 4 - 东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2020.1 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）D （2）C （3）B （4）A （5）B （6）C （7） A （8）C 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 4 （10） 1 45 24 （11） 0 （答案不唯一） （12） 4 （13） 2 或 10 （14）②  三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）由正弦定理可得sinsin3 cossin=0CACA  . 因为 s in 0A  ， 所以 ta n 3 .C  又因为0 C , 所以 2π= 3C . ...................................................................................................7 分 （Ⅱ）由正弦定理得 32sin1 2sin= 223 bCB c  , 又因为0 3B  ， 所以 π π,66BABC     . 所以△ ABC 的面积 1 1 1sin 2 2 3 32 2 2S bc A      . ................................................13 分 （16）（共 13 分） 解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率估计为样本 中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即 270 530 0.81000 1000. ..............................3 分 （II）由题意 X 的所有可能值为 0,1,2. 记事件 A 为“从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”， 事件 B 为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”， 由题意可知，事件 ，AB相互独立，且 - 5 - ()140%0.6PA ， ()145%0.55PB  ， 所以 (0)()(10.6)(10.55)0.18PX=PAB ， (1)()()() ()(1())(1()() 0.610.5510.6)0.55 0.49 PXPAB+ABPABPAB PAPBPAPB     （ ）（ ， ()()0.60.550.33.PX=2PAB 所以 X 的分布列为 0 1 2 P 0.18 0 .4 9 0.33 故 的数学期望 00.1810.4920.331.15（ ）EX  . ……………10 分 （III）设事件 D 为“从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐”，那么 3 270 3 1000 ()0.02.CPD C 回答一：事件 虽然发生概率小，但是发生可能性为 0 .0 2 ，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……………13 分 （17）（共 14 分） 解：（Ⅰ）在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，由于 1BB  平面 ABC ， 所以 1BB  平面 111A B C ．又 1BB  平面 11B B C C ， 所以平面  平面 ，交线为 11BC . 又因为 ABBC ， 所以 1 1 1 1A B B C ． 所以 11AB  平面 ． 因为 1BC  平面 ， 所以 1 1 1.A B BC 又因为 1 2BB BC， 所以 11B C BC ． 又 11AB 11B C B , 所以 1BC  平面 11A B C ． …………5 分 - 6 - （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1BB  底面 ABC ， A B B C ． 如图建立空间直角坐标系 B x y z ．由题意得 (0 ,0 ,0 )B ， (2 ,0 ,0 )C ， 1 (0 ,2 ,2 )A ， 1 (0 ,0 ,2 )B ． 所以 1 (2 ,0 , 2 )BC  u u ur ， 1 (0 , 2 , 2 )AB    u u ur ． 所以 11 11 11 1cos, 2|||| A BB CA BB C BAB C  uuuruuuruuuruuur uuuruuur ． 故异面直线 1BC 与 1AB 所成角的大小为 3  ． …………9 分 （Ⅲ）易知平面 11A A C C 的一个法向量为 (1, 1,0 )n ， 由 1 1 BM BC  ，得 (2,0,22).M  设 1 1 AN AB  ，得 (0 , 2 2 , 2 2 )N ， 则 (2, 22, 22)MN    因为 //MN 平面 ，所以 0MN   n ， 即 (2, 22, 22) (1,1, 0)0 ， 解得 1 ． 所以 1 1 1AN AB  ． …………14 分 （18）（共 13 分） 解：(Ⅰ) 因为 321( ) 33f x x x ax   ， 所以   2 23f x x x a    . 由 ()fx在 1x  时，有极值得  11230fa  ， 解得 1a  . 经检验， 时， 有极值. 综上， 1a  . ……………4 分 （Ⅱ）不妨设在直线 1x  上存在一点 (1,)Pb， 设过点 P 与 ()y f x 相切的直线为l ，切点为 00( , )xy， 则切线 方程为 3 2 2 0 0 0 0 0 0 1 3 ( 2 3 )( )3y x x ax x x a x x       . - 7 - 又直线 l 过 (1, )Pb，有 322 000000 1 3(23)(1)3bxxaxxxax ， 即 32 000 2 2+2303 xxxab . 设 322()2233gxxxxab ， 22'()2422(1)0gxxxx . 所以 ()gx在区间 ( , )  上单调递增， 所以 ( ) 0gx  至多有一个解. 过点 P 与 ()y f x 相切的直线至多有一条. 故在直线 1x  上不存在点 P ，使得过 至少有两条直线与曲线 ()y f x 相切. ………………13 分 （19）（共 14 分） 解：（Ⅰ）由题意 2 222 2 2 1 c a b abc        ， ， ， 解得 2 2a  . 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1.2 x y …………4 分 （Ⅱ）由已知直线 l 的斜率不为 0. 设直线 方程为  1ykx.直线 l 与椭圆 C 的交点为    1122,,,AxyBxy . 由   2 2 1 12 ykx x y   ， 得 2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k     . 由已知，判别式 0 恒成立，且 22 121 2 22 422 ,.2121 kkxxx x kk   ① 直线 1FA的方程为  1 1 11 yyxx ，令 0x  ，则 1 1 (0 ,) 1 yM x  . 同理可得 2 2 (0,) 1 yN x  . 所以          2 1212 11 1212 11111111 k xxyyF M F N xxxx     uuuur uuur       2 2 22 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 111 11 k x x k x x kk x x x x x x x x x x x x                . 将①代入并化简，得 - 8 - 2 11 2 71 81 kFMFN k  uuuuruuur . 依题意， 1M F N 我锐角，所以 110F M F N，即 2 11 2 71081 kF MFN k   uuuuruuur . 解得 2 1 7k  或 2 1 8k  . 综上，直线 l 斜率的取值范围是 7227(,)(, 0)(0 ,)(,)7447  UUU . ....................14 分 （20）（共 13 分） 解：（Ⅰ）  =3567910T ，，，，， . …………………………………………………………………3 分 （Ⅱ）假设存在ij N， ，使得 ( )=1024S i j， ，则有 1102422(1)2(1)() LLiijaaaiijjiij ， 由于 ij 与 ji 奇偶性相同， 所以 与 1ji 奇偶性不同. 又因为 3ij ≥ ， 12ji≥ ， 所以 1024 必有大于等于 3 的奇数因子， 这与 1024 无 1 以外的奇数因子矛盾. 故不存在 ，使得 ()=1024Sij ， 成立. …………………………8 分 （Ⅲ）首先证明 nan 时，对任意的 m  N 都有 2t mbtN， . 若 ,ij N ，使得： (1)()(1)2 2L tjiijiij  ， 由于 1ji与 均大于 2 且奇偶性不同，所以 1(1)()2 tjiij   不成立. 其次证明除 2 ( )t t N 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数 2 (21)thk，其中t N ， k N . 当 1221t k 时，由等差数列的性质有： (2 1) 2 2 2 =(2 ) (2 1) 2 (2 1) (2 )t t t t t t t t k h k k               个 L L L144444424444443 此时结论成立. 当 12 2 1t k 时，由等差数列的性质有： - 9 - 2 (21)(21)(21) =(21)(1)(1)(2)(2 ), t tt hkkk kkkkkk   个 L14444444444444244444444444443 LL 此时结论成立. 对于数列 22nan. 此问题等价于数列 0123 n，， ， ， ， ，LL，其相应集合 T 中满足： 1010nb  有多 少项. 由前面的证明可知正整数 248163264128256512，，， ， ， ， ， ， 不是集合 T 中的项， 所以 n 的最大值为 1001 . .............................13 分 - 10 -