高中数学选修2-2教学课件1_3_2 函数的极值与导数
1.3.2
函数的极值与导数
区间
(-∞
，
-4)
-4
(-4
，
2)
2
(2
，
+∞)
f ’(x)
0
0
f(x)
f(x)
在
(-∞
，
-4), (2
，＋∞
)
内单调递增，
你记住了吗？
有没有搞错，
怎么这里没有填上？
求导数
—
求临界点
—
列表
—
写出单调性
+
+
-
f
′
(x)>0 (x+4)(x-2)>0 x<-4
或
x>2
f(x)
在
(-4
，
2)
内单调递减
.
f
′
(x)<0 (x+4)(x-2)<0 -4
0
单调递减
h
´
(t)<0
h
´
(a)
＝
0
2.
跳水运动员在最高处附近的情况：
(1)
当
t=a
时运动员距水面高度最大，
h(t)
在此点的导数是多少呢？
(2)
当
ta
时
h(t)
的单调性是怎样的呢？
将最高点附近放大
t=a
ta
a
t
h
o
最高点
导数的符号有什么变化规律？
在
t=a
附近，
h(t)
先增后减，
h
′
(t)
先正后负，
h
′
(t)
连续变化，于是有
h
′
(a)=0,f(a)
最大
.
那么下面图象的最高点
h
（
a
）代表什么意义呢？
这就是本节课研究的重点
——
函数的极值
＋
－
h(t)=-4.9t
2
+6.5t+10
1.
探索并应用函数极值与导数的关系求函数
极值
.
（重点）
2.
利用导数信息判断函数极值的情况
.
（难点）
探究点 函数的极值与导数
求可导函数
f(x)
极值的步骤：
(2)
求导数
f
′
(x)
；
(3)
求方程
f
′
(x) =0
的根；
(4)
把定义域划分为
部分区间，并列成表格
检查
f
′
(x)
在方程根左右的符号
——
如果
左正右负
（
+
～
-
），
那么
f(x)
在这个根处取得极
大
值；
如果
左负右正
（
-
～
+
），
那么
f(x)
在这个根处取得极
小
值；
(1)
确定函数的
定义域
；
总结提升
1.
下面说法正确的是
.
A.
可导函数必有极值
B.
可导函数在极值点的导数一定等于零
C.
函数的极小值一定小于极大值
（设极小值、极大值都存在）
D.
函数的极小值（或极大值）不会多于一个
B
注意：
函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质
.
因此一个函数在其整个定义区间上可能
有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在
某一点的极大值也可能小于另一点的极小值
.
2.
函数
y
=
f
(
x
)
的导数
y
′
与函数值和极值之间的关系
为
( )
A.
导数
y
′
由负变正
,
则函数
y
由减变为增
,
且有极大值
B.
导数
y
′
由负变正
,
则函数
y
由增变为减
,
且有极大值
C.
导数
y
′
由正变负
,
则函数
y
由增变为减
,
且有极小值
D.
导数
y
′
由正变负
,
则函数
y
由增变为减
,
且有极大值
D
函数 在 时有极值
10
，则
a
，
b
的值为（ ）
A.
或
B.
或
C.
D.
以上都不对
C
3.
解
:
由题设条件得：
解之得
通过验证，
a=3,b=3
时，不合题意
.
注意：
f
′
(x
0
)=0
是函数取得极值的必要不充分条件
.
注意代入检验
.
解：
(1)
由图象可知：
(2)
注意数形结合
极值定义
2
个关键
①可导函数
y=f(x)
在极值点处的
f
′
(x)=0
.
②
极值点左右两边的导数必须
异号
.
3
个步骤
①
确定定义域
②
求
f
′
(x)=0
的根
③
并列成表格
用方程
f
′
(x)=0
的根，顺次将函数的定义域
分成若干个开区间，并列成表格由
f
′
(x)
在方程
根左右的符号，来判断
f(x)
在这个根处取极值的情况
.
我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会
.
——
邹韬奋
