数学理卷·2017届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次大联考（2017

数学理卷·2017届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次大联考（2017

三湘名校教育联盟·2017届高三第三次大联考 理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知命题中，若，则，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A．的逆命题 B．的否命题 C．的逆否命题 D．的否定 ‎3.已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ ）‎ A．1 B．-1 C．0 D．2 ‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，输出的值为，则在区间上随机选取一个数，的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 ‎6.函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎7.若的展开式中的系数为（ ）‎ A．36 B．-144 C.60 D．-60‎ ‎8.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是（ ）‎ A．13 B．12 C.11 D．10‎ ‎11.如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于，，，四点，，则的值为（ ）‎ A． B．1 C. D．‎ ‎12.已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷：非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.已知正项等差数列的前项和为，，则的最大值为 ．‎ ‎14.已知实数，满足，则的最小值为1，则 ．‎ ‎15.以40向北偏东航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3后祈求上升到1处，从探测船上观察气球，仰角为，求气球的水平飘移速度是 ．‎ ‎16.已知平面向量，满足，存在单位向量，使得，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）若在上的值域为，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上单调，且，求的值.‎ ‎18. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：与模型②：作为产卵数和温度 的回归方程来建立两个变量之间的关系.‎ 温度 ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎32‎ 产卵数/个 ‎6‎ ‎10‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎64‎ ‎113‎ ‎322‎ ‎400‎ ‎484‎ ‎576‎ ‎676‎ ‎784‎ ‎900‎ ‎1024‎ ‎1.79‎ ‎2.30‎ ‎3.04‎ ‎3.18‎ ‎4.16‎ ‎4.73‎ ‎5.77‎ ‎26‎ ‎692‎ ‎80‎ ‎3.57‎ ‎1157.54‎ ‎0.43‎ ‎0.32‎ ‎0.00012‎ 其中，，，，‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.‎ ‎（1）在答题卡中分别画出关于的散点图、关于的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.‎ ‎（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：，，）‎ ‎（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为，，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.‎ ‎19. 已知三棱台中，,，，平面平面，‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点为上一点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）曲线与轴的交点为，（在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：动点恒在定直线上，并求的方程.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足，的的值；若不存在，请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.‎ ‎（1）求曲线与的交点的直角坐标；‎ ‎（2）设点，分别为曲线，上的动点，求的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）存在时，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ 数学（理科）参考答案、提示及评分细则 一、选择题：‎ ‎1-5:CDABB 6-10:DDBCB 11、12：DB 二、填空题 ‎13.16 14.1 15.20 16.‎ 三、解答题 ‎17.解答：.‎ ‎（1）由，在上的值域为．‎ 即最小值为，最大值为，则，得．‎ 综上：的取值范围是．‎ ‎（2）由题意在上单调，得．‎ 由，得或，，‎ 或，，又，所以或；‎ 当时，，在上单调递增，符合题意，‎ 当时，，在上不单调，不符合题意，‎ 综上：．‎ ‎18.解答（1）画出关于的散点图，如图：关于的散点图，如图．‎ 根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型．‎ ‎（2）对于模型①：设，则，‎ 其中，，‎ 所以，‎ 当时，估计温度为.‎ 对于模型②：，‎ 其中，．‎ 所以，‎ 当时，估计温度为．‎ ‎（3）因为，所以模型②的拟合效果更好．‎ ‎19.（1）延长，，交于点．‎ 及棱台性质得，所以．‎ 因为平面平面平面．‎ 所以平面，平面，所以,‎ 又，所以，，所以平面．‎ ‎（2）由于，由知，，所以，且，‎ 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则，，，，．‎ 设．‎ 设平面的法向量为,‎ 由，可取．‎ 是平面的个法向量，‎ 由二面角的大小为得：‎ ‎．‎ 所以为中点，，，‎ 设与平面所成角为，则．‎ 所以与平面所成角为正弦值为．‎ ‎20.解:（1）由题意垂直平分，所以 所以的轨迹为以，为焦点、长轴长为的椭圆，焦距，所以，‎ 所以动点的轨迹为曲线的方程是：．‎ ‎（2），，设的方程是，设，，，‎ 由得，‎ 所以，，.‎ 因为在轴上方，∴，．‎ 直线、的方程分别是：，，‎ 联立得：‎ ‎．‎ ‎∴动点恒在定直线：上．‎ ‎21.解:（1）由已知，函数的定义域为，‎ 由在定义域上单调递减，则恒成立，‎ ‎，所以，‎ 当时，，单调递增，当时，，单调递减．‎ 即在内单调递增，内单调递减，‎ 所以．‎ ‎（2）当时，，∴恒成立，‎ 当时，由（1）知，在内单调递减，‎ ‎（i）若，‎ 由（1）知，在内单调递减，‎ 则，无零点，不符合题意;‎ ‎（ii）若，‎ 设，，‎ 所以，又，‎ 所以存在，使得，即，①‎ 且当故当时，有，当时，有，‎ 则在内单调递增，内单调递减，‎ 由于恒成立，且有唯一零点，∴．②‎ 结合①，②知，③‎ 联立得 设，则，，‎ 且当时，，所以在上有唯一零点．‎ 即满足方程组③的唯一，且．‎ 设，，所以在上单调递增，‎ ‎，‎ 即满足方程组③的，所以.‎ 综上所述，存在即，使得恒成立且有唯一零点．‎ ‎22.解答（1）曲线：，消去参数，得，．①‎ 曲线：，②‎ 联立①②，消去可得：或（舍去），‎ 所以．（2）曲线：，是以为圆心，半径的圆.‎ 设圆心为，点，到直线的距离分别为，，‎ 则，，‎ 所以的最小值为．‎ ‎23.解答（1）当时，，‎ ‎∴在单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴时，取得最小值．‎ ‎（2）‎ ‎①当时，，符合题意：‎ ‎②当时，，的解集为，‎ 所以，从而，得，‎ ‎③当时，，的解集为，‎ 所以，从而或，得，‎ 综上：符合题意要求的实数的取值范围是． ‎