专题26+二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过
（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
一、二元一次不等式（组）与平面区域
1．二元一次不等式表示的平面区域
一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：
3．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法
（1）对于直线同一侧的所有点(x，y)，使得的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足.
（2）可在直线的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从的符号就可以判断 (或)所表示的区域．
（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
（4）点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线的两侧的充要条件是
；位于直线同侧的充要条件是.
二、简单的线性规划问题
1．简单线性规划问题的有关概念
（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件．关于变量x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的线性约束条件．
（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数．目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数.
（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．
2．简单线性规划问题的解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线 (目标函数为)；
（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点；
（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；
（4）答：给出正确答案．
3．线性规划的实际问题的类型
（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．
常见问题有：①物资调运问题；②产品安排问题；③下料问题.
4．非线性目标函数类型
（1）对形如型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题．
（2）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等．
（3）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线的距离的倍的最值．
考向一 二元一次不等式（组）表示的平面区域
1．确定平面区域的方法如下：
第一步，“直线定界”，即画出边界，要注意是虚线还是实线；
第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点作为测试点，由的符号就可以断定表示的是直线哪一侧的平面区域；
第三步，用阴影表示出平面区域.
2．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围.
（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.
（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.
典例1 不等式组表示的平面区域的面积为 .
【答案】16
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则阴影部分的
面积为.
典例2 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，则使函数的图象过区域M的a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
由函数的图象特征知，当图象经过区域的边界点时，取得最大值，此时；
当图象经过区域的边界点时，取得最小值，此时，即.
综上，.故选C.
1．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为
A． B．1
C． D．3
考向二 线性目标函数的最值问题
1．平移直线法：作出可行域,正确理解z
的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.
2．顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数的值，经比较后得出z的最大(小)值.
求解时需要注意以下几点：
（ⅰ）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.
（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.
（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.
典例3 已知点x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值与最小值之差为
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【解析】作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
作直线并平移知，当直线经过点A时,z取得最大值；当直线经过点B时,z取得最小值.
由,得,即A(2,3),故zmax=9.
由,得,即B(0,2),故zmin=2,
故z的最大值与最小值之差为7,选C.
2．已知满足不等式组，则目标函数的最小值是
A．4 B．6
C．8 D．10
考向三 含参线性规划问题
1．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法.
2．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状.
典例4 若变量x,y满足约束条件,且u=2x+y+2的最小值为-4,则k的值为
A．7 B．
C． D．2
【答案】B
典例5 设变量x,y满足,z=a2x+y(0
N B．M=N
C．M0,b>0)的最大值为10,则a2+b2+2a的最小值为
A． B．
C． D．
7．关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式(x﹣4)2+(y﹣3)2≤1所表示的区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为
A． B．
C． D．
8．某颜料公司生产、两种产品，其中生产每吨产品需要甲染料吨，乙染料吨，丙染料吨；生产每吨产品需要甲染料吨，乙染料吨，丙染料吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过吨、吨、吨，如果产品的利润为元/吨，产品的利润为元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为
A．元 B．元
C．元 D．元
9．在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0)，B(1,2)，C(3,-1)，点P(x，y)为边界及内部的任意一点，则x+y的最大值为______________.
10．已知实数满足则的最大值为______________.
11．若函数（且）的图象经过不等式组所表示的平面区域，则 的取值范围是______________.
12．已知x,y满足约束条件(x-2)(x+2y-4)≤0,则x2+y2的最小值为______________.
13．已知实数x,y满足,则S=x+y2x-1的取值范围是______________.
14．已知点，，．若平面区域D由所有满足的点组成，则D的面积为______________.
15．设变量x,y满足约束条件,目标函数z=x+6y的最大值为m,则当2a+b=m18(a>0,b>0)时,+ 的最小值为______________.
16．
某公司计划2017年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
1．（2017天津理科）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A． B．1
C． D．3
2．（2017浙江）若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4]
C．[6， D．[4，
3．（2017新课标全国Ⅱ理科）设，满足约束条件，则的最小值是
A． B．
C． D．
4．（2016浙江理科）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=
A．2 B．4
C．3 D．
5．（2016四川理科）设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2016江苏）已知实数满足 ，则的取值范围是 ．
7．（2016新课标全国Ⅰ理科）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
变式拓展
1．【答案】B
【解析】如图，
由于不等式组表示的平面区域为，且其面积等于，
所以.故选B.
2．【答案】B
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，
平移直线，可知当直线经过点时，目标函数取得最小值，为6.故选B．
3．【答案】
当a>0时,y=x+z,作直线l0:y=x,平移l0,易知当直线y=x+z与4x+y-8=0重合时,z取得最小值的最优解有无数多个,此时a=；
当直线y=x+z过点A时,z取得最大值,且zmax=3+12=72.
当a≤0时,数形结合知,目标函数z=x+ay取得最小值的最优解不可能有无数多个.
综上所述，zmax=
4．【解析】设生产A种产品x吨、B种产品y吨,能够产生利润z元,目标函数为z=10000x+5000y,
由题意得满足条件，作出该不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示：
5．【答案】10
【解析】方法一：设z=3x-4y,作出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示,
通过平移直线l:3x-4y-z=0知,当l过点A(1,0)时,zmax=3；当l过点C(1,)时,zmin=,
则10≤|3x-4y-13|≤,所以|3x-4y-13|的最小值为10.
所以|3x-4y-13|的最小值为10.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】，∴可知点在不等式表示的平面区域内．故B正确．
2．【答案】D
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示,
3．【答案】B
【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,
该平面区域是两个全等的等腰直角三角形,所以平面区域的面积为S=2×12×2×4=8.
4．【答案】B
【解析】由得,
作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示,
由目标函数z=x-y,变形得到y=x-z,由图可知y=x-z在B(,)处取得最小值,所以-=-1,则m=5.故选B.
5．【答案】A
【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,
6．【答案】C
【解析】方法一：由题意知,不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为
方法二：由题意知,不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为a>0,b>0,所以由可行域得当目标函数过点(4,6)时，z取得最大值,所以4a+6b=10,a=,
所以a2+b2+2a=()2+b2+5-3b=13b24-212b+454,当b=2113时,a2+b2+2a取得最小值3613.
7．【答案】A
【解析】关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为12×4×4=8，
不等式(x﹣4)2+(y﹣3)2≤1所表示的区域记为N，且满足不等式组，则面积为,
故在M内随机取一点，则该点取自N的概率为，故选A.
8．【答案】A
【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：
每吨产品
每吨产品
染料最高用量
甲染料（单位：吨）
乙染料（单位：吨）
丙染料（单位：吨）
作直线，当移动该直线过点时，取得最大值，则也取得最大值，故.
所以该颜料公司每天生产产品吨、产品吨，才可获得最大利润元.
9．【答案】3
【解析】依题意，作出可行域，设z=x+y，当直线y=-x+z过点B时，z有最大值3，故填3.
10．【答案】4
11．【答案】
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示：
由解得，则.
当函数的图象经过点时，.
12．【答案】
【解析】作出不等式所表示的可行域，如图中阴影部分所示(含边界),设可行域内任意一点P(x,y),则
|OP|2=x2+y2,显然原点O到直线x=2的距离d1=2,原点O到直线x+2y-4=0的距离d2=<2,故x2+y2的最小值为d22=()2=.
13．【答案】[,4]
【解析】作出表示的平面区域，如图中阴影部分所示.
易知目标函数S=+·y+12x-12,它表示可行域内的点与Q(,-)连线的斜率的一半再加上，易得A(1,3)、B(3,1),所以直线QA的斜率kQA=7,直线QB的斜率kQB=,
数形结合可知,+kQB≤S≤+kQA,所以S=x+y2x-1的取值范围是[,4].
14．【答案】3
可得，，，则，
又直线与直线间的距离，
故D的面积为.
15．【答案】9
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.
zmax=0+3×6=18,所以m=18,所以2a+b=1,+=(+)(2a+b)=4+1+2ba+2ab≥5+2×2=9(当且仅当a=b=时等号成立).
图中阴影部分所示：
如图，作直线，即．
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
由解得．
则点M的坐标为．
故.
答：该公司分配在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟和200分钟时，公司收益最大，最大收益为70万元.
直通高考
1．【答案】D
【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由得，作出直线，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在处取得，故，选D.
【名师点睛】线性规划问题有三类：①简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围；③线性规划的实际应用．
2．【答案】D
【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
3．【答案】A
【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，，故选A．
【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
4．【答案】C
【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．
5．【答案】A
【解析】画圆：(x−1)2+(y−1)2=2，如图所示，则(x−1)2+(y−1)2
≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出 表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先要分清条件和结论，然后看由条件推结论，由结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系可得出结论．
6．【答案】
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或值域.
7．【答案】
【解析】设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为
元，那么由题意得约束条件为 目标函数.约束条件等价于 ①
作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.
将变形，得，作直线：并平移，当直线经
【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题的形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.
