2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-6-2椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题
1．[2015·陕西质检(一)]已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为( )
A. B.
C．1 D．2
答案 B
解析 因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝.联立得，x2－3px＋＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝，故选B.
2．[2016·沈阳质检]已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是( )
A．－ B.
C．－ D．不能确定
答案 A
解析 令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos
∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·＝×＝－，选A.
3．[2016·南昌三模]已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )
A.＋2 B.＋1
C.＋1 D.＋1
答案 D
解析 本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F的坐标为，又因为AF⊥x轴，所以点A的横坐标为，因为点A为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A位于第一象限，则yA＝＝p，即点A的坐标为，又因为点F为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以c＝，则点A的坐标为(c,2c)，代入双曲线的方程得－＝1，结合c2＝a2＋b2，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，解得双曲线的离心率e＝＝＋1，故选D.
4．[2016·黄冈质检]在以O为中心，F1，F2为焦点的椭圆上存在一点M，满足||＝2||＝2||，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 延长MO与椭圆交于N，因为MN与F1F2互相平分，则四边形NMF1F2为平行四边形，则|MN|2＋|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＋|NF1|2＋|NF2|2，又|MF1|＋|MF2|＝2|MF2|＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝a，|NF2|＝|MF1|＝a，|F1F2|＝2c，所以2＋2＋2＋2＝2＋(2c)2，即＝，故e＝.
5．[2016·重庆测试]若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意知c＝3，∴e＝，∴a越大e越小，而双曲线为－＝1，把直线y＝x－1代入化简整理得(9－2m)x2＋2mx－10m＋m2＝0，由Δ＝0得m＝5，于是a＝，e＝＝，故选B.
6．[2016·金版原创]在平面直角坐标系xOy中，以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析
本题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系．利用直线与圆的位置关系建立椭圆基本量的关系求解离心率．由题意可得，圆心A，r＝，由三角形ABC是锐角三角形得∠BAC<90°，则c＝r·cos>r·cos45°，即c>r.又依题意c<，即<<1，化简得两边同时除以a2，关于离心率e的不等式组为解得
0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
答案
解析 易知直线AB的方程为y＝，与y2＝3x联立并消去x，得4y2－12y－9＝0.设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－.S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×＝＝.
9．[2015·山东莱芜一模]已知圆G：x2＋y2－2x－2y＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M(m,0)(m>a)，倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，若点N(3,0)在以线段CD为直径的圆E的外部，则m的取值范围是________．
答案
解析 ∵圆G：x2＋y2－2x－2y＝0与x轴，y轴交点为(2，0)和(0,2)，
∴c＝2，b＝2，∴a2＝b2＋c2＝12，
∴椭圆方程为＋＝1，
设直线l的方程为y＝－(x－m)(m>2)，
由得10x2－18mx＋9m2－12＝0.
由Δ＝324m2－40(9m2－12)>0，
可得－0.
化简得2m2－9m＋7>0，解得m>.
∴m的取值范围是.
三、解答题
10．[2016·贵阳质检]设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值．
解 (1)设P(x，y)，则＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，
∴·＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，x∈[－a，a]，
由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，
化简得m2＝2k2＋1.
设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝.
①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，
则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，
∴|MN|＝·|d1－d2|，∴S＝··|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝，
∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋>2，即S<2.
②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2.
∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.
11．已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)(x1－1且a≠1，a≠2时，交点有2个，圆有2个．
而当a＝2时，易验证有2个交点，圆有2个；
当a＝1时，易知交点有1个，圆有1个．
综上所述：当a<－1时，圆有0个；
当a＝±1时，圆有1个；
当a>－1，且a≠1时，圆有2个．
解法二：设圆心Q(x0，y0)(y＝4x0)，P(a,2－a)，由于准线l：x＝－1，故若存在圆Q满足条件，则r＝|PQ|＝，且r＝|x0＋1|，
∴(x0－a)2＋(y0＋a－2)2＝(x0＋1)2，
即a2＋y＋2(a－2)y0＋(a－2)2＝(2＋2a)x0＋1＝(2＋2a)＋1，
整理得(1－a)y＋(4a－8)y0＋4a2－8a＋6＝0 (*)，
当a＝1时，(*)式即－4y0＋2＝0，有1个解．
当a≠1时，(*)式中
Δ＝(4a－8)2－4(1－a)(4a2－8a＋6)＝16a3－32a2－8a＋40＝8(a＋1)(2a2－6a＋5)，
∵2a2－6a＋5＝22＋>0，
∴当a>－1时，Δ>0，(*)式有2个解；
当a＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解；
当a<－1时，Δ<0，(*)式无解．
综上，当a<－1时，圆有0个；
当a＝±1时，圆有1个；
当a>－1，且a≠1时，圆有2个．
12．[2016·山西太原二模]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，直线AE与x轴相交于点Q，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求·的取值范围．
解 (1)∵e＝＝，a2＝b2＋c2，∴＝＝.据另一个题设条件得：b＝r＝＝.
∴a＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设B(x1，y1)，E(x2，y2)，据题意A(x1，－y1)，且y1≠0.
设直线PB的方程为x＝my＋4，把它代入＋＝1并整理得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，∴y1，y2是该方程的两根，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.(*)
直线AE的方程为y＋y1＝(x－x1)，令y＝0得点Q的横坐标
xQ＝.
∵x1＝my1＋4，x2＝my2＋4，
∴xQ＝
＝
将(*)式代入得xQ＝1.
①当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为x＝ny＋1，并设M(x3，y3)，N(x4，y4)．
把x＝ny＋1代入3x2＋4y2＝12整理得
(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0，y3，y4是该方程的两根，
∴y3＋y4＝－，y3y4＝－.(**)
·＝x3x4＋y3y4＝(ny3＋1)(ny4＋1)＋y3y4＝(1＋n2)y3y4＋n(y3＋y4)＋1，
把(**)代入并整理得
·＝－.
∵＝4－∈，
∴·∈.
②当直线MN与x轴重合时，·＝2×2×cos180°＝－4.
综上所述，·的取值范围是.
