专题09 直线与圆（高考押题）-2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破

专题09 直线与圆（高考押题）-2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破

专题09 直线与圆（高考押题）‎ ‎2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 ‎1．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)‎ A．2　　 　　　 B．4 C．6 D．2 ‎【答案】C　【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，所以a＝－1，从而A(－4，－1)，‎ ‎|AB|＝＝＝6.‎ ‎2．已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m＝(　　)‎ A．±2 B．± C. D. ‎【答案】B　【解析】抛物线的准线为y＝－1，将圆化为标准方程得2＋y2＝，圆心到准线的距离为1＝⇒m＝±.‎ ‎3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离最小值为(　　)‎ A. B．2 C．3 D．4 ‎4．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) ‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ ‎【答案】D　【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.‎ 又因为光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，所以＝1，‎ 整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－，故选D.‎ ‎5．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)‎ A．1　　　 B．3 ‎ C.　　　 D. ‎6．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，点P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6 ‎【答案】D　【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P垂直于直径的弦，所以|AC|＝2×3＝6.因为圆心到BD的距离为＝，所以|BD|＝2＝2.则四边形ABCD的面积为S＝×|AC|×|BD|＝×6×2＝6.故选D.‎ ‎7．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　)‎ A.　　　 B．5 C．2　　　 D．10‎ ‎【答案】B　【解析】由题意，知圆心M的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0.‎ 因为(a－2)2＋(b－2)2表示点(a，b)与(2,2)的距离的平方，‎ 而的最小值为＝，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.故选B.‎ ‎8．命题p：4＜r＜7，命题q：圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上恰好有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎【答案】B　【解析】因为圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离等于5，所以圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上恰好有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1时，4＜r＜6，所以p是q的必要不充分条件．‎ ‎9．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有|＋|≥||，则k的取值范围是(　　)‎ A．(，＋∞) B．，2)‎ C．，＋∞) D．，2)‎ ‎【答案】B　【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即＜2，‎ 由k＞0，得0＜k＜2.①‎ 如图，又由|＋|≥||，得|OM|≥|BM|⇒∠MBO≥，因|OB|＝2，所以|OM|≥1，‎ 故≥1⇒k≥.②‎ 综①②得≤k＜2.‎ ‎10．已知直线x＋y－a＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|2－3|＝|2＋3|，则实数a的值为________. ‎ ‎【答案】±　‎ ‎11．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．‎ ‎【答案】x2＋(y－1)2＝10　‎ ‎【解析】设所求圆的半径为r，抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，‎ 故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.‎ ‎12．已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，－1]∪1，＋∞)‎ ‎13．设点P在直线y＝2x＋1上运动，过点P作圆(x－2)2＋y2＝1的切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值是________．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】圆心C(2,0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝，所以|PA|＝≥＝2.‎ ‎14．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.‎ ‎【答案】18　‎ ‎【解析】由题意得直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为r＝2，即＝＝2⇒a2＋b2＝(2＋1)2＋(－2＋1)2＝18.‎ ‎15．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．‎ ‎(1)求过点A的圆的切线方程；‎ ‎(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.‎ 解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3).2分 当斜率存在时，‎ 设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，‎ 即kx－y＋5－3k＝0.‎ 由d＝＝1，得k＝.4分 又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，5分 故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.6分 ‎(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，8分 点C到直线OA的距离为d＝＝.10分 又|OA|＝＝，∴S＝|OA|d＝.12分 ‎16．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.‎ ‎(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；‎ ‎(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．‎ 解]　(1)如图所示，‎ ‎|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，2分 所以圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，‎ 所以|AD|＝2，|AC|＝4，C点坐标为(－2,6)．‎ 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.‎ 若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.‎ 由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝.‎ 故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.4分 直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.6分 所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.7分 ‎(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，‎ 则CD⊥PD，即·＝0，‎ 所以(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，10分 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.12分 ‎17．已知半径为2，圆心在直线y＝－x＋2上的圆C.‎ ‎(1)当圆C经过点A(2,2)，且与y轴相切时，求圆C的方程；‎ ‎(2)已知E(1,1)，F(1，－3)，若圆C上存在点Q，使|QF|2－|QE|2＝32，求圆心的横坐标a的取值范围．‎ 解]　(1)∵圆心在直线y＝－x＋2上，半径为2，‎ ‎∴可设圆的方程为(x－a)2＋y－(－a＋2)]2＝4，2分 其圆心坐标为(a，－a＋2)．‎ ‎∵圆C经过点A(2,2)，且与y轴相切，‎ ‎∴有 解得a＝2，4分 ‎∴圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4.5分 ‎18．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H.‎ ‎(1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．‎ 解]　(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心为H(0,3)，半径为＝，‎ ‎⊙H的方程为x2＋(y－3)2＝10.‎ 设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被⊙H截得的弦长为2，所以d＝＝3.3分 当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x＝3为所求；4分 当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y－2＝k(x－3)，则＝3，解得k＝，直线方程为4‎ x－3y－6＝0.‎ 综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.5分 ‎(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，‎ 设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，‎ 因为点M是线段PN的中点，‎ 所以M，‎ 又M，N都在半径为r的⊙C上，‎ 所以 即7分 因为该关于x，y的方程组有解，‎ 即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m,4－n)为圆心，‎ ‎2r为半径的圆有公共点，‎ 所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2，8分 又3m＋n－3＝0，‎ 所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对∀m∈0,1]成立．‎ 而f(m)＝10m2－12m＋10在0,1]上的值域为，故r2≤且10≤9r2.10分 又线段BH与圆C无公共点，‎ 所以(m－3) 2＋(3－3m－2)2＞r2对∀m∈0,1]成立，‎ 即r2＜.‎ 故⊙C的半径r的取值范围为.12分 ‎19．如图，椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. ‎ ‎ (1)当|CD|＝时，求直线l的方程；‎ ‎(2)当点P异于A、B两点时，求证：·为定值．‎ ‎ ‎ ‎(2)证明　直线l垂直于x轴时与题意不符．‎ 设l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，∴P点的坐标为.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 直线AC的方程为y＝(x＋1)，‎ 直线BD的方程为y＝(x－1)，‎ 将两直线方程联立，消去y得＝.‎ 因为－1＜x1，x2＜1，‎ 所以与异号．‎ ＝＝· ‎＝ ‎＝＝.‎ 又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝ ‎＝－·，‎ ‎∴与y1y2异号，与同号．‎ ‎∴＝，解得x＝－k.‎ 因此Q点坐标为(－k，yQ)．‎ 因此Q点坐标为(－k，yQ)．‎ ·＝·(－k，yQ)＝1.‎ 故·为定值．‎ ‎20．已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，求a为何值时，A∩B＝∅.‎ 解　集合A、B分别为平面xOy上的点集，‎ 直线l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，‎ l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.‎ 由 解得a＝±1.‎ ‎①当a＝1时，显然有B＝∅，所以A∩B＝∅；‎ ‎②当a＝－1时，集合A为直线y＝3(x≠2)，集合B为直线y＝－，两直线平行，所以A∩B＝∅；‎ ‎③由l1可知(2，3)∉A，当(2，3)∈B时，‎ 即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0，‎ 可得a＝或a＝－4，此时A∩B＝∅.‎ 综上所述，当a＝－4，－1，1，时，A∩B＝∅.‎ ‎21．已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．‎ ‎(1)求证：数列{an}是等差数列；‎ ‎(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．‎ ‎(1)证明　由已知，圆C1的圆心坐标为(an，－an＋1)，‎ 半径为r1＝，‎ 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝2.‎ 又圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长，‎ ‎∴|C1C2|2＋r＝r.‎ ‎∴(an＋1)2＋(－an＋1＋1)2＋4＝a＋a＋1，‎ ‎∴an＋1－an＝.‎ ‎∴数列{an}是等差数列．‎