- 2023-11-08 发布 |
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文档介绍
2021高考数学一轮复习课后限时集训15导数与函数的单调性理北师大版
课后限时集训15 导数与函数的单调性 建议用时:45分钟 一、选择题 1.函数f(x)=3+xln x的单调递减区间是( ) A. B. C. D. B [因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=ln x+x·=ln x+1,令f′(x)<0,解得0<x<, 所以f(x)的单调递减区间是.] 2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则函数f(x)的图像可能是 ( ) A B C D C [由导函数f′(x)的图像可知,函数y=f(x)先减再增,可排除选项A,B;又f′(x)=0的根为正数,即y=f(x)的极值点为正数, 8 所以可排除选项D,选C.] 3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) D [由于f′(x)=k-,f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增⇔f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立.由于k≥,而0<<1, 所以k≥1. 即k的取值范围为[1,+∞).] 4.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( ) A.(1,2] B.(4,+∞) C.(-∞,2) D.(0,3] A [因为f(x)=x2-9ln x,所以f′(x)=x-(x>0),由x-≤0,得0<x≤3,所以f(x)在(0,3]上是减函数, 则[a-1,a+1]⊆(0,3], 所以a-1>0且a+1≤3, 解得1<a≤2.] 5.函数f(x)在定义域R内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f′(x)>0.若a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系是( ) A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c C [由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图像关于直线x=2对称,根据题意知,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)<f<f(0), 即c<b<a,故选C.] 二、填空题 6.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为________. [由题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),由f′(x)=-a>0(a>0),得0<x< 8 ,∴f(x)的单调递增区间为.] 7.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是________. (-3,0)∪(0,+∞) [由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3且a≠0,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).] 8.若函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________. (-1,+∞) [f′(x)=-ax-2=,由题意知f′(x)<0有实数解, ∵x>0, ∴ax2+2x-1>0有实数解. 当a≥0时,显然满足; 当a<0时,只需Δ=4+4a>0, ∴-1<a<0. 综上知a>-1.] 三、解答题 9.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间. [解] (1)由题意得f′(x)=, 又因为f′(1)==0,故k=1. (2)由(1)知,f′(x)=, 设h(x)=-ln x-1(x>0), 则h′(x)=--<0, 即h(x)在(0,+∞)上是减函数. 由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,从而f′(x)>0; 8 当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). 10.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)在(-1,1)上为单调减函数,求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值; (4)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求实数a的取值范围. [解] (1)因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a≤3x2对x∈R恒成立. 因为3x2≥0, 所以只需a≤0. 又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0, f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0]. (2)由题意知f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立, 所以a≥3x2在(-1,1)上恒成立, 因为当-1<x<1时,3x2<3,所以a≥3,所以a的取值范围为[3,+∞). (3)由题意知f′(x)=3x2-a,则f(x)的单调递减区间为, 又f(x)的单调递减区间为(-1,1), 所以=1,解得a=3. (4)由题意知:f′(x)=3x2-a,当a≤0时,f′(x)≥0,此时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,不合题意,故a>0. 令f′(x)=0,解得x=±. 因为f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以f′(x)=0在(-1,1)上有解,需0<<1,得0<a<3, 所以实数a的取值范围为(0,3). 1.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B. 8 C. D. C [取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f′(x)=1-cos 2x-cos x,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.] 2.已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x),且对于任意的x∈,都有f′(x)sin x<f(x)cos x,则( ) A.f >f B. f >f(1) C.f <f D.f <f A [令g(x)=, 则g′(x)=, 由已知得g′(x)<0在上恒成立, ∴g(x)在上单调递减, ∴g>g,即>, ∴f>f.] 3.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=e,对于任意的x∈R,2f(x)-f′(x)>0,则不等式f(x)<e2x-1的解集为________. (1,+∞) [设F(x)=,则F′(x)=′ =. 因为2f(x)-f′(x)>0, 所以F′(x)=<0, 即F(x)是减函数, f(x)<e2x-1等价于<1,即F(x)<1. 又因为f(1)=e, 8 所以F(1)==1, 则不等式f(x)<e2x-1的解集是(1,+∞).] 4.已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性. [解] g′(x)= =. ∵函数g(x)的定义域为(0,+∞), ∴当a=0时,g′(x)=-. 由g′(x)>0,得0<x<1, 由g′(x)<0,得x>1. 当a>0时,令g′(x)=0,得x=1或x=, 若<1,即a>, 由g′(x)>0,得x>1或0<x<, 由g′(x)<0,得<x<1; 若>1,即0<a<,由g′(x)>0,得x>或0<x<1, 由g′(x)<0,得1<x<; 当=1时,即a=时,在(0,+∞)上恒有g′(x)≥0. 综上可得:当a=0时,g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当0<a<时,g(x)在(0,1),上单调递增,在上单调递减; 当a=时,g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>时,g(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减. 1.(2019·南昌模拟)已知函数f(x)=xsin x,x1,x2∈,且f(x1)<f(x2),那么( ) A.x1-x2>0 B.x1+x2>0 8 C.x-x>0 D.x-x<0 D [由f(x)=xsin x,得f′(x)=sin x+xcos x=cos x(tan x+x),当x∈时,f′(x)>0,即f(x)在上为增函数,又f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以当f(x1)<f(x2)时,有f(|x1|)<f(|x2|),所以|x1|<|x2|,x-x<0,故选D.] 2.设函数f(x)=aln x+,其中a为常数. (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性. [解] (1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞). 此时f′(x)=,可得f′(1)=.又f(1)=0, 所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0. (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=+=. 当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上递增. 当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), ①当a=-时,Δ=0,f′(x)=≤0, 函数f(x)在(0,+∞)上递减. ②当a<-时,Δ<0,g(x)<0, f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上递减. ③当-<a<0时,Δ>0. 设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点, 则x1=,x2=. 由x1==>0, 所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)递减; x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)递增; 8 x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)递减. 综上可得: 当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上递增; 当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上递减; 当-<a<0时,f(x)在,上递减, 在上递增. 8查看更多